2019高考真題分類匯編-統(tǒng)計與概率教學內(nèi)容

精品文檔精品文檔2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試試題分類匯編———統(tǒng)計與概率6.（全國卷I理6）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，下圖就是一重卦?在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是（）A.1611B.A.1611B.3221C.3211答案：A解答每爻有陰陽兩種情況，所以總的事件共有26種，在6個位置上恰有3個是陽爻的情況有C3種,6所以p=C=20=1626641615.（全國卷I理15）甲乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該對獲勝，決賽結(jié)束）根據(jù)前期的比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽相互獨立，則甲隊以4:1獲勝的概率.答案：0.18解答：甲隊要以4:1，則甲隊在前4場比賽中輸一場，第5場甲獲勝，由于在前4場比賽中甲有2個主場2個客場，于是分兩種情況：Ci?0.6?0.4?0.52?0.6+0.62?Ci?0.5?0.5?0.6二0.18.2221.（全國卷I理21）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物實驗．實驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比實驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪實驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止實驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪實驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分?甲、乙兩種藥的治愈率分別記為"和0，—輪實驗中甲藥的得分記為X(1)求X的分布列；(2)若甲藥、乙藥在實驗開始時都賦予4分，p(i=0,1,L,8)表示“甲藥的累計得分為i時,i最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則P=0，P=108p=ap+bp+cp(i=1,2,L,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)ii-1ii+1c=P(X=1).假設a=0.5，p=0.8證明：{p一p}(i=0,1，2,L,7)為等比數(shù)列；i+1i求p，并根據(jù)p的值解釋這種實驗方案的合理性.44答案：(1)略；(2)略解答：(1)一輪實驗中甲藥的得分有三種情況：1、-1、0．得1分時是施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則P(X=1)=a(1-p)；得-1分時是施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則P(X=-1)=(1-a)卩；得0分時是都治愈或都未治愈，則P(X=0)=ap+(1-a)(1-p).則X的分布列為：1-10p爼1—0〕0D如+(1-師-0)(2)(i)因為a=0.5，p=0?8，則a=P(X=-1)=0.4，b=P(X=0)=0.5，c=P(X=1)=0.1可得p=0.4p+0.5p+0.1p，則0.5p=0.4p+0.1p，TOC\o"1-5"\h\zii-1ii+1ii-1i+1p-p則0.4(p—p)=0.1(p—p)，則f卜=4，ii-1i+1ip-pii-1所以{p-p}(i=0,1,2,L,7)為等比數(shù)列.i+1i(ii){p-p}(i=0,1,2,L,7)的首項為p-p=p，那么可得：i+1i101p—p=pX47，871p-p=pX46，761p-p二px4,211以上7個式子相加’得到p8一冒P1x(47+46+L+4),1-4848-1貝9p=px(1+4+L+46+47)=px=p,8111-431再把后面三個式子相加’得p4-P1二P1X(4+42+43)，則p=px(1+4+42+43)=gp=—x丄=431348—144+1257p4表示“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只，且甲藥的累計得分為4”因為?=0.5,

0=0.8，a<p，則實驗結(jié)果中“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只，且甲藥的累計1得分為4”這種情況的概率是非常小的，而p4=257的確非常小，說明這種實驗方案是合理的．6.(全國卷I文6)某學校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學生編號為1,2,3,L,1000從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學生進行體質(zhì)測驗，若46號學生被抽到，則下面4名學生中被抽到的是().A.8號學生B.200號學生C.616號學生D.815號學生答案：C解答：從1000名學生中抽取100名，每10人抽一個，46號學生被抽到，則抽取的號數(shù)就為10n+6(0<n<99,neN)，可得出616號學生被抽到.17.(全國卷I文17)某商場為提高服務質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男顧客4010女顧客3020分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？n(ad-bc)2附：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828答案：4050女顧客的的滿意概率為p二30（2）有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.解答：（1）解答：（1）男顧客的的滿意概率為p二50女顧客的的滿意概率為p二30(2)=4.762100(40x20-10x30)2(2)=4.762(40+10)(30+20)(40+30)(10+20)4.762>3.841有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.5.（全國卷II理5）演講比賽共有9位評委分別給出某位選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分。7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差答案：A解答：由于共9個評委，將評委所給分數(shù)從小到大排列，中位數(shù)是第5個，假設為a，去掉一頭一尾的最低和最高分后，中位數(shù)還是a，所以不變的是數(shù)字特征是中位數(shù)。其它的數(shù)字特征都會改變。（全國卷II理13）我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進。經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為答案：0.98解答：經(jīng)停該站的列出共有40個車次，所有車次的平均正點率的估計值為門10x0.97+20x0.98+10x0.99nnoP==0?98。40（全國卷II理18）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.⑴求P（X二2）⑵求事件“X=4且甲獲勝”的概率.答案：（1）0.5；（2）0.06

