《曲線與方程》 一等獎 教學課件

考情分析求曲線的軌跡方程是高考的?？碱}型，考查軌跡方程的求法，以及利用曲線的軌跡方程研究曲線的幾何性質，著重考查分析問題解決問題的能力，數(shù)形結合思想，分類討論思想等．歸納起來常見的命題角度有：(1)直接法求軌跡方程．(2)定義法求軌跡方程．(3)相關點法(代入法)求軌跡方程．(4)參數(shù)法求軌跡方程．求曲線的軌跡方程(高頻研析)答案：A解析：設C(x，y)，因為OC→＝λ1OA→＋λ2OB→，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即x＝3λ1－λ2，y＝λ1＋3λ2，解得λ1＝y(tǒng)＋3x10，λ2＝3y－x10，又λ1＋λ2＝1，所以y＋3x10＋3y－x10＝1，即x＋2y＝5，所以點C的軌跡為直線，故選A.角度二定義法求軌跡方程2．(2013年高考新課標全國卷Ⅰ)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|.解析：由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3.設圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.(1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.

(2)對于曲線C上任意一點P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，當且僅當圓P的圓心為(2,0)時，R＝2.所以當圓P的半徑最長時，其方程為(x－2)2＋y2＝4.若l的傾斜角不為90°，由r1≠R知l不平行于x軸，設l與x軸的交點為Q，則|QP||QM|＝Rr1，可求得Q(－4,0)，所以可設l：y＝k(x＋4)，由l與圓M相切得|3k|1＋k2＝1，解得k＝±24.當k＝24時，將y＝24x＋2代入x24＋y23＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝－4±627.所以|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝187.當k＝－24時，由圖形的對稱性可知|AB|＝187.綜上，|AB|＝23或|AB|＝187.(1)求點N的軌跡方程；(2)過點A(0,3)作斜率分別為k1，k2的直線l1，l2與點N的軌跡分別交于E，F(xiàn)兩點，k1·k2＝－9.求證：直線EF過定點．解析：(1)由PM→＝λPN→且PM→?QN→＝0可知N，P，M三點共線且PM⊥QN.過點Q作QN⊥PM，垂足為N，設N(x，y)，∵|OP|＝3，|OQ|＝1，由相似可知P(3x，y)．∵P在圓x2＋y2＝9上，(3x)2＋y2＝9，即y29＋x2＝1.所以點N的軌跡方程y29＋x2＝1.(2)證明：設E(xE，yE)，F(xiàn)(xF，yF)，依題意，由y＝k1x＋3，y29＋x2＝1?(k21＋9)x2＋6k1x＝0，①解得x＝0或x＝－6k1k21＋9.所以xE＝－6k1k21＋9，yE＝k1－6k1k21＋9＋3＝27－3k21k21＋9，∴E－6k1k21＋9，27－3k21k21＋9.∵k1k2＝－9，∴k2＝－9k1.用k2＝－9k1替代①中的k1，同理可得F6k1k21＋9，3k21－27k21＋9.顯然E，F(xiàn)關于原點對稱，∴直接EF必過原點O.角度四參數(shù)法求軌跡方程4．設橢圓方程為x2＋y24＝1，過點M(0,1)的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，l上的動點P滿足OP→＝12(OA→＋OB→)，點N的坐標為12，12.當l繞點M旋轉時，求：(1)動點P的軌跡方程；(2)|NP→|的最小值與最大值．解析：(1)直線l過點M(0,1)，當直線l的斜率存在時，設其斜率為k，則l的方程為y＝kx＋1.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題設得點A、B的坐標是方程組y＝kx＋1，x2＋y24＝1的解．消去y，并整理得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，所以x1＋x2＝－2k4＋k2，y1＋y2＝84＋k2，于是OP→＝12(OA→＋OB→)＝x1＋x22，y1＋y22＝－k4＋k2，44＋k2.設點P的坐標為(x，y)，則x＝－k4＋k2，y＝44＋k2，消去參數(shù)k得4x2＋y2－y＝0.(*)當直線l的斜率不存在時，線段AB的中點坐標為原點(0,0)，也滿足方程(*)．所以動點P的軌跡方程為4x2＋y2－y＝0.(2)由點P的軌跡方程知x2≤116，則－14≤x≤14.所以|NP→|2＝x－122＋y－122＝x－122＋14－4x2＝－3x＋162＋712，故當x＝14時，|NP→|取得最小值，最小值為14；當x＝－16時，|NP→|取得最大值，最大值為216.規(guī)律方法

(1)求軌跡方程時，要注意檢驗曲線上的點與方程的解是否為一一對應的關系，若不是，則應對方程加上一定的限制條件，檢驗可以從以下兩個方面進行：一是方程的化簡是否為同解變形；二是是否符合題目的實際意義．(2)求軌跡問題常用的數(shù)學思想：①函數(shù)與方程的思想：求平面曲線的軌跡方程是將幾何條件(性質)表示為動點坐標x、y的方程及函數(shù)關系．②數(shù)形結合的思想：由曲線的幾何性質求曲線方程是“數(shù)”與“形”的有機結合．③等價轉化的思想：通過坐標系使“數(shù)”與“形”相互結合，在解決問題時又需要相互轉化．(3)求軌跡方程的常用方法：①直接法：直接利用條件建立x，y之間的關系F(x，y)＝0.②待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程——先根據(jù)條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)．③定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程．④代入轉移法：動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x