河北省邢臺市2017-2018學(xué)年高二年級上冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2017-2018學(xué)年度第一學(xué)期高二期中理科數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若直線過圓的圓心，則的值為（）A.-1B.1C.3D.-3B分析：圓x2+y2+2x-4y=0的圓心為（-1，2）代入直線3x+y+a=0，解方程求得a的值．解答：圓x2+y2+2x-4y=0的圓心為（-1，2），代入直線3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1，故選C。點評：本題考查根據(jù)圓的方程求圓心的坐標的方法，用待定系數(shù)法求參數(shù)的取值范圍2.若，，若，則（）A.，B.，C.，D.，C由＝＝，得x＝，y＝－.3.若直線與圓有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.C由題意可得，解得，選D.直線與圓位置關(guān)系一般用圓心到直線距離d與半徑關(guān)系來判斷：當d>r時，直線與圓相離，當d=r時，直線與圓相切，當d<r時，直線與圓相交。4.圓和圓的位置關(guān)系是（）A.相交B.相離C.外切D.內(nèi)切A兩圓的方程可化為，兩圓心距離．由兩圓之間位置關(guān)系的判定可知兩圓相交．故本題答案選．5.已知直線，平面，且，，給出下列四個①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的命題個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4B試題分析：對①，若∥，又，所以.又，，正確；對②，、可以平行，也可以相交，故錯；對③，若，則、有可能平行，也有可能異面，也有可能相交，故錯；對④，若∥，因為，所以.又，所以．正確.考點：空間直線與平面的位置關(guān)系.6.正方體中，二面角的大小為（）A.30°B.45°C.60°D.135°B正方體中,∵平面，∴，就是所求二面角的平面角。顯然∠ABA′=45°.故選：B.7.已知，，則的最小值為（）A.B.C.D.A已知，,..當時，有最小值.故選A.8.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.B.C.D.C由三視圖可知該幾何體為一個圓柱左邊放了半個圓錐，圓柱的底面半徑為1，高為2，圓錐的底面半徑為1，高為1.其體積為.故選C.9.過點的直線與圓相切，且與直線垂直，則（）A.2B.1C.D.A因為點P(2,2)滿足圓的方程，所以P在圓上，又過點P(2,2)的直線與圓相切，且與直線ax?y+1=0垂直，所以切點與圓心連線與直線ax?y+1=0平行，所以直線ax?y+1=0的斜率為.故選A.點睛：對于直線和圓的位置關(guān)系的問題，可用“代數(shù)法”或“幾何法”求解，直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的，解題時不要單純依靠代數(shù)計算，若選用幾何法可使得解題過程既簡單又不容易出錯．10.如圖，在四面體中，若，，是的中點，則下列正確的是（）A.平面平面B.平面平面C.平面平面，且平面平面D.平面平面，且平面平面C因為，，是的中點，?平面，由面面垂直判定定理可得平面平面，平面平面，故選C.點睛：破解線面垂直關(guān)系的技巧：(1)解答此類問題的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形中的一些線線垂直關(guān)系的靈活利用，這是證明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ)．(2)由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心而展開，這是化解空間垂直關(guān)系難點的技巧所在．11.過圓外一點作圓的兩條切線，切點分別為，則的外接圓的方程為（）A.B.C.D.D考點：直線與圓的位置關(guān)系．分析：根據(jù)已知圓的方程找出圓心坐標，發(fā)現(xiàn)圓心為坐標原點，根據(jù)題意可知，△ABP的外接圓即為四邊形OAPB的外接圓，從而得到線段OP為外接圓的直徑，其中點為外接圓的圓心，根據(jù)P和O兩點的坐標利用兩點間的距離公式求出|OP|的長即為外接圓的直徑，除以2求出半徑，利用中點坐標公式求出線段OP的中點即為外接圓的圓心，根據(jù)求出的圓心坐標和半徑寫出外接圓的方程即可．解：由圓x2+y2=4，得到圓心O坐標為（0，0），∴△ABP的外接圓為四邊形OAPB的外接圓，又P（4，2），∴外接圓的直徑為|OP|==2，半徑為，外接圓的圓心為線段OP的中點是，即（2，1），則△ABP的外接圓方程是（x-2）2+（y-1）2=5．故選D12.三棱錐中，平面，且，則該三棱錐的外接球的表面積是（）A.B.C.D.D∵∴又平面∴∴，即∴,故選D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.直線與圓相交于兩點，則__________．圓心到直線的距離，，圓半徑，．14.若平面的一個法向量，直線的一個方向向量為，則與所成角的正弦值為__________．由題意設(shè)l與α所成角為θ,設(shè)向量與的夾角為β，∵平面α的一個法向量,直線l的一個方向向量為，∴答案為.15.如圖，在邊長為4的正方形紙片中，與相交于點，剪去，將剩余部分沿折疊，使重合，則折疊后以為頂點的四面體的體積為__________．折疊后的四面體如圖所示．