北師大版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第14講 變量與函數(shù)(知識(shí)講解+鞏固練習(xí))

變量與函數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．知道現(xiàn)實(shí)生活中存在變量和常量，變量在變化的過(guò)程中有其固有的范圍（即變量的取值范圍）；2．能初步理解函數(shù)的概念；能初步掌握確定常見簡(jiǎn)單函數(shù)的自變量取值范圍的基本方法；給出自變量的一個(gè)值，會(huì)求出相應(yīng)的函數(shù)值；對(duì)函數(shù)關(guān)系的表示法（如列表法、關(guān)系式法、圖象法）有初步認(rèn)識(shí)；3.理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)與其關(guān)系式之間的關(guān)系，會(huì)判斷一個(gè)點(diǎn)是否在函數(shù)的圖象上，明確交點(diǎn)坐標(biāo)反映到函數(shù)上的含義；初步理解函數(shù)的圖象的概念，掌握用“描點(diǎn)法”畫一個(gè)函數(shù)的圖象的一般步驟，對(duì)已知圖象能讀圖、識(shí)圖，從圖象解釋函數(shù)變化的關(guān)系．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、變量、常量的概念在一個(gè)變化過(guò)程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量.數(shù)值保持不變的量叫做常量.要點(diǎn)詮釋：一般地，常量是不發(fā)生變化的量，變量是發(fā)生變化的量，這些都是針對(duì)某個(gè)變化過(guò)程而言的.例如，，速度60千米/時(shí)是常量，時(shí)間和里程為變量.要點(diǎn)二、函數(shù)的定義一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中.如果有兩個(gè)變量與，并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)是自變量，是的函數(shù).要點(diǎn)詮釋：對(duì)于函數(shù)的定義，應(yīng)從以下幾個(gè)方面去理解：（1）函數(shù)的實(shí)質(zhì)，揭示了兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）對(duì)于自變量的取值，必須要使代數(shù)式有實(shí)際意義；（3）判斷兩個(gè)變量之間是否有函數(shù)關(guān)系，要看對(duì)于允許取的每一個(gè)值，是否都有唯一確定的值與它相對(duì)應(yīng).（4）兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)至少具備兩個(gè)條件：①函數(shù)關(guān)系式相同（或變形后相同）；②自變量的取值范圍相同.否則，就不是相同的函數(shù).而其中函數(shù)關(guān)系式相同與否比較容易注意到，自變量的取值范圍有時(shí)容易忽視，這點(diǎn)應(yīng)注意.要點(diǎn)三、函數(shù)值對(duì)于自變量在可取值范圍內(nèi)的一個(gè)確定的值a,函數(shù)有唯一確定的對(duì)應(yīng)值，這個(gè)對(duì)應(yīng)值稱為當(dāng)自變量等于a時(shí)的函數(shù)值.要點(diǎn)詮釋：對(duì)于每個(gè)確定的自變量值，函數(shù)值是唯一的，但反過(guò)來(lái)，可以不唯一，即一個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)的自變量可以是多個(gè).比如：中，當(dāng)函數(shù)值為4時(shí)，自變量的值為±2.要點(diǎn)四、自變量取值范圍的確定使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體實(shí)數(shù)叫自變量的取值范圍.要點(diǎn)詮釋：自變量的取值范圍的確定方法：首先，要考慮自變量的取值必須使解析式有意義：（1）當(dāng)解析式是整式時(shí)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)解析式是分式時(shí)，自變量的取值范圍是使分母不為零的實(shí)數(shù)；（3）當(dāng)解析式是二次根式時(shí)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)不小于零的實(shí)數(shù)；（4）當(dāng)解析式中含有零指數(shù)冪或負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時(shí)，自變量的取值應(yīng)使相應(yīng)的底數(shù)不為零；（5）當(dāng)解析式表示實(shí)際問題時(shí)，自變量的取值必須使實(shí)際問題有意義.要點(diǎn)五、函數(shù)的幾種表達(dá)方式

