直線的交點坐標與距離公式講義-高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

PAGE14數(shù)學學科學生講義學生姓名：年級：高二科目：數(shù)學學科教師：課題直線的交點坐標與距離公式授課類型基礎知識經(jīng)典例題鞏固提升考試真題教學目標掌握直線的交點坐標的求法掌握兩點之間的距離公式掌握點到直線的距離公式掌握兩平行直線的距離公式教學重難點距離公式授課日期及時段教學內(nèi)容基礎知識基礎知識一、兩條直線的交點坐標1．基礎知識幾何元素及關系代數(shù)表示點M直線l不同時為0)點M在直線l上直線與的交點是M方程組的解是_______2．兩條直線的交點已知兩條不重合的直線不同時為0),不同時為0)，如果這兩條直線相交，則交點一定同時在這兩條直線上，交點坐標是這兩個直線方程的唯一公共解；如果這兩個二元一次方程組成的方程組只有一個解，那么以這個解為坐標的點必是和的____________.3．兩條直線的位置關系與對應直線方程組成的方程組的解的聯(lián)系直線與的位置關系相交重合平行直線與的公共點個數(shù)一個無數(shù)個零個方程組的解______________無解二、兩點間的距離平面上任意兩點間的距離公式為.特別地，原點O(0,0)與任一點P(x,y)的距離.三、點到直線的距離1．點到直線的距離點到直線的距離，是指從點到直線的垂線段的長度，其中為垂足.實質(zhì)上，點到直線的距離是直線上的點與直線外一點所連線段的長度的.2．點到直線的距離公式平面上任意一點到直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0)的距離為.四、兩條平行直線間的距離1．兩條平行直線間的距離兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的長.2．兩條平行直線間的距離公式一般地，兩條平行直線(其中A與B不同時為0，且)間的距離.五、對稱問題對稱問題包括點關于點的對稱、點關于直線的對稱、直線關于點的對稱.1．點關于點對稱點關于點的對稱是對稱問題中最基本的問題,是解決其他對稱問題的基礎，一般用中點坐標公式解決這種對稱問題.設點關于點M(a,b)的對稱點為P′(x,y),則有，所以，即點.特別地,點P關于坐標原點O的對稱點為.2．點關于直線對稱對于點關于直線的對稱問題，若點P關于直線l的對稱點為,則直線l為線段的中垂線，于是有等量關系:①（直線l的斜率存在且不為零）；②線段的中點在直線l上；③直線l上任意一點M到P，的距離相等，即.常見的點關于直線的對稱點：①點關于x軸的對稱點；②點關于y軸的對稱點；③點關于直線y=x的對稱點；④點關于直線y=?x的對稱點；⑤點關于直線x=m(m≠0)的對稱點；⑥點關于直線y=n(n≠0)的對稱點.3．直線關于直線對稱（1）直線與關于直線l對稱，它們具有以下幾種幾何性質(zhì)：①若與相交，則直線l是、夾角的平分線；②若與平行，則直線l在、之間且到、的距離相等；③若點A在上，則點A關于直線l的對稱點B一定在上，此時AB⊥l,且線段AB的中點M在l上（即l是線段AB的垂直平分線）.充分利用這些性質(zhì)，可以找出多種求直線的方程的方法.學科￥網(wǎng)（2）常見的對稱結論有：設直線l為Ax+By+C=0,①l關于x軸對稱的直線是;②l關于y軸對稱的直線是;③l關于直線y=x對稱的直線是Bx+Ay+C=0;經(jīng)典例題④l關于直線y=?x對稱的直線是A(?y)+B(?x)+C=0.經(jīng)典例題1．直線的交點問題例1直線5x+4y=2a+1與直線2x+3y=a的交點位于第四象限，則例1例2已知直線l經(jīng)過直線2x–y–3=0和4x–3y–5=0的交點P，且垂直于直線2x+3y+5=0，求直線l例22．兩點間距離公式的應用平面上兩點間距離公式的應用主要有以下兩種：（1）已知所求點的相關信息及該點到某點的距離滿足某些條件時，設出所求點的坐標，利用兩點間距離公式建立關于所求點的坐標的方程或方程組求解．（2）利用兩點間距離公式可以判斷三角形的形狀．從三邊長入手，如果邊長相等，則可能是等腰或等邊三角形，如果滿足勾股定理，則是直角三角形．例3已知的三個頂點分別是A（?1，0），B（1，0），，則為例3A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形例4已知點A（–1，2），B（2，），在x軸上求一點P，使，并求|PA|的值．例43．點到直線的距離問題（1）求點到直線的距離時，若給出的直線方程不是一般式，只需把直線方程化為一般式方程，直接應用點到直線的距離公式求解即可．（2）對于與坐標軸平行（或重合）的直線x=a或y=b，求點到它們的距離時，既可以用點到直線的距離公式，也可以直接寫成或．（3）若已知點到直線的距離求參數(shù)或直線方程時，只需根據(jù)點到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．例5點到直線的距離為4，則例5A．1 B．C．1或 D．