多角度破解多變?cè)秶鷨栴}

多角度破解多變?cè)秶鷨栴}在近幾年的高考題目中，有些多變?cè)浚┐_定范圍問題，一般地可利用已知條件進(jìn)行消元，從而將多變量表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一元表達(dá)式，便于求得范圍（最值），且消元的方法較多.另外，某些題目也可以利用數(shù)形結(jié)合法求解.本專題重點(diǎn)說明從消元、數(shù)形結(jié)合等角度解答此類問題.（一）消元法：1、消元的目的：若表達(dá)式所含變量個(gè)數(shù)較多，則表達(dá)式的范圍不易確定（會(huì)受多個(gè)變量的取值共同影響），所以如果題目條件能夠提供減少變量的方式，則通常利用條件減少變量的個(gè)數(shù)，從而有利于求表達(dá)式的范圍（或最值），消元最理想的狀態(tài)是將多元表達(dá)式轉(zhuǎn)為一元表達(dá)式，進(jìn)而可構(gòu)造函數(shù)求得值域2、常見消元的方法：（1）利用等量關(guān)系消元：若題目中出現(xiàn)了變量間的關(guān)系（等式），則可利用等式進(jìn)行消元，在消元的過程中要注意以下幾點(diǎn)：①要確定主元：主元的選取有這樣幾個(gè)要點(diǎn)：一是主元應(yīng)該有比較明確的范圍（即稱為函數(shù)的定義域）；二是構(gòu)造出的函數(shù)能夠解得值域（函數(shù)結(jié)構(gòu)不復(fù)雜）②若被消去的元帶有范圍，則這個(gè)范圍由主元承擔(dān).例如選擇為主元，且有，則除了滿足自身的范圍外，還要滿足（即解不等式）（2）換元：常見的換元有兩種：①整體換元：若多元表達(dá)式可通過變形，能夠?qū)⒛骋粋€(gè)含多變量的式子視為一個(gè)整體，則可通過換元轉(zhuǎn)為一元表達(dá)式，常見的如等，例如在中，可變形為，設(shè)，則將問題轉(zhuǎn)化為求的值域問題注：在整體換元過程中要注意視為整體的式子是否存在范圍，即要確定新元的范圍②三角換元：已知條件為關(guān)于的二次等式時(shí)，可聯(lián)想到三角公式，從而將的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)表達(dá)式來求得范圍.因?yàn)槿呛瘮?shù)公式的變形與多項(xiàng)式變形的公式不同，所以在有些題目中可巧妙的解決問題，常見的三角換元有：平方和：聯(lián)想到正余弦平方和等于1，從而有：推廣：平方差：聯(lián)想到正割（）與正切（）的平方差為1，則有，推廣：注：若有限定范圍時(shí)，要注意對(duì)取值的影響，一般地，若的取值范圍僅僅以象限為界，則可用對(duì)應(yīng)象限角的取值刻畫的范圍3、消元后一元表達(dá)式的范圍求法：（1）函數(shù)的值域——通過常見函數(shù)，或者利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)值域（2）均值不等式：若表達(dá)式可構(gòu)造出具備使用均值不等式（等）的條件，則可利用均值不等式快速得到最值.（3）三角函數(shù)：①形如的形式：則可利用公式轉(zhuǎn)化為的形式解得值域（或最值）②形如：則可通過換元將其轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行求解③形如：，可聯(lián)想到此式為點(diǎn)和定點(diǎn)連線的斜率，其中為單位圓上的點(diǎn)，通過數(shù)形結(jié)合即可解得分式范圍（二）放縮消元法1、放縮法求最值的理論基礎(chǔ)：不等式的傳遞性：若，則2、常見的放縮消元手段：（1）抓住題目中的不等關(guān)系，若含有兩個(gè)變量間的不等關(guān)系，則可利用這個(gè)關(guān)系進(jìn)行放縮消元（2）配方法：通過利用“完全平方式非負(fù)”的特性，在式子中構(gòu)造出完全平方式，然后令其等于0，達(dá)到消元的效果（3）均值不等式：構(gòu)造能使用均值不等式的條件，利用均值不等式達(dá)到消元的效果（4）主元法：將多元表達(dá)式視為某個(gè)變量（即主元）的函數(shù)，剩下的變量視為常數(shù)，然后利用常規(guī)方法求得最值從而消去主元，達(dá)到消元的效果.3、放縮消元過程中要注意的地方：（1）在放縮過程中應(yīng)注意所求最值與不等號(hào)方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系，例如：若求最小值，則對(duì)應(yīng)的不等號(hào)為“”；若求最大值，則對(duì)應(yīng)的不等號(hào)為“”.放縮的方向應(yīng)與不等號(hào)的方向一致（2）對(duì)進(jìn)行放縮消元后的式子，要明確是求其最大值還是最小值.放縮法求最值的基礎(chǔ)是不等式的傳遞性，所以在求最值時(shí)要滿足其不等號(hào)的方向一致.若將關(guān)于的表達(dá)式進(jìn)行放縮消去，得到，例如，則下一步需要求出的最小值（記為），即，通過不等式的傳遞性即可得到.