2023學年江蘇省蘇州市新草橋中學高考數學五模試卷（含解析）

2023學年高考數學模擬測試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，均為非零的平面向量，則“存在負數，使得”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．設數列的各項均為正數，前項和為，，且，則（）A．128 B．65 C．64 D．633．已知，，則（）A． B． C． D．4．已知P是雙曲線漸近線上一點，，是雙曲線的左、右焦點，，記，PO，的斜率為，k，，若，-2k，成等差數列，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．某學校為了調查學生在課外讀物方面的支出情況，抽取了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在（單位：元）的同學有34人，則的值為（）A．100 B．1000 C．90 D．906．如圖，在中，點為線段上靠近點的三等分點，點為線段上靠近點的三等分點，則（）A． B． C． D．7．已知函數，其圖象關于直線對稱，為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象上的所有點（）A．先向左平移個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變B．先向右平移個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變C．先向右平移個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變D．先向左平移個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變8．函數的圖象大致為（）A． B．C． D．9．若雙曲線的離心率，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（）A． B．2 C． D．110．已知為虛數單位，若復數，，則A． B．C． D．11．如圖，在等腰梯形中，，，，為的中點，將與分別沿、向上折起，使、重合為點，則三棱錐的外接球的體積是（）A． B．C． D．12．已知復數滿足，其中是虛數單位，則復數在復平面中對應的點到原點的距離為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將一顆質地均勻的正方體骰子（每個面上分別寫有數字1，2，3，4，5，6）先后拋擲2次，觀察向上的點數，則點數之和是6的的概率是___．14．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值為，則實數的值是_______．15．已知單位向量的夾角為,則=_________.16．已知，為正實數，且，則的最小值為________________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數方程為（為參數）和曲線（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．（1）求直線和曲線的極坐標方程；（2）在極坐標系中，已知點是射線與直線的公共點，點是與曲線的公共點，求的最大值．18．（12分）已知A是拋物線E：y2＝2px(p>0)上的一點，以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x＝1于M，N兩點.（1）若|MN|＝2，求拋物線E的方程；（2）若0＜p＜1，拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點為P，Q，點G為PQ的中點，O為坐標原點，求直線OG斜率的取值范圍.19．（12分）在世界讀書日期間，某地區(qū)調查組對居民閱讀情況進行了調查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城鎮(zhèn)居民140人，農村居民60人.在這些居民中，經常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農村居民有30人.（1）填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關？城鎮(zhèn)居民農村居民合計經常閱讀10030不經常閱讀合計200（2）調查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出7人，參加一次閱讀交流活動，若活動主辦方從這7位居民中隨機選取2人作交流發(fā)言，求被選中的2位居民都是經常閱讀居民的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）已知函數，.（1）討論的單調性；（2）當時，證明：.21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρcos2θ=4asinθ?(a>0)，直線l的參數方程為x=-2+22t,y=-1+（I）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程（不要求具體過程）；（II）設P(-2,-1)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，求a的值．22．（10分）已知曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）寫出曲線的極坐標方程；（2）點是曲線上的一點，試判斷點與曲線的位置關系．

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】

根據充分條件、必要條件的定義進行分析、判斷后可得結論．【題目詳解】因為，均為非零的平面向量，存在負數，使得，所以向量，共線且方向相反，所以，即充分性成立；反之，當向量，的夾角為鈍角時，滿足，但此時，不共線且反向，所以必要性不成立．所以“存在負數，使得”是“”的充分不必要條件．故選B．【答案點睛】判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p，定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時注意選擇恰當的方法判斷命題是否正確．2、D【答案解析】

根據，得到，即，由等比數列的定義知數列是等比數列，然后再利用前n項和公式求.【題目詳解】因為，所以，所以，所以數列是等比數列，又因為，所以，.故選：D【答案點睛】本題主要考查等比數列的定義及等比數列的前n項和公式，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.3、D【答案解析】

分別解出集合然后求并集.【題目詳解】解：，故選：D【答案點睛】考查集合的并集運算，基礎題.4、B【答案解析】

求得雙曲線的一條漸近線方程，設出的坐標，由題意求得，運用直線的斜率公式可得，，，再由等差數列中項性質和離心率公式，計算可得所求值．【題目詳解】設雙曲線的一條漸近線方程為，且，由，可得以為圓心，為半徑的圓與漸近線交于，可得，可取，則，設，，則，，，由，，成等差數列，可得，化為，即，可得，故選：．【答案點睛】本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程和離心率，考查方程思想和運算能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．5、A【答案解析】

利用頻率分布直方圖得到支出在的同學的頻率，再結合支出在（單位：元）的同學有34人，即得解【題目詳解】由題意，支出在（單位：元）的同學有34人由頻率分布直方圖可知，支出在的同學的頻率為．故選：A【答案點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應用，考查了學生概念理解，數據處理，數學運算的能力，屬于基礎題.6、B【答案解析】

，將,代入化簡即可.【題目詳解】.故選：B.【答案點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算、數乘運算，考查學生的運算能力，是一道中檔題.7、D【答案解析】

由函數的圖象關于直線對稱，得，進而得再利用圖像變換求解即可【題目詳解】由函數的圖象關于直線對稱，得，即，解得，所以，，故只需將函數的圖象上的所有點“先向左平移個單位長度，得再將橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變,得”即可.故選：D【答案點睛】本題考查三角函數的圖象與性質，考查圖像變換，考查運算求解能力，是中檔題8、A【答案解析】