表示函數(shù)的方法一般有以下三種：（1）列表法：函數(shù)關(guān)系用一個(gè)表格表達(dá)出來(lái)的方法.（2）關(guān)系式法：用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的等式叫做函數(shù)關(guān)系式，也稱函數(shù)的解析式.（3）圖象法：用圖象表達(dá)兩個(gè)變量之間的關(guān)系.要點(diǎn)詮釋：函數(shù)的三種表示方法各有不同的長(zhǎng)處.關(guān)系式法能揭示出變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，但較抽象，不是所有的函數(shù)都能列出關(guān)系式；列表法可以清楚地列出一些自變量和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值，這會(huì)對(duì)某些特定的數(shù)值帶來(lái)一目了然的效果，例如火車的時(shí)刻表，平方表等；圖象法可以直觀形象地反映函數(shù)的變化趨勢(shì)，而且對(duì)于一些無(wú)法用解析式表達(dá)的函數(shù)，圖象可以充當(dāng)重要角色.要點(diǎn)六、函數(shù)的圖象對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.要點(diǎn)詮釋：由函數(shù)解析式畫出圖象的一般步驟：列表、描點(diǎn)、連線.列表時(shí)，自變量的取值范圍應(yīng)注意兼顧原則，既要使自變量的取值有一定的代表性，又不至于使自變量或?qū)?yīng)的函數(shù)值太大或太小，以便于描點(diǎn)和全面反映圖象情況.【典型例題】類型一、變量與函數(shù) 1、下列等式中，是的函數(shù)有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)C；要判斷是否為函數(shù)，需判斷兩個(gè)變量是否滿足函數(shù)的定義.對(duì)于當(dāng)取2，有兩個(gè)值±和它對(duì)應(yīng)，對(duì)于，當(dāng)取2，有兩個(gè)值±2和它對(duì)應(yīng)，所以這兩個(gè)式子不滿足函數(shù)的定義的要求：都有唯一確定的值與對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)，其余三個(gè)式子滿足函數(shù)的定義，故選C.【總結(jié)升華】在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量與，并且對(duì)于的每一個(gè)確定的值，都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)是自變量，是的函數(shù).抓住函數(shù)定義中的關(guān)鍵詞語(yǔ)“都有唯一確定的值”，與之間的對(duì)應(yīng)，可以是“一對(duì)一”，也可以是“多對(duì)一”，不能是“一對(duì)多”.舉一反三：【變式】下列函數(shù)中與表示同一函數(shù)的是（）A.B.C.D.D；提示：表示同一函數(shù)，自變量的取值要相同，化簡(jiǎn)后的解析式要相同.2、（2019?南寧）下列各曲線中表示y是x的函數(shù)的是（） B.C.D.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的意義求解即可求出答案．D；根據(jù)函數(shù)的意義可知：對(duì)于自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對(duì)應(yīng)，故D正確．【總結(jié)升華】在函數(shù)概念中注意兩點(diǎn)：有兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量每取一個(gè)確定的值，另一個(gè)變量就有唯一的一個(gè)值與其對(duì)應(yīng)．類型二、函數(shù)關(guān)系式 3、求出下列函數(shù)中自變量的取值范圍（1） （2） （3）（4） （5） （6）【思路點(diǎn)撥】自變量的范圍，是使函數(shù)有意義的的值，大致是開平方時(shí)，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式的分母不為零等等.【答案與解析】解：（1） ，為任何實(shí)數(shù)，函數(shù)都有意義；（2），要使函數(shù)有意義，需2－3≠0，即≠；（3），要使函數(shù)有意義，需2＋3≥0，即；（4），要使函數(shù)有意義，需2－1＞0，即；（5），為任何實(shí)數(shù)，函數(shù)都有意義；（6），要使函數(shù)有意義，需，即≥－3且≠－2.【總結(jié)升華】自變量的取值范圍必須使整個(gè)解析式有意義. 4、如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝10，設(shè)P為BC上任一點(diǎn)，點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合，且CP＝．若表示△APB的面積．(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求自變量的取值范圍．【答案與解析】解：(1)因?yàn)锳C＝6，∠C＝90°，BC＝10，所以．又，所以，即．(2)因?yàn)辄c(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合，BC＝10，所以0＜＜10．【總結(jié)升華】利用三角形面積公式找到函數(shù)關(guān)系式，要把握點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)這個(gè)規(guī)律，結(jié)合圖形觀察到點(diǎn)P移動(dòng)到特殊點(diǎn)，便可求出自變量的取值范圍．