解析：⑴X=2時，有兩種可能：甲連贏兩局結(jié)束比賽，此時P二0.5x0.4二0.2；乙連贏兩局結(jié)束比賽，此時P=0.5x0.6=0.3,.?.p（X=2）二P+P=0.5；12（2）X=4且甲獲勝，即只有第二局乙獲勝，其他都是甲獲勝，此時P=0.5x0.6x0.5x0.4=0.06.4.（全國卷II文4）生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標?若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為（）2321A.B.C.D.3555答案：B解答：計測量過的3只兔子為1、2、3，設測量過的2只兔子為A、B則3只兔子的種類有(123)(1,2,A)(1,2,B)(1,3,A)(1,3,B)(1,A,B)(2,3,A)(2,3,B)(2,A,B)(3,A,B)”,則恰好有兩只測量過的有6種，所以其概率為5（全國卷II文14）我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站的高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.答案：0.98解答：平均正點率的估計值==0.980.97x10+0.98x20+0.99x10平均正點率的估計值==0.9840（全國卷II文19）某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表.y的分組[-0.20,0)[0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)企業(yè)數(shù)224531471）分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例；(2)求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).(精確到0.01)附：H74沁8.602答案：詳見解析解答:14+721⑴這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40%的企業(yè)比例是時二而,這類企業(yè)中產(chǎn)值負增長的企業(yè)比例是島2)這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的平均數(shù)是[(-0.10)x2+0.10x24+0.30x53+0.50x14+0.70x7卜100=0.30這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的方差是[(-0.10—0.30)x2+(0.10—0.30)x24+(0.30—0.30)x53+(0.50—0.30)x14+(0.70—0.30)x7十100=0.0296所以這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的標準差是、證0296=希柄=侖x&602=017204-°」7-3.(全國卷III理3文4)《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶,并稱為中國古典小說四大名著，某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為()A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8答案：C解答：90—80+60二0.710017.(全國卷III理17文17)為了解甲，乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下實驗：將200只小鼠隨機分成A,B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同，摩爾溶度相同。經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記C記C為事件''乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計值為0.70.（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a,b的值;（2）分別估計甲，乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.答案：見解析解答:a+0.2+0.15二0.7fa二0.351）依題意得解得1）依題意得0.05+b+0.15+0.15+0.2+a二1[b=0.1'（2）0.15x2+0.2x3+0.3x4+0.2x5+0.1x6+0.05x7=4.050.05x3+0.1x4+0.15x5+0.3x6+0.2x7+0.15x8=5.7得到甲離子殘留百分比的平均值為4.05,，乙離子殘留百分比的平均值為5.7.17.（北京卷理17）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一?為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A（II）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

(Ill)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．2【答案】(I)5；(II)見解析；(I)見解析.【解析】【分析】(I)由題意利用古典概型計算公式可得滿足題意的概率值；(II)首先確定X可能的取值，然后求得相應的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學期望即可(I)由題意結(jié)合概率的定義給出結(jié)論即可.【詳解】(I)由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為：100-30-25-5=40人，則:402該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率P二而二5-(I)由題意可知，32僅使用a支付方法的學生中，金額不大于1000的人數(shù)占5，金額大于1000的人數(shù)占5，23僅使用b支付方法的學生中，金額不大于1000的人數(shù)占5，金額大于1000的人數(shù)占5，且X可能的取值為0,1,2.p(xp(x=0)=5xI=25，p(X=1)==13，p(X=2)=3x2=A,255525ee(x)=0x25+1x25+2x25=1-X012p(X)6136252525X分布列為：其數(shù)學期望：(III)我們不認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?理由如下:隨機事件在一次隨機實驗中是否發(fā)生是隨機的，是不能預知的，隨著試驗次數(shù)的增多，頻率越來越穩(wěn)定于概率。學校是一個相對消費穩(wěn)定的地方，每個學生根據(jù)自己的實際情況每個月的消費應該相對固定，

出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件”.【點睛】本題以支付方式相關(guān)調(diào)查來設置問題，考查概率統(tǒng)計在生活中的應用，考查概率的定義和分布列的應用，使學生體會到數(shù)學與現(xiàn)實生活息息相關(guān).17.(北京卷文17)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，求該學生上個月支付金額大于2000元的概率;已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元.結(jié)合(II)的結(jié)果，能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．【答案】(I)400人I)1I)125；(III)見解析.解析】分析】(I)由題意利用頻率近似概率可得滿足題意的人數(shù);(I)利用古典概型計算公式可得上個月支付金額大于2000元的概率;(I)結(jié)合概率統(tǒng)計相關(guān)定義給出結(jié)論即可.【詳解】(I)由圖表可知僅使用A的人數(shù)有30人，僅使用B的人數(shù)有25人,由題意知AB兩種支付方式都不使用的有5人，