根據函數的奇偶性和單調性，排除錯誤選項，從而得出正確選項.【題目詳解】因為，所以是偶函數，排除C和D.當時，，，令，得，即在上遞減；令，得，即在上遞增.所以在處取得極小值，排除B.故選：A【答案點睛】本小題主要考查函數圖像的識別，考查利用導數研究函數的單調區(qū)間和極值，屬于中檔題.9、C【答案解析】

根據雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點到直線距離公式即可求解.【題目詳解】雙曲線的離心率，則，，解得，所以焦點坐標為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點，則由點到直線距離公式可得，故選：C.【答案點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質及簡單應用，漸近線方程的求法，點到直線距離公式的簡單應用，屬于基礎題.10、B【答案解析】

由可得，所以，故選B．11、A【答案解析】

由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形，折疊成的三棱錐是正四面體，易求得其外接球半徑，得球體積．【題目詳解】由題意等腰梯形中，又，∴，是靠邊三角形，從而可得，∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體，設是的中心，則平面，，，外接球球心必在高上，設外接球半徑為，即，∴，解得，球體積為．故選：A．【答案點睛】本題考查求球的體積，解題關鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體．12、B【答案解析】

利用復數的除法運算化簡z,復數在復平面中對應的點到原點的距離為利用模長公式即得解.【題目詳解】由題意知復數在復平面中對應的點到原點的距離為故選：B【答案點睛】本題考查了復數的除法運算，模長公式和幾何意義，考查了學生概念理解，數學運算，數形結合的能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

先求出基本事件總數6×6＝36，再由列舉法求出“點數之和等于6”包含的基本事件的個數，由此能求出“點數之和等于6”的概率．【題目詳解】基本事件總數6×6＝36，點數之和是6包括共5種情況，則所求概率是．故答案為【答案點睛】本題考查古典概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．14、1【答案解析】

把向量進行轉化，用表示，利用基本不等式可求實數的值.【題目詳解】，解得＝1．故答案為：1.【答案點睛】本題主要考查平面向量的數量積應用，綜合了基本不等式，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).15、【答案解析】

因為單位向量的夾角為，所以，所以==.16、【答案解析】

由，為正實數，且，可知，于是，可得，再利用基本不等式即可得出結果.【題目詳解】解：，為正實數，且，可知，，.當且僅當時取等號.的最小值為.故答案為：.【答案點睛】本題考查了基本不等式的性質應用，恰當變形是解題的關鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【答案解析】

（1）先將直線l和圓C的參數方程化成普通方程，再分別求出極坐標方程；（2）寫出點M和點N的極坐標，根據極徑的定義分別表示出和，利用三角函數的性質求出的最大值.【題目詳解】解：（1），，即極坐標方程為，，極坐標方程．（2）由題可知，，當時，.【答案點睛】本題考查了參數方程、普通方程和極坐標方程的互化問題，極徑的定義，以及三角函數的恒等變換，屬于中檔題.18、（1）.（2）【答案解析】

（1）設A的坐標為A（x0，y0），由題意可得圓心C的坐標，求出C到直線x＝1的距離.由半個弦長，圓心到直線的距離及半徑構成直角三角形可得p的值，進而求出拋物線的方程；（2）將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立可得韋達定理，進而求出中點G的坐標，再求出直線OG的斜率的表達式，換元可得斜率的取值范圍.【題目詳解】（1）設A（x0，y0）且y02＝2px0，則圓心C（），圓C的直徑|AB|，圓心C到直線x＝1的距離d＝|1|＝||，因為|MN|＝2，所以（）2+d2＝（）2，即1，y02＝2px0，整理可得（2p﹣4）x0＝0，所以p＝2，所以拋物線的方程為：y2＝4x；（2）聯(lián)立拋物線與圓的方程整理可得x2﹣2（5﹣p）x+16＝0，△＞0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2＝2（5﹣p），x1x2＝16，所以中點G的橫坐標xG＝5﹣p，yG（），所以kOG（0＜P＜1），令t＝5﹣p（t∈（4，5）），則kOG（），解得0＜kOG，所以直線OG斜率的取值范圍（0，）.【答案點睛】本題考查拋物線的性質及直線與拋物線的綜合，換元方法的應用，屬于中檔題.19、（1）見解析，有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關.（2）【答案解析】

（1）根據題中數據得到列聯(lián)表，然后計算出，與臨界值表中的數據對照后可得結論；（2）由題意得概率為古典概型，根據古典概型概率公式計算可得所求.【題目詳解】（1）由題意可得：城鎮(zhèn)居民農村居民合計經常閱讀10030130不經常閱讀403070合計14060200則，所以有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關.（2）在城鎮(zhèn)居民140人中，經常閱讀的有100人，不經常閱讀的有40人.采取分層抽樣抽取7人，則其中經常閱讀的有5人，記為、、、、；不經常閱讀的有2人，記為、.從這7人中隨機選取2人作交流發(fā)言，所有可能的情況為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種，被選中的位居民都是經常閱讀居民的情況有種，所求概率為.【答案點睛】本題主要考查古典概型的概率計算，以及獨立性檢驗的應用，利用列舉法是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力.對于古典概型，要求事件總數是可數的，滿足條件的事件個數可數，使得滿足條件的事件個數除以總的事件個數即可，屬于中檔題.20、（1）見解析；（2）見解析【答案解析】

（1）求導得，分類討論和，利用導數研究含參數的函數單調性；（2）根據（1）中求得的的單調性，得出在處取得最大值為，構造函數，利用導數，推出，即可證明不等式.【題目詳解】解：（1）由于，得，當時，，此時在上遞增；當時，由，