江西省上饒市玉山一中等六校2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)四模試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)F是雙曲線C2:x2m-y21-m=1A．2+1 B．22+3 C．2．下圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊，已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為，記，則（）A． B． C．1 D．3．根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)（其中），求得的回歸方程是，則下列說(shuō)法正確的是()A．至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線上B．若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C．對(duì)所有的解釋變量（），的值一定與有誤差D．若回歸直線的斜率，則變量x與y正相關(guān)4．2019年某校迎國(guó)慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個(gè)合唱隊(duì)每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖如圖所示（以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）.若甲隊(duì)得分的中位數(shù)是86，乙隊(duì)得分的平均數(shù)是88，則（）A．170 B．10 C．172 D．125．如圖，在平行四邊形中，為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)為平行四邊形外一點(diǎn)，且，，則（）A． B．C． D．6．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱(chēng)，登泰山的路線有四條：紅門(mén)盤(pán)道徒步線路，桃花峪登山線路，天外村汽車(chē)登山線路，天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時(shí)，發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同，且均沒(méi)有走天外村汽車(chē)登山線路，三人向其他旅友進(jìn)行如下陳述：甲：我走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路，乙走桃花峪登山線路；乙：甲走桃花峪登山線路，丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路；丙：甲走天燭峰登山線路，乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路；事實(shí)上，甲、乙、丙三人的陳述都只對(duì)一半，根據(jù)以上信息，可判斷下面說(shuō)法正確的是（）A．甲走桃花峪登山線路 B．乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路C．丙走桃花峪登山線路 D．甲走天燭峰登山線路7．若集合，則（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為（）A． B．C． D．9．某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120°，并在扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個(gè)，導(dǎo)線接頭忽略不計(jì))，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線最小大致需要的長(zhǎng)度為（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米10．設(shè)，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（）A．1 B．2 C． D．11．設(shè)a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．12．已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度，若，，則（）A． B．C．6 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，，若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，則的取值范圍是_________．14．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，，成等差數(shù)列，則.15．若將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位后所得的圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為_(kāi)_______________.16．如圖，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線：.（1）當(dāng)時(shí)，求與的交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）直線與曲線交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，求的值.18．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中.若問(wèn)題中的正整數(shù)存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，是等差數(shù)列，__________，，，，是否存在正整數(shù)，使得成立？19．（12分）已知分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為是橢圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足.(1)求的方程；(2)若點(diǎn)在圓上，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的取值范圍.20．（12分）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）當(dāng)，且時(shí)，求的面積.21．（12分）追求人類(lèi)與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（）的檢測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于，的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為，試估計(jì)該企業(yè)一個(gè)月（按30天計(jì)算）的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為；直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線分別交于兩點(diǎn)．（1）寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，，求的值．

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【答案解析】

先由題和拋物線的性質(zhì)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.【題目詳解】由題意知，拋物線焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)F'(-1,0)，雙曲線半焦距c=1，設(shè)點(diǎn)Q(-1,y)ΔFPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，即PF所以PQ⊥拋物線的準(zhǔn)線，從而PF⊥x軸，所以P1,2∴2a=P即a=故雙曲線的離心率為e=故選A【答案點(diǎn)睛】本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫(huà)出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.2、D【答案解析】

根據(jù)以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得，即的值，由此求得和的值，進(jìn)而求得所求表達(dá)式的值.【題目詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為，所以，即，所以，所以.故選：D【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.3、D【答案解析】

對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【題目詳解】回歸直線必過(guò)樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，但樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上﹐故A錯(cuò)誤；所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則變量間的相關(guān)系數(shù)為，故B錯(cuò)誤；若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上，則的值與相等，故C錯(cuò)誤；相關(guān)系數(shù)r與符號(hào)相同，若回歸直線的斜率，則，樣本點(diǎn)分布應(yīng)從左到右是上升的，則變量x與y正相關(guān)，故D正確．故選D．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.4、D【答案解析】

中位數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┡帕泻?，處在最中間的那個(gè)數(shù)，平均數(shù)指一串?dāng)?shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù).【題目詳解】由莖葉圖知，甲的中位數(shù)為，故；乙的平均數(shù)為，解得，所以.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，涉及到中位數(shù)、平均數(shù)的知識(shí)，是一道容易題.5、D【答案解析】

連接，根據(jù)題目，證明出四邊形為平行四邊形，然后，利用向量的線性運(yùn)算即可求出答案【題目詳解】連接，由，知，四邊形為平行四邊形，可得四邊形為平行四邊形，所以.【答案點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題6、D【答案解析】

甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線,由題意知這三句中一定有一個(gè)是正確另外兩個(gè)錯(cuò)誤的,再分情況討論即可.【題目詳解】若甲走的紅門(mén)盤(pán)道徒步線路,則乙,丙描述中的甲的去向均錯(cuò)誤,又三人的陳述都只對(duì)一半,則乙丙的另外兩句話“丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”,“乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”正確,與“三人走的線路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”錯(cuò)誤,“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登山線路”錯(cuò)誤,“丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”正確.綜上所述,甲走天燭峰登山線路,乙走桃花峪登山線路,丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷與推理的問(wèn)題,重點(diǎn)是找到三人中都提到的內(nèi)容進(jìn)行分類(lèi)討論,屬于基礎(chǔ)題型.7、A【答案解析】

先確定集合中的元素，然后由交集定義求解．【題目詳解】，.故選：A．【答案點(diǎn)睛】本題考查求集合的交集運(yùn)算，掌握交集定義是解題關(guān)鍵．8、C【答案解析】

，將看成一個(gè)整體，結(jié)合的對(duì)稱(chēng)性即可得到答案.【題目詳解】由已知，，令，得.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的問(wèn)題，在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，一般采用整體法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道容易題.9、B【答案解析】