所以樣本中兩種支付方式都使用的有100-30-25-5=40,所以全校學生中兩種支付方式都使用的有1400X1000二400(人).(II)因為樣本中僅使用B的學生共有25人，只有1人支付金額大于2000元,1所以該學生上個月支付金額大于2000元的概率為25.1(ill)由(II)知支付金額大于2000元的概率為25，因為從僅使用B的學生中隨機調(diào)查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元,依據(jù)小概率事件它在一次試驗中是幾乎不可能發(fā)生的，所以可以認為僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，且比上個月多.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式及其應用，概率的定義與應用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.216.(天津卷理16)設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為3?假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.用X表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；設M為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.16.本小題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.滿分13分.，從而P(X=k)=C3，從而P(X=k)=C3kI-k=0丄2,3.概率均為2，故X~B[3,2'3V3丿所以，隨機變量X的分布列為X0123P1248279927隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=3x2=2.(II)解：設乙同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為Y，貝yY~B13,3丿，且V3丿M=｛X=3,Y=1｝U｛X=2,Y=0｝.由題意知事件｛X=3,Y=1｝與｛X=2,Y=0｝互斥，且事件｛x=3｝與｛y=1｝,事件｛x=2｝與｛y=0｝均相互獨立，從而由(I)知P(M)=P(｛X=3,Y=1｝U｛X=2,Y=0｝)=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=—x-+4x丄=竺27992724315.(天津卷文15)2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項附加扣除的享受情況.應從老、中、青員工中分別抽取多少人？抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為A,B,C,D,E,F享受情況如右表，其中“O”表示享受，“X”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機抽取2人接受采訪.員工項目、\ABCDEF子女教育OOXOXO繼續(xù)教育XXOXOO大病醫(yī)療XXXOXX住房貸款利息OOXXOO住房租金XXOXXX贍養(yǎng)老人OOXXXO試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；設M為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件M發(fā)生的概率.15.本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計算公式等基本知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力，滿分13分.解：(I)由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為6:9:10，由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應從老、中、青員中分別抽取6人，9人，10人.

(II)(i)從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結(jié)果為{a,b},{a,c},{a,d},{a,e}，a,F},{b,c},{b,d},{b,e},{b,f},{c,d},{c,e},{c,f},{d,e},{d,fj，共15種.(ii)由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為{a,b},{a,d},{a,e},{a,f},{b,d},{b,e},{b,f},{c,e},{c,f},{d,f},{e,f},共11種.所以，事件M發(fā)生的概率P(M)=157.(浙江卷7)7.(浙江卷7)設0<a<1，則隨機變量X的分布列是:A.D(X)增大B.D(X)減小C.DC.D(X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大【答案】D【解析】【分析】研究方差隨a變化的增大或減小規(guī)律，常用方法就是將方差用參數(shù)a表示，應用函數(shù)知識求解.本題根據(jù)方差與期望的關(guān)系，將方差表示為a的二次函數(shù)，二測函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題?題目有一定綜合性，注重重要知識、基礎知識、運算求解能力的考查.【詳解】方法I：由分布列得E(X)=￥，貝yD(X)D(X)=21x—=32(9、則當a在(0,1)內(nèi)增大時，D(X)先減小后增大.方法2：則DX)=E(X2)-E(X)=o+彳+3(a+1)29—2a2—2a+2299a—故選D.點睛】易出現(xiàn)的錯誤有，一是數(shù)學期望、方差以及二者之間的關(guān)系掌握不熟，無從著手；二是計算能力差，不能正確得到二次函數(shù)表達式.(江蘇卷5)已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是.5【答案】【解析】【分析】由題意首先求得平均數(shù)，然后求解方差即可.6+7+8+8+9+10°【詳解】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為二8,615所以該組數(shù)據(jù)的方差是匸［(6—8)2+(7—8)2+(8—8)2+(8—8)2+(9—8)2+(10—8)2］匕.63【點睛】本題主要考查方差的計算公式，屬于基礎題.(江蘇卷6)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是.7【答案】10【解析】【分析】先求事件的總數(shù)，再求選出的2名同學中至少有1名女同學的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計算公式得出答案.【詳解】從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿服務，共有C；=10種情況.若選出的2名學生恰有1名女生，有C1C1二6種情況，32若選出的2名學生都是女生，有C2二1種情況，26+17所以所求的概率為市二憶.【點睛】計數(shù)原理是高考考查的重點內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨立考查，二是與古典概型結(jié)合考查，由于古典概型概率的計算比較明確，所以，計算正確基本事件總數(shù)是解題的重要一環(huán).在處理問題的過程中，應注意審清題意，明確“分類”“分步”，根據(jù)順序有無，明確“排列”“組合”.25.(江蘇卷25)在平面直角坐標系xOy中，設點集A二{(0,0),(1,0),(2,0),...,(n,0)}nB={(0,1