同理，若放縮后得到：，則需要求出的最大值（記為），即，然后通過不等式的傳遞性得到（3）在放縮的過程中，要注意每次放縮時(shí)等號(hào)成立的條件能夠同時(shí)成立，從而保證在不等式中等號(hào)能夠一直傳遞下去（三）數(shù)形結(jié)合法1、數(shù)形結(jié)合的適用范圍：（1）題目條件中含有多個(gè)不等關(guān)系，經(jīng)過分析后可得到關(guān)于兩個(gè)變量的不等式組（2）所求的表達(dá)式具備一定的幾何意義（截距，斜率，距離等）2、如果滿足以上情況，則可以考慮利用數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行解決3、高中知識(shí)中的“線性規(guī)劃”即為數(shù)形結(jié)合求多變量表達(dá)式范圍的一種特殊情形，其條件與所求為雙變量的一次表達(dá)式4、有些利用數(shù)形結(jié)合解決的題目也可以使用放縮消元的方式進(jìn)行處理，這要看所給的不等條件（尤其是不等號(hào)方向）是否有利于進(jìn)行放縮.【經(jīng)典例題】例1.已知函數(shù)，對(duì)任意的，存在，使得，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知，可得：，考慮進(jìn)行代入消元，但所給等式中無論用哪個(gè)字母表示另一個(gè)字母，形式都比較復(fù)雜不利于求出最值.所以可以考慮引入新變量作為橋梁，分別表示，進(jìn)而將變?yōu)殛P(guān)于的表達(dá)式再求最值.解：令，設(shè)可得且為增函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增答案：D.例2.若實(shí)數(shù)滿足條件，則的取值范圍是_________【答案】【解析】思路一：考慮所求式子中可變?yōu)?，所以原式變形為：，可視為關(guān)于的二次函數(shù)，設(shè)，其幾何含義為與連線的斜率，則由雙曲線性質(zhì)可知該斜率的絕對(duì)值小于漸近線的斜率，即，則思路二：本題也可以考慮利用三角換元.設(shè)，從而原式轉(zhuǎn)化為：，由可知的范圍為答案：例3.已知函數(shù)，若對(duì)任意的恒成立，則的取值范圍是．【答案】【解析】∵，∴在上成立，∴在上單調(diào)遞減，∴，．又“對(duì)任意的恒成立”等價(jià)于“對(duì)任意的恒成立”∴，解得，∴的取值范圍是．故答案為．例4.設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是__________【答案】QUOTE【解析】思路：考慮可用進(jìn)行表示，進(jìn)而得到關(guān)于的函數(shù)，再利用不等式組中天然成立的大小關(guān)系確定的范圍，再求出函數(shù)值域即可解：由及（*）可得：，解得：點(diǎn)睛：1.（*）為均值不等式的變形：；2.主元變?yōu)閍.例5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若存在兩項(xiàng)，使得，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q，且q＞0，由得：q=+，化簡(jiǎn)得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因?yàn)閍man=16a12，所以=16a12，則qm+n﹣2=16，解得m+n=6，所以=（m+n）（）=（10+）≥=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，解得，因?yàn)閙n取整數(shù)，所以均值不等式等號(hào)條件取不到，則＞，驗(yàn)證可得，當(dāng)m=2、n=4時(shí)，取最小值為，故選：B．例6.已知，則的最小值為______．【答案】【解析】，則，若，則，；若，可得，設(shè)，可設(shè)，即為，若，可得，成立；若，則，即，解得，即有z的最小值為，此時(shí)，成立．故答案為：．例7．若實(shí)數(shù)、滿足，且，則的最小值是__________，的最大值為__________．【答案】2【解析】實(shí)數(shù)、滿足，且，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值是2，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)故的最大值為，故答案為：2，．例8．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為__________【答案】【解析】思路：由可聯(lián)想到與的關(guān)系，即，所以，然后可利用進(jìn)一步放縮消元，得，在利用即可得到最大值：，所以的最大值為，其中等號(hào)成立條件為：答案：點(diǎn)睛：本題也可從入手，進(jìn)行三角換元：，由可得，然后根據(jù)不等號(hào)的方向進(jìn)行連續(xù)放縮，消去即可得到最值：.例9.設(shè)，且，則的最大值是____________【答案】QUOTE12【解析】思路：本題雖然有3個(gè)變量，但可通過進(jìn)行消元，觀察所求式子項(xiàng)的次數(shù)可知消去更方便，從而可得.然后可使用“主元法”進(jìn)行處理，將視為主元，即但本題要注意的取值范圍與相關(guān)，即，通過配方（或求導(dǎo)）可知的最大值在邊界處取得，即，，從而達(dá)到消去的效果，再求出中的最大值即可解：設(shè)為的極小值點(diǎn)其中設(shè)若可得：.