版第一章解三角形測試題含詳解

必修五第一章解三角形測試卷

姓名：

一、選擇題

1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，則△ABC的形狀是()

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．非鈍角三角形

答案C2．在△ABC中，已知a＝1，b＝3，A＝30°，B為銳角，那么A，B，C的大小關(guān)系為()A．A>B>CB．B>A>CC．C>B>AD．C>A>BabbsinA3解析由正弦定理sinA＝sinB，∴sinB＝a＝2.∵B為銳角，∴B＝60°，則C＝90°，故C>B>A.答案C3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于()32A．42B．43C．46D.3解析A＝45°，由正弦定理，得b＝asinB答案CsinA．在△ABC中，＝°，＝，則a＋b＋c等于()4A60a3sinA＋sinB＋sinC83239263A.3B.3C.3D．23解析利用正弦定理及比任性質(zhì)，得a＋b＋c＝a＝3＝3＝23.答案DsinA＋sinB＋sinCsinAsin60°325．若三角形三邊長之比是1:3:2，則其所對角之比是()A．1:2:3B．1:3:2C．1:2:3D.2:3:2解析設(shè)三邊長分別為a，3a,2a，設(shè)最大角為A，則cosA＝a2＋3a2－2a2∴A＝90°.2·a·3a＝0，設(shè)最小角為B，則cosB＝2a2＋3a2－a232·2a·3a＝2，∴B＝30°，∴C＝60°.因此三角之比為1:2:3.答案A6．在△ABC中，若a＝6，b＝9，A＝45°，則此三角形有()A．無解B．一解C．兩解D．解的個數(shù)不確定9×2babsinA232解析由sinB＝sinA，得sinB＝a＝6＝4>1.∴此三角形無解．答案A7．已知△ABC的外接圓半徑為R，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB(其中a，b分別為A，B的對邊)，那么角C的大小為()A．30°B．45°C．60°D．90°解析依據(jù)正弦定理，原式可化為a2c2b＝(2a－b)b，∴a2＋b2－c2＝22R2－2＝(2a－b)·，∴a2－c24R4R2R，∴2222，∴C＝45°.答案B＝a＋b－c＝abcosC2ab28．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且知足ab＝4，則該三角形的面積為()A．1B．2C.2D.3解析由a＝b＝c＝2R，又sin2＋2－＝2，sinAsinBsinCAsinBsinAsinBsinC可得a2＋b2－ab＝c2a2＋b2－c213∴cosC＝2ab＝2，∴C＝60°，sinC＝2.∴S1答案D2△．在△ABC中，＝°，＝，＝，則sinB的值為()9A120AB5BC7sinC8553A.5B.8C.3D.5解析由余弦定理，得2＋AC2－BC2由正cosA＝AB，解得AC＝3.2AB·ACsinBAC3弦定理sinC＝AB＝5.答案D10．在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC的大小為()2π5πC.3ππA.3B.64D.3由余弦定理，得cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22＋32－72解析2AB·AC＝5××＝－25312π2，∴∠BAC＝3.答案A11．有一長為1km的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則坡底要加長()3A．0.5kmB．1kmC．1.5kmD.2km解析如圖，AC＝AB·sin20°＝sin20°，BC＝AB·cos20°＝cos20°，DC＝AC＝2cos210°，tan10°DB＝DC－BC＝2cos210°－cos20°＝1.答案

B＋

12．已知△ABC中，A，B，C2，且A＝75°，則b為()