例6已知直線l經(jīng)過點，則例6（1）若直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，且的面積為4，求直線l的方程；（2）若直線l與原點的距離為2，求直線l的方程．4．兩條平行直線間的距離問題解決兩條平行直線間的距離問題的方法：（1）轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，其體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．（2）直接套用公式，其中，，需注意此時直線與的方程為一般式且x，y的系數(shù)分別相同．例7若直線：與直線：平行，則與的距離為例7A． B．C． D．例8已知直線l與直線l1：3x?y＋3=0和l2：3x?y?1=0的距離相等，則l例85．解析法證明平面幾何問題利用解析法解題的步驟：先建立坐標系，用坐標表示有關的量，然后進行有關代數(shù)運算，最后把代數(shù)運算的結果“翻譯”成幾何關系．用解析法解決平面幾何問題的關鍵是利用圖形的對稱性等建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担喕\算過程．例9用解析法證明：如果四邊形ABCD是長方形，則對任一點M，等式|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2成立例96．對稱問題利用對稱性可解決下列問題：（1）在直線上求一點，使它到兩定點距離之和最?。佼攦啥c不在直線的同一側時，兩點連線與直線的交點即所求；②當兩定點在直線的同一側時，可借助點關于直線對稱，將問題轉(zhuǎn)化為①的情形來解決．（2）在直線上求一點，使它到兩定點距離之差的絕對值最大．①當兩定點在直線的同一側時，利用三角形的兩邊之差小于第三邊，可知兩定點的連線與直線的交點即所求；當兩定點不在直線的同一側時，可借助點關于直線對稱，將問題轉(zhuǎn)化為①的情形來解決．（3）一般將“關于直線對稱的兩條直線”的問題轉(zhuǎn)化為“關于直線對稱的兩點”的問題加以解決．①若已知直線與已知對稱軸相交，則交點必在與直線對稱的直線上，然后求出直線上任意一點關于對稱軸對稱的點，由兩點式寫出直線的方程；②若已知直線與已知對稱軸平行，則直線關于對稱軸對稱的直線與直線平行，可以利用直線與對稱軸間的距離等于直線與對稱軸間的距離求解．例10已知點P，Q在直線上．例10（1）若點P到點A（4，1）和B（0，4）的距離之差最大，求點P的坐標；（2）若點Q到點A（4，1）和C（3，4）的距離之和最小，求點Q的坐標．例11某地A，B兩村在一直角坐標系下的位置分別為A（1，2），B（4，0），一條河所在直線l的方程為x+2y–10=0．在河邊上建一座供水站P分別向A，B兩鎮(zhèn)供水，若要使所用管道最省，則供水站P例11例12已知直線l：3x–y+例12（1）點P（4，5）關于直線l的對稱點的坐標；（2）直線x–y–2=0關于直線l對稱的直線方程．7．直線過定點問題求解含有參數(shù)的直線過定點問題，有兩種方法：（1）任給直線中的參數(shù)賦兩個不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗證這兩條直線的交點就是題目中含參數(shù)直線所過的定點，從而問題得解．（2）分項整理，含參數(shù)的并為一項，不含參數(shù)的并為一項，整理成等號右邊為零的形式，然后令含參數(shù)的項和不含參數(shù)的項分別為零，解方程組所得的解即為所求定點．例13求證：不論m取什么實數(shù)，直線（2m－1）x＋（m＋3）y－（m例138．點、線間距離公式的綜合應用利用點到直線的距離公式或兩平行線間的距離公式解綜合題時，需特別注意直線方程要化為一般式，同時要注意構造法，數(shù)形結合法的應用，本節(jié)中距離公式的形式為一些代數(shù)問題提供了幾何背景，可構造幾何圖形，借助幾何圖形的直觀性去解決問題．例14已知正方形ABCD的一邊CD所在直線的方程為x＋3y?13=0，對角線AC，BD的交點為P（1，5），求正方形ABCD例149．討論失誤例15若三條直線：4x+y+4=0，：mx+y+1=0，：x?y+1=0不能圍成三角形，求m的值．例1510．求直線方程時忽略斜率不存在的情形致錯例16已知直線l過點A（1，2），且原點到直線l的距離為1，則直線l的方程為例161．在平面直角坐標系xOy中，點P（2，﹣1）到直線l：4x﹣3y+4=0的距離為A．3 B．C．1 D．32．平行直線ax+2y﹣3=0和2x+ay+1﹣2a=0之間的距離為A． B．2C．2 D．3．兩條平行直線2x﹣y0與4x﹣2y+30間的距離等于A． B．2C． D．44．已知直線l1：3x+4y﹣12=0，l2：6x+8y+11=0，則l1與l2之間的距離為A． B．C．7 D．5．不論m為何值，直線（2m﹣1）x+（m+2）y+5=0恒過定點A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2）C．