例10.已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是____．【答案】.【解析】分析:根據(jù)函數(shù)f（x）圖象判斷a，b，c關(guān)系即范圍，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出最大值．詳解:作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：∵存在實(shí)數(shù)a＜b＜c，滿足f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc，由函數(shù)圖象可知：＜c＜e2，設(shè)g（c）=（c﹣6）lnc，則=lnc+1﹣，顯然在（，e2]上單調(diào)遞增，∵=2﹣＜0，=3﹣＞0，∴在（，e2]上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為c0，在g（c）在（，c0）上單調(diào)遞減，在（c0，e2]上單調(diào)遞增，又g（）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值為g（e2）=2e2﹣12．故答案為：2e2﹣12點(diǎn)睛:（1）本題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),其一是能夠很熟練準(zhǔn)確地畫出函數(shù)的圖像；其二是從圖像里能發(fā)現(xiàn)a+b=-6,＜c＜e2；其三是能夠想到構(gòu)造函數(shù)g（c）=（c﹣6）lnc，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.（2）本題要求函數(shù)的圖像和性質(zhì)掌握的比較好，屬于中檔題.【精選精練】1．已知，則取到最小值時(shí)（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，可得，且.所以，當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，解得.所以取到最小值時(shí).故選D.2．若實(shí)數(shù)a，b滿足ab＞0，則的最小值為（）A．8B．6C．4D．2【答案】C【解析】實(shí)數(shù)a，b滿足ab＞0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故選：C．3．【浙江省2019屆高考模擬卷（二)】若點(diǎn)位于由曲線與圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界），則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】畫出曲線與圍成的封閉區(qū)域，如圖陰影部分所示．表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)和定點(diǎn)連線的斜率，設(shè)，結(jié)合圖形可得或，由題意得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為，∴，∴或，∴的取值范圍為．故選D．4.已知函數(shù)，若滿足，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：由已知條件可得，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，從而將題中的條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二元一次不等式組，畫出相應(yīng)的可行域，之后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，確定最優(yōu)解的位置，從而求得范圍.詳解：根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，可知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，從而可以轉(zhuǎn)化為，并且，可以判斷出函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，從而有，根據(jù)約束條件，畫出對(duì)應(yīng)的可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，可知在點(diǎn)處取得最小值，在點(diǎn)處取得最大值，而邊界值取不到，故答案是，故選C.點(diǎn)睛：該題屬于利用題的條件，求得約束條件，確定可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)是分式形式的，屬于斜率型的，結(jié)合圖形，求得結(jié)果.5．已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先根據(jù)對(duì)稱性可得，且，，再根據(jù)韋達(dá)定理可得，利用基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)可得結(jié)果.