OA，OC，OD兩兩相互垂直，且OA＝OC＝OD＝2，所以體積V＝S△OCD·OA＝××(2)3＝16.若直線與曲線有公共點，則的取值范圍是__________．試題分析：如圖所示：曲線，即（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）為圓心，以2為半徑的一個半圓．由圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，可得結(jié)合圖象可得考點：直線與圓的位置關(guān)系三、解答題17.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形,正視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形,側(cè)視圖是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積;(2)求該幾何體的表面積.（Ⅰ）64；（Ⅱ）．試題分析：由題設(shè)可知，幾何體是一個高為4的四棱錐，其底面是長、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及其相對側(cè)面均為底邊長為8，高為的等腰三角形，左、右側(cè)面均為底邊長為6、高為的等腰三角形，分析出圖形之后，再利用公式求解即可．試題解析：由已知可得該幾何體是一個底面為矩形，高為4，頂點在底面的射影是矩形中心的四棱錐V-ABCD；（1）（2）該四棱錐有兩個側(cè)面VAD、VBC是全等的等腰三角形，且BC邊上的高為，另兩個側(cè)面VAB．VCD也是全等的等腰三角形，AB邊上的高為因此考點：三視圖，幾何體的側(cè)面積，體積18.（1）已知圓經(jīng)過和兩點，若圓心在直線上，求圓的方程；（2）求過點、和的圓的方程.（Ⅰ）；（Ⅱ）．試題分析：（1）由直線AB的斜率，中點坐標，寫出線段AB中垂線的直線方程，與直線x-2y-3=0聯(lián)立即可求出交點的坐標即為圓心的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式求出圓心到點A的距離即為圓的半徑，根據(jù)圓心坐標與半徑寫出圓的標準方程即可；（2）設(shè)圓的方程為，代入題中三點坐標，列方程組求解即可試題解析：（1）由點和點可得，線段的中垂線方程為．∵圓經(jīng)過和兩點，圓心在直線上，∴，解得，即所求圓的圓心，∴半徑，所求圓的方程為；（2）設(shè)圓的方程為，∵圓過點、和，∴列方程組得解得，∴圓的方程為．19.如圖，在直三棱柱中，點是的中點.（1）求證：平面；（2）若，，求點到平面的距離.解：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．試題分析：(1)利用幾何關(guān)系可證得，然后利用線面平行的判斷定理即可證得平面.(2)由題意首先確定點到平面的距離為點到平面的距離，結(jié)合幾何關(guān)系可得其距離為.試題解析：（1）如圖，連接，交于點，再連接，據(jù)直棱柱性質(zhì)知，四邊形為平行四邊形，為的中點，∵當時，，∴是的中點，∴，又平面，平面，∴平面.（2）如圖，在平面中，過點作，垂足為，∵是中點，∴點到平面與點到平面距離相等，∵平面，∴點到平面的距離等于點到平面的距離，∴長為所求，在中，，，，∴，∴點到平面的距離為.20.如圖，正方體中，分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值.（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．試題分析：如圖，以點為坐標原點，向量分別作為軸的正方向，建立空間直角坐標系．設(shè)正方體棱長為.（1）設(shè)平面的法向量，由得，再由，即可證得；（2）由計算得異面直線與所成角的余弦值.試題解析：如圖，以點為坐標原點，向量分別作為軸的正方向，建立空間直角坐標系．設(shè)正方體棱長為，則，，，，，．（1）設(shè)平面的法向量，則，即，不妨取∵，∴，即平面；（2）∵，∴，即異面直線與所成角的余弦值為．21.已知直線，，圓.（1）證明：直線恒過一定點；（2）證明：直線與圓相交；（3）當直線被圓截得的弦長最短時，求的值.（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.試題分析：（1）將直線方程變形為，由即可即得定點坐標；（2）通過直線l轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過的定點，判斷定點與圓的位置故選即可判斷直線l與圓C相交；

（3）說明直線l被圓C截得的弦長最小時，圓心與定點連線與直線l垂直，求出斜率即可求出直線的方程．試題解析：（1）直線方程變形為，由，得，∴直線恒過定點；（2）∵，∴點在圓內(nèi)部，∴直線與圓相交；（3）當時，所截得的弦長最短，此時有，而，于是，解得.點睛：對于直線和圓的位置關(guān)系的問題，可用“代數(shù)法”或“幾何法”求解，直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的，解題時不要單純依靠代數(shù)計算，若選用幾何法可使得解題過程既簡單又不容易出錯．22.已知四棱錐的底面為直角梯形，，°，底面，且，是的中點.（1）證明：平面平面；（2）求與所成角的余弦值；（3）求平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值.（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．（Ⅲ）．試題分析：（1）利用面面垂直的性質(zhì)，證明C