（﹣1，2） D．（1，2）6．直線x+y=1與直線2x+y﹣1=0交點坐標是A．（1，0） B．（0，1）C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）7．直線l1：ax+3y+3=0和直線l2：x+（a﹣2）y+1=0平行，則實數(shù)a的值為A．3 B．﹣1C． D．3或﹣18．已知直線l1：x﹣2y+1=0與直線l2：x+ky﹣3=0平行，則實數(shù)k的值為A．﹣2 B．2C． D．9．已知直線l1：3x+4y+5=0，l2：6x+8y﹣15=0，則兩條直線之間的距離為A．4 B．2C． D．510．直線l1：x+my﹣6=0與l2：（m﹣2）x+3y+2m=0只有一個公共點，則A．m≠﹣1且m≠3 B．m≠﹣1且m≠﹣3C．m≠1且m≠3 D．m≠1且m≠﹣111．已知點A（2，1），點B（5，﹣1），則AB|=_________．12．點P（﹣1，2）到直線kx﹣y﹣k=0的距離的最大值為A．2 B．C．2 D．313．直線l1，l2分別過點M（1，4），N（3，1），它們分別繞點M和N旋轉(zhuǎn)，但必須保持平行，那么它們之間的距離d的最大值是A．5 B．4C． D．314．已知點P（﹣2，3），點Q是直線l：3x+4y+3=0上的動點，則|PQ|的最小值為A．2 B．C． D．15．已知直線l1：mx+2y﹣4﹣m=0（m>0）在x軸、y軸上的截距相等，則直線l1與直線l2：x+y﹣1=0間的距離為A． B．C．或 D．0或16．若三條直線x﹣y+1=0，2x+y﹣4=0及ax﹣y+2=0恰有兩個交點，則實數(shù)a的值為A．1 B．2C．1或﹣2 D．﹣1或217．直線x+y﹣4=0上的點與坐標原點的距離最小值是A． B．2C． D．218．若動點A（x1，y1），B（x2，y2）分別在直線l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移動，則線段AB的中點M到原點的距離的最小值為A．2 B．3C．3 D．419．已知點（x，y）在直線2x+y+5=0上運動，則的最小值是_________．20．已知直線l：y=2x+1，及兩點A（﹣2，3）、B（1，6），點P在直線l上．（1）若點P到A、B兩點的距離相等，求點P的坐標；（2）求|PA|+|PB|的最小值．21．直線l1經(jīng)過點A（m，1），B（﹣3，4），直線l2經(jīng)過點C（1，m），D（﹣1，m+1），當l1∥l2或l1⊥l2時，分別求實數(shù)m的值．22．一束光線從點P（0，1）出發(fā)，射到x軸上一點A，經(jīng)x軸反射，反射光線過點Q（2，3），求點A的坐標．23．設兩條直線l1：y=kx+2k+1和l2：x+2y﹣4=0的交點在第四象限，求k的取值范圍．24．求經(jīng)過點A（2，﹣1）且與點B（﹣1，1）的距離為3的直線方程．25．（1）在數(shù)軸上求一點的坐標，使它到點A（9）與到點B（﹣15）的距離相等；（2）在數(shù)軸上求一點的坐標，使它到點A（3）的距離是它到點B（﹣9）的距離的2倍．26．已知正方形ABCD的中心為直線x﹣y+1=0和2x+y+2=0的交點，其中AB邊所在直線方程為：x+3y﹣2=0，求BC邊所在直線方程．27．（1）求平行于直線x﹣2y+1=0，且與它的距離為2的直線方程；（2）求經(jīng)過兩直線l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交點P，且與直線l3：2x+3y+1=0垂直的直線l的方程．鞏固提升1．直線和直線的夾角平分線的方程為()鞏固提升A． B．C．或 D．或2．若兩條平行直線與之間的距離是，則（）A． B． C． D．或3．兩條平行直線和間的距離為d，則a，d的值分別為（）A．，B．，C．， D．，4．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A． B． C． D．5．直線與直線平行，則它們之間的距離為()A． B． C． D．6．與直線關于軸對稱的直線方程為（）A． B．C． D．7．與直線x+y+3=0平行，且它們之間的距離為的直線方程為（）A．x﹣y+8=0或x﹣y﹣1=0B．x+y+8=0或x+y﹣1=0C．x+y﹣3=0或x+y+3=0D．x+y﹣3=0或x+y+9=08．若直線與直線l2關于點(2,1)對稱，則直線l2過定點（）A． B．C． D．9．設兩條直線的方程分別為,,已知是方程的兩個實根,且,則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別為()A． B． C． D．10．直線與直線關于軸對稱，則直線的方程為（）A． B． C． D．11．已知兩點，，動點在直線上運動，則的最小值為（）A． B． C．4 D．512．與直線2x+3y–6=0關于點（1，–1）對稱的直線方程是（）A．2x+3y+8=0 B．2x+3y+7=0C．3x–2y–12=0 D．3x–2y+