詳解：函數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)，就是的圖象與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是方程的兩根，即為的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得，是的兩根，的圖象向左平移一個(gè)單位可得到的圖象，的圖象關(guān)于對(duì)稱，關(guān)于對(duì)稱，，且，，，，只有選項(xiàng)符合題意，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及基本不等式求最值，屬于難題.函數(shù)的性質(zhì)問題以及函數(shù)零點(diǎn)問題是高考的高頻考點(diǎn)，考生需要對(duì)初高中階段學(xué)習(xí)的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對(duì)稱性非常熟悉；另外，函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)在軸有交點(diǎn)方程有根函數(shù)與有交點(diǎn).6．直線與圓有公共點(diǎn)，則的最大值為（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】分析：由可得，換元、配方后利用二次函數(shù)求解即可.詳解：因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離不大于半徑，可得，由，，，，設(shè)，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)，，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查曲直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題.求最值問題往往先將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù):配方法、換元法、不等式法、三角函數(shù)法、圖像法、函數(shù)單調(diào)性法求解，利用函數(shù)的單調(diào)性求范圍，首先確定函數(shù)的定義域，然后準(zhǔn)確地找出其單調(diào)區(qū)間，最后再根據(jù)其單調(diào)性求凼數(shù)的最值即可.7．設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：不失一般性可設(shè)，利用，結(jié)合圖象可得的范圍及，，將所求式子轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，運(yùn)用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍.詳解：作出函數(shù)的圖象，由時(shí)，，可得，可化為；當(dāng)時(shí)，，可得，令，

解得或7，由圖象可得存在使得，可得，即有，則，設(shè)，則在遞減，則，則的范圍是，故選B．點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)式取值范圍的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．8．若均為任意實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：該題可以看做是圓上的動(dòng)點(diǎn)到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離的平方的最小值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離減去半徑的平方的最值問題，結(jié)合圖形，可以斷定那個(gè)點(diǎn)應(yīng)該滿足與圓心的連線與曲線在該點(diǎn)的切線垂直的問題來解決，從而求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即滿足條件的點(diǎn)，代入求得結(jié)果.詳解：由題意可得，其結(jié)果應(yīng)為曲線上的點(diǎn)與以為圓心，以為半徑的圓上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，可以求曲線上的點(diǎn)與圓心的距離的最小值，在曲線上取一點(diǎn)，曲線有在點(diǎn)M處的切線的斜率為，從而有，即，整理得，解得，所以點(diǎn)滿足條件，其到圓心的距離為，故其結(jié)果為，故選D.點(diǎn)睛：解決該題的關(guān)鍵是分析清式子代表的意義，再者就是什么時(shí)候滿足距離最小，之后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，應(yīng)用兩點(diǎn)斜率坐標(biāo)公式求得直線的斜率，兩條直線垂直，斜率乘積等于-1.從而求得結(jié)果.9．已知函數(shù)的兩個(gè)極值分別為，，若，分別在區(qū)間與內(nèi)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)根的分