舉一反三：【變式】小明在勞動(dòng)技術(shù)課中要制作一個(gè)周長(zhǎng)為80的等腰三角形．請(qǐng)你寫出底邊長(zhǎng)()與腰長(zhǎng)()的函數(shù)關(guān)系式，并求自變量的取值范圍．解：由題意得，＝80,所以，由于三角形兩邊之和大于第三邊，且邊長(zhǎng)大于0，所以，解得所以.類型三、函數(shù)值5、若與的關(guān)系式為，當(dāng)＝時(shí)，的值為（）A．5B．10C．4D．－4【思路點(diǎn)撥】把代入關(guān)系式可求得函數(shù)值.C；.【總結(jié)升華】是的函數(shù)，如果當(dāng)＝時(shí)＝，那么叫做當(dāng)自變量為時(shí)的函數(shù)值.舉一反三：【變式】（撫州期末）為了解某種品牌小汽車的耗油量，我們對(duì)這種車在高速公路上做了耗油試驗(yàn)，并把試驗(yàn)的數(shù)據(jù)記錄下來(lái)，制成下表：汽車行駛時(shí)間t（h）0123…油箱剩余油量Q（L）100948882…（1）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，請(qǐng)你寫出Q與t的關(guān)系式；（2）汽車行駛5h后，油箱中的剩余油量是多少？（3）該品牌汽車的油箱加滿50L，若以100km/h的速度勻速行駛，該車最多能行駛多遠(yuǎn)？解：（1）Q=50﹣8t；（2）當(dāng)t=5時(shí)，Q=50﹣8×5=10，答：汽車行駛5h后，油箱中的剩余油量是10L；（3）當(dāng)Q=0時(shí)，0=50﹣8t8t=50，解得：t=，100×=625km．答：該車最多能行駛625km.類型四、函數(shù)的圖象6、（東平縣校級(jí)期末）陳杰騎自行車去上學(xué)，當(dāng)他以往常的速度騎了一段路時(shí)，忽然想起要買某本書，于是又折回到剛經(jīng)過(guò)的一家書店，買到書后繼續(xù)趕去學(xué)校．以下是他本次上學(xué)所用的路程與時(shí)間的關(guān)系示意圖．根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題：（1）陳杰家到學(xué)校的距離是多少米？書店到學(xué)校的距離是多少米？（2）陳杰在書店停留了多少分鐘？本次上學(xué)途中，陳杰一共行駛了多少米？（3）在整個(gè)上學(xué)的途中哪個(gè)時(shí)間段陳杰騎車速度最快？最快的速度是多少米？（4）如果陳杰不買書，以往常的速度去學(xué)校，需要多少分鐘？本次上學(xué)比往常多用多少分鐘？【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)，可得答案；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)，可得到達(dá)書店時(shí)間，離開書店時(shí)間，根據(jù)有理數(shù)的減法，可得答案，根據(jù)函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)，可得相應(yīng)的路程，根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案；（3）根據(jù)函數(shù)圖象的縱坐標(biāo)，可得路程，根據(jù)函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)，可得時(shí)間，根據(jù)路程與時(shí)間的關(guān)系，可得速度；（4）根據(jù)路程、速度，即可得到時(shí)間．【答案與解析】解：（1）陳杰家到學(xué)校的距離是1500米，1500﹣600=900（米）．答：書店到學(xué)校的距離是900米．（2）12﹣8=4（分鐘）．答：陳杰在書店停留了4分鐘．1200+（1200﹣600）+（1500﹣600）=2700（米）．答：本次上學(xué)途中，陳杰一共行駛了2700米（3）（1500﹣600）÷（14﹣12）=450米/分．答：在整個(gè)上學(xué)的途中12分鐘到14分鐘時(shí)段陳杰騎車速度最快，最快的速度是450米/分；（4）1500÷（1200÷6）=7.5（分鐘），14﹣7.5=6.5（分鐘）．答：陳杰以往常的速度去學(xué)校，需要7.5分鐘，本次上學(xué)比往常多用6.5分鐘．【總結(jié)升華】本題考查利用函數(shù)的圖象解決實(shí)際問題，正確理解函數(shù)圖象橫縱坐標(biāo)表示的意義，理解問題的過(guò)程，就能夠通過(guò)圖象得到函數(shù)問題的相應(yīng)解決．需注意計(jì)算單位的統(tǒng)一．舉一反三：【變式】一列貨運(yùn)火車從南京站出發(fā)，勻加速行駛一段時(shí)間后開始勻速行駛，過(guò)了一段時(shí)間，火車到達(dá)下一個(gè)車站停下，裝完貨以后，火車又勻加速行駛，一段時(shí)間后再次開始勻速行駛，可以近似地刻畫出火車在這段時(shí)間內(nèi)的速度變化情況的是()．B.【鞏固練習(xí)】一.選擇題1．（唐山期末）下列各圖能表示y是x的函數(shù)是（） A． B． C． D． 2.下列關(guān)于圓的面積S與半徑R之間的關(guān)系式S中，有關(guān)常量和變量的說(shuō)法正確的是（）A．S，是變量，是常量B．S，，R是變量，2是常量C．