的對邊分別為

a，b，c.若

a＝c＝

6A．2

B．4＋2

3

C．4－2

3

D.6－

2解析

在△ABC中，由余弦定理，得

a2＝b2＋c2－2bccosA，∵ac，∴0＝b2－2bccosA＝b2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝23－1＝1－2)，∴22(22)4(6b－2b(6＋2)cos75°＝b2－2b(6＋1－＝2－2b＝0，解得2)·2)4(6bb＝2，或b＝0(舍去)．應(yīng)選A.答案A二、填空題13．在△ABC中，A＝60°，C＝45°，b＝4，則此三角形的最小邊是____________．解析由A＋B＋C＝180°，得B＝75°，∴c為最小邊，由正弦定理，知c＝bsinC4sin45°3－1)．答案4(3－1)sinB＝＝4(sin75°14．在△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，則A＝________.解析由B＝A＋60°，得13sinB＝sin(A＋60°)＝2sinA＋2cosA.又由b＝2a，知sinB＝2sinA.∴2sinA＝1＋3即3＝32sinA2cosA2sinA2cosA.3∵cosA≠0，∴tanA＝3.∵0°<A<180°，∴A＝30°.答案30°15．在△ABC中，A＋C＝2B，BC＝5，且△ABC的面積為103，B＝________，AB＝________.解析由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°，得B＝60°.又S＝1··∴＝1××，°∴＝答案°2ABBCsinB1032AB5sin60AB8.60816．在△ABC中，已知(b＋c):(c＋a):(a＋b)＝8:9:10，則sinA:sinB:sinCb＋c＝8k，＝________.解析

設(shè)c＋a＝9k，a＋b＝10k，

可得

a:b:c＝11:9:7.sinA:sinB:sinC＝11:9:7.答案11:9:7三、解答題2＝sinAcosB，判斷△ABC的形狀．17．(10分)在△ABC中，若a2bcosAsinB解a2acosB依據(jù)正弦定理，得2＝·，因此acosA＝bcosB.再由正弦bbcosA定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，因為2A,2B∈(0,2π)，π故2A＝2B，或2A＋2B＝π從.而A＝B，或A＋B＝2，即△ABC為等腰三角形，或直角三角形．．分銳角三角形ABC中，邊，是方程2－23x＋2＝0的18(12)abx兩根，角A，B知足2sin(A＋B)－3＝0.求：(1)角C的度數(shù)；(2)邊c的長度及△ABC的面積．(1)由2sin(A＋B)－3＝0，得sin(A＋B)＝3解2.∵△ABC為銳角三角形，∴A＋B＝120°，∴∠C＝60°.(2)∵，是方程2－23x＋2＝0的兩個根，abxa＋b＝23，ab＝2.∴c2＝a2＋b2－2abcosC(a＋b)2－3ab＝12－6＝6.∴c＝6.1133S△ABC＝2absinC＝2×2×2＝2.19．(12分)如右圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°，距離為126nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為83nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時，再看燈塔B在北偏東120°，求：(1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．解析(1)要求AD的長，在△ABD中，AB＝126，B＝45°，可由正弦定理求解；(2)要求CD的長，在△ACD中，可由余弦定理求解．解(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝126，由正126×2弦定理，得AD＝ABsinB＝2＝24(nmile)．sin∠ADB32(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°.解得CD＝83(nmile)．∴A處與D處的距離為24nmile，燈塔C與D處的距離為83nmile.20．(12分)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A＝25→→＝3.且知足cos，AB·25AC(1)求△ABC的面積；(2)若b＋c＝6，求a的值．25(1)∵cos2＝5，cosA＝2cos2A2－1＝35，sinA＝45.→→＝3，得bccosA＝3，∴bc＝5.又由AB·AC1因此S△ABC＝2bcsinA＝2.(2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6，b＝5，c＝1，或b＝1，c＝5.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20.∴a＝25.π21．(12分)在△ABC中，已知內(nèi)角A＝3，邊BC＝23，設(shè)內(nèi)角B＝x，周長為y.(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式和定義域；(2)求y的最大值．π解(1)△ABC的內(nèi)角和A＋B＋C＝π，由A＝3，B>0，C>0，得2π0<B<3.應(yīng)用正弦定理，得AC＝BC·sinB＝23·sinx＝4sinx.sinAπsin3BC

2πAB＝sinAsinC＝4sin

3－x.y＝AB＋BC＋CA，2π2π∴y＝4sinx＋4sin3－x＋230<x<3.1y＝4(sinx＋2cosx＋2sinx)＋23π＝43sin(x＋6)＋23.ππ5π∵6<x＋6<6，πππ∴當(dāng)x＋6＝2，即x＝3時，y獲取最大值63.22．(12分)△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，tanCsinA＋sinBcosA＋cosB，sin(B－A)＝cosC.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.(1)因為tanC＝sinA＋sinB，cosA＋cosBsinCsinA＋sinBcosC＝cosA＋cosB，因此sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－si