高等數(shù)學(xué)之多元函數(shù)積分學(xué)

高等數(shù)學(xué)之多元函數(shù)積分學(xué)第1頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD一、格林公式1.單連通域與復(fù)連通域第2頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四定理12、格林公式第3頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.第4頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四第5頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例1.計(jì)算解:令故L為以和為邊的三角形的正向閉曲線.第6頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例2.

計(jì)算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉域.解:令,則利用格林公式,有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四解第8頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四xyoLyxo第9頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四xyo(注意格林公式的條件)第10頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四計(jì)算平面面積例如,橢圓所圍面積第11頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四GyxoBA如果在區(qū)域G內(nèi)有二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件1、曲線積分與路徑無關(guān)的定義二、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件第12頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四定理2.設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即

第13頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四說明:根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡化計(jì)算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動(dòng)點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)1)計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑;定理2目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例4.計(jì)算其中解:由于因此所給曲線積分與路徑無關(guān)，由圖形可知為圓周在第一象限內(nèi)的弧段.

因?yàn)樵谏?，?5頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四因?yàn)樵谏?，?6頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例5.

計(jì)算其中L為上半從O(0,0)到

A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L所圍原式圓周區(qū)域?yàn)镈,

則第17頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四例6.

驗(yàn)證是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函數(shù).

證:

設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁，共20頁，2022年，5月20日，21點(diǎn)22分，星期四內(nèi)容小結(jié)1.格林公式2.等價(jià)條件在D內(nèi)與路徑無關(guān).在

D

內(nèi)有對D內(nèi)任意閉曲線L有在D

內(nèi)有設(shè)P,Q在D內(nèi)具有一