S，R是變量，是常量D．S，R是變量，和2是常量3.（2019?南通）函數(shù)y=中，自變量x的取值范圍是（）A．x且x≠1 B．x且x≠1 C．x且x≠1 D．x且x≠14．矩形的周長(zhǎng)為18，則它的面積S（）與它的一邊長(zhǎng)（）之間的函數(shù)關(guān)系式是（）A．B．C．D．5．某天小明騎自行車上學(xué)，途中因自行車發(fā)生故障，修車耽誤了一段時(shí)間后繼續(xù)騎行，按時(shí)趕到了學(xué)校.下圖描述了他上學(xué)的情景，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．修車時(shí)間為15分鐘B．學(xué)校離家的距離為2000米C．到達(dá)學(xué)校時(shí)共用時(shí)間20分鐘D．自行車發(fā)生故障時(shí)離家距離為1000米6．如圖，某游客為爬上3千米的山頂看日出，先用1小時(shí)爬了2千米，休息0.5小時(shí)后，再用1小時(shí)爬上山頂，游客爬山所用時(shí)間（小時(shí)）與山高（千米）間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示是（）二.填空題7.若球體體積為，半徑為，則．其中變量是_______、_______，常量是________．8．如圖中，每個(gè)圖形都是若干個(gè)棋子圍成的正方形圖案，圖案的每條邊（包括兩個(gè)頂點(diǎn)）上都有（≥2）個(gè)棋子，每個(gè)圖案的棋子總數(shù)為S，按圖的排列規(guī)律推斷S與之間的關(guān)系可以用式子___________來(lái)表示．9.油箱中有油30，油從管道中勻速流出，1小時(shí)流完，求油箱中剩余油量Q（）與流出時(shí)間（分鐘）間的函數(shù)關(guān)系式為__________________，自變量的范圍是_____________．當(dāng)Q＝10時(shí)，＝__________（分鐘）．10．（瑞昌市期中）圖象中所反映的過(guò)程是：小強(qiáng)從家跑步去體育場(chǎng)，在那里鍛煉了一陣后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示時(shí)間，y表示小強(qiáng)離家的距離．圖象提供的信息，有以下四個(gè)說(shuō)法：①體育場(chǎng)離小強(qiáng)家2.5千米②在體育場(chǎng)鍛煉了15分鐘③體育場(chǎng)離早餐店4④小強(qiáng)從早餐店回家的平均速度是3千米/其中正確的說(shuō)法為（只需填正確的序號(hào)．）．11.（2019?高港區(qū)一模）均勻地向一個(gè)容器注水，最后把容器注滿，在注水過(guò)程中，水面的高度h隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖.（圖中OABC為一這線），這個(gè)容器的形狀是_________．12．已知等腰三角形的周長(zhǎng)為60，底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為，則與之間的關(guān)系式及自變量的取值范圍為_______.三.解答題13.一個(gè)函數(shù)的解析式，其中是的函數(shù)，為任意實(shí)數(shù).（1）若點(diǎn)A（－3，4）在這個(gè)函數(shù)的圖像上，求實(shí)數(shù)；（2）在（1）的條件上，判斷點(diǎn)B（－4，7）是否在它的圖像上.14.（樂平市期中）在一次實(shí)驗(yàn)中，小明把一根彈簧的上端固定、在其下端懸掛物體，下面是測(cè)得的彈簧的長(zhǎng)度y與所掛物體質(zhì)量x的一組對(duì)應(yīng)值．所掛物體質(zhì)量x/kg012345彈簧長(zhǎng)度y/cm182022242628（1）上表反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？（2）當(dāng)所掛物體重量為3千克（3）若所掛重物為7千克15.如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E、F分別是BC、DC邊上一動(dòng)點(diǎn)，E、F同時(shí)從點(diǎn)C均以1的速度分別向點(diǎn)B、點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為()，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△AEF的面積為，請(qǐng)寫出用表示的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．【答案與解析】一.選擇題1.D；解：A、對(duì)于x的每一個(gè)取值，y有時(shí)有兩個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，所以y不是x的函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、對(duì)于x的每一個(gè)取值，y有時(shí)有兩個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，所以y不是x的函數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、對(duì)于x的每一個(gè)取值，y有時(shí)有兩個(gè)確定的值與之