由于實(shí)際問(wèn)題中扇形弧長(zhǎng)較小，可將導(dǎo)線的長(zhǎng)視為扇形弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【題目詳解】因?yàn)榛￠L(zhǎng)比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)相差很小，可以用弧長(zhǎng)近似代替弦長(zhǎng)，故導(dǎo)線長(zhǎng)度約為63(厘米).故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算，屬于容易題.10、D【答案解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.11、D【答案解析】

，，得解．【題目詳解】，，，所以，故選D【答案點(diǎn)睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見(jiàn)的方法．12、D【答案解析】

先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算求出和，進(jìn)而求出，代入題中給的定義即可求解.【題目詳解】由題意，則，，得，由定義知，故選:D.【答案點(diǎn)睛】此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，引入新定義，屬于簡(jiǎn)單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

先根據(jù)題意，求出的解得或，然后求出f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求其單調(diào)性以及最值，在根據(jù)題意求出函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，分情況討論求出的取值范圍.【題目詳解】解：令t=f（x），函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即+m=0有兩個(gè)不同的解，解之得即或因?yàn)榈膶?dǎo)函數(shù)，令，解得x>e，，解得0<x<e，可得f（x）在（0，e）遞增，在遞減；f(x)的最大值為，且且f(1)=0；要使函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，（1）有兩個(gè)不同的解，此時(shí)有一個(gè)解；（2）有兩個(gè)不同的解，此時(shí)有一個(gè)解當(dāng)有兩個(gè)不同的解，此時(shí)有一個(gè)解，此時(shí)，不符合題意；或是不符合題意；所以只能是解得，此時(shí)=-m，此時(shí)有兩個(gè)不同的解，此時(shí)有一個(gè)解此時(shí)，不符合題意；或是不符合題意；所以只能是解得，此時(shí)=，綜上：的取值范圍是故答案為【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合，考查到了函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合的思想、分類(lèi)討論的思想，屬于綜合性極強(qiáng)的題目，屬于難題.14、.【答案解析】試題分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，又∵等比數(shù)列，∴.考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過(guò)程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.15、【答案解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖像的對(duì)稱(chēng)性，求得的最小值.【題目詳解】解：將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象.根據(jù)圖象與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，可得，，，即時(shí)，的最小值為.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題.16、【答案解析】

根據(jù)三角形中位線證得，結(jié)合判斷出垂直平分，由此求得的值，結(jié)合求得的值.【題目詳解】∵，∴為中點(diǎn)，，∵，∴垂直平分，∴，即，∴，，即.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）【答案解析】

（1）依題意可知，直線的極坐標(biāo)方程為（），再對(duì)分三種情況考慮；（2）利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義，求弦長(zhǎng)即可得到答案.【題目詳解】（1）依題意可知，直線的極坐標(biāo)方程為（），當(dāng)時(shí)，聯(lián)立解得交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿足兩方程，（易漏解之處忽略的情況）當(dāng)時(shí)，無(wú)交點(diǎn)；綜上，曲線與直線的點(diǎn)極坐標(biāo)為，，（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線，得，可知，，所以.【答案點(diǎn)睛】本題考查直線與曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)、利用參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義求弦長(zhǎng)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類(lèi)討論思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.18、見(jiàn)解析【答案解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及、，可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，由即可求得的值；根據(jù)等式，變形可得，分別討論?、佗冖壑械囊粋€(gè)，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式代入化簡(jiǎn)，檢驗(yàn)是否存在正整數(shù)的值即可.【題目詳解】∵在等差數(shù)列中，，∴，∴公差，∴，∴，若存在正整數(shù)，使得成立，即成立，設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為的公比為，若選①，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，滿足成立.若選②，∵，∴，∴，∴，∴方程無(wú)正整數(shù)解，∴不存在正整數(shù)使得成立.若選③，∵，∴，∴，∴，∴解得或（舍去），∴，∴當(dāng)時(shí)，滿足成立.【答案點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，遞推公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，補(bǔ)充條件后求參數(shù)的值，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【答案解析】

（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，即可求得的值，進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程為，由題意可知為中點(diǎn).聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理表示出，由判別式可得；由平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積定義，化簡(jiǎn)可得，代入弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn)；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入圓的方程，化簡(jiǎn)可得，代入數(shù)量積公式并化簡(jiǎn)，由換元法令，代入可得，再令及，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可確定的取值范圍，即確定的取值范圍，因而可得的取值范圍.【題目詳解】（1）分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，則，橢圓的離心率為則解得，所以，所以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)滿足，則為中點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，化簡(jiǎn)可得，所以則，化簡(jiǎn)可得，而由弦長(zhǎng)公式代入可得為中點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，代入化簡(jiǎn)可得，所以令，則，，令，則令，則，所以，因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，所以，即所以【答案點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法，直線與橢圓的位置關(guān)系綜合應(yīng)用，由韋達(dá)定理研究參數(shù)間的關(guān)系，平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用及換元法在求取值范圍問(wèn)題中的綜合應(yīng)用，計(jì)算量大，屬于難題.20、（1）；（2）【答案解析】

（1）利用二倍角公式求解即可，注意隱含條件.（2）利用（1）中的結(jié)論，結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)的關(guān)系易得的值，又由求出的值，最后由正弦定理求出的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算得出.【題目詳解】（1）由已知可得，所以，因?yàn)樵阡J角中，，所以（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以.由正弦定理可得：，所以，所以【答案點(diǎn)睛】此類(lèi)問(wèn)題是高考的?？碱}型，主要考查了正弦定理、三角函數(shù)以及三