《立體幾何初步》階段復(fù)習(xí)課-完整版課件

階段復(fù)習(xí)課第一章【核心解讀】1.多面體的性質(zhì)(1)棱柱的側(cè)面、過不相鄰側(cè)棱的截面都是平行四邊形.(2)棱錐、棱臺的高與其側(cè)棱(或其他線段)能共處于同一三角形中.2.旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)性質(zhì)(1)球面無法展開成平面；圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面可以展開成平面.(2)圓柱、圓錐、圓臺中與底面平行的截面是圓面.3.球的有關(guān)概念(1)球的截面都是圓面.(2)球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面.(3)設(shè)球的半徑為R，截面圓的半徑為r，球心到截面圓的距離就是球心O到截面圓心O1的距離，它們的關(guān)系是：OO1=4.幾種常見幾何體的三視圖(1)直立放置的圓柱的主視圖和左視圖都是矩形，俯視圖為圓.(2)直立放置的圓錐的主視圖和左視圖都是等腰三角形，俯視圖是圓及圓心.(3)直立放置的圓臺的主視圖和左視圖都是等腰梯形，俯視圖是兩個(gè)同心圓.(4)球的三視圖都是圓.5.表面積與體積公式(1)柱體：①表面積：S=S側(cè)+2S底；②體積：V=S底h(h為柱體的高).(2)錐體：①表面積：S=S側(cè)+S底；②體積：V=S底h(h為錐體的高).(3)臺體：①表面積：S=S側(cè)+S上底+S下底；②體積：V=(S上底++S下底)h(h為臺體的高).(4)球體：①表面積：S=4πR2；②體積：V=πR3.6.三棱錐頂點(diǎn)在底面的投影與三角形三心的關(guān)系(1)三棱錐中：側(cè)棱長相等(或側(cè)棱與底面所成角相等)?頂點(diǎn)在底面投影為底面三角形的外心.(2)側(cè)棱兩兩垂直(或?qū)獯怪??頂點(diǎn)在底面的投影為底面三角形的垂心.(3)斜高相等(或側(cè)面與底面所成角相等)?頂點(diǎn)在底面的投影為底面三角形的內(nèi)心.7.球與兩種幾何體之間的關(guān)系(1)球與正方體的組合體：①球內(nèi)切于正方體：此時(shí)球半徑R與正方體棱長a有關(guān)系式2R=a成立.②球外接于正方體：2R=a.③球與正方體的12條棱相切：2R=a.(2)球與正四面體的組合體：①球內(nèi)切于正四面體：球半徑R與正四面體的高h(yuǎn)有關(guān)系式R=h(可以用分割法).②球外接于正四面體：R=h.即一個(gè)正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3.8.面面平行的性質(zhì)定理的幾個(gè)有用推論(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.(2)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段相等.(3)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.(5)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.9.關(guān)于直線與平面垂直的其他性質(zhì)：(1)如果一條直線和一個(gè)平面垂直，則這條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于該平面.(3)若l⊥α于點(diǎn)A，AP⊥l，則APα.(4)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(5)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則它必垂直于另一個(gè)平面.主題一直觀圖與三視圖【典例1】(1)(2014·亳州高一檢測)平面圖形的直觀圖如圖所示，它原來的面積是________.(2)一幾何體的三視圖如圖所示.計(jì)算該幾何體的體積與表面積.【自主解答】(1)由直觀圖知原圖是直角三角形，兩直角邊的長為2，4，故面積為4.答案：4(2)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)等底圓錐拼接而成的組合體，其直觀圖如圖所示.由三視圖中尺寸知，組合體下部是底面直徑為8cm，高為20cm的圓柱，上部為底面直徑為8cm，母線長為5cm的圓錐.易求得圓錐高h(yuǎn)==3(cm)，所以V=π·42·20+π·42·3=336π(cm3)，S=π·42+2π·4·20+π·4·5=196π(cm2).所以該幾何體的體積為336πcm3，表面積為196πcm2.【方法技巧】1.畫空間幾何體的直觀圖的基本步驟(1)畫幾何體的底面在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對應(yīng)的x′軸、y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′=45°或135°，已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中平行于x′軸、y′軸.已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?(2)畫幾何體的高在已知圖形中過O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中作對應(yīng)的z′軸，也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中平行于z′軸且長度不變.2.畫空間幾何體的三視圖要注意的問題(1)三個(gè)視圖要配合畫，并做到“主左一樣高，主俯一樣長，俯左一樣寬”.(2)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，看不見的輪廓線畫成虛線.(3)與視線垂直的平面內(nèi)的線段，其在三視圖中的長度與其實(shí)際長度相同.提醒：簡單幾何體的三視圖與直觀圖的互化問題應(yīng)注意確定主視、俯視、左視的方向與直觀圖的對應(yīng)性，同一物體放置位置的不同，其三視圖可能會有不同.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2013·山東高考)一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其正(主)視圖如圖所示，該四棱錐側(cè)面積和體積分別是(

)【解析】選B.由圖知，此棱錐高為2，底面正方形的邊長為2，V=×2×2×2=，側(cè)面積需要計(jì)算側(cè)面三角形的高h(yuǎn)=，S側(cè)=主題二空間幾何體的表面積、體積【典例2】(1)(2014·焦作高一檢測)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a.將該正方體沿對角面BB1D1D切成兩塊，再將這兩塊拼接成一個(gè)不是正方體的四棱柱，那么所得四棱柱的表面積為________.(2)四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三視圖如圖，則四棱錐P-ABCD的體積為________.【自主解答】(1)由題意可知，組成新的四棱柱后的表面積是由原來的四個(gè)相同正方形的面積和兩個(gè)陰影部分的面積組成的，則所得四棱柱的表面積為4a2+a·a×2=(4+2)a2.答案：(4+2)a2(2)易知該四棱錐中，PA⊥底面ABCD，PA=a，底面是邊長為a的正方形，故體積V=a2×a=a3.答案：

a3【方法技巧】空間幾何體體積與表面積的計(jì)算方法(1)等積法.(2)割補(bǔ)法.(3)展開法：把簡單幾何體沿一條側(cè)棱或母線展開成平面圖形，這樣便把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，可以有效地解決簡單空間幾何體的表面積問題或側(cè)面上(球除外)兩點(diǎn)間的距離問題.(4)構(gòu)造法：對于某些幾何體的表面積和體積求解較困難時(shí)，我們可以將它構(gòu)造成我們熟悉的幾何體，如正方體等這些對稱性比較好的幾何體，以此來解決.【拓展延伸】求幾何體的體積、表面積的題型分類(1)已知幾何體的三視圖求其體積、表面積.(2)與線面垂直關(guān)系結(jié)合命題.(3)組合體問題，考查割補(bǔ)轉(zhuǎn)化思想.(4)旋轉(zhuǎn)體問題.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1-EDF的體積為________.【解析】答案：主題三空間中的共點(diǎn)、共線、共面問題【典例3】(1)已知A∈l，B∈l，C∈l，D?l(如圖)，求證：直線AD，BD，CD共面.(2)如圖，O1是正方體ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是對角線A1C和截面B1D1A的交點(diǎn).求證：O1，M，A三點(diǎn)共線.【自主解答】(1)因?yàn)橹本€l與點(diǎn)D可以確定平面α，所以只需證明AD，BD，CD都在平面α內(nèi)即可.因?yàn)锳∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD

α.同理BD

α，CD

α.所以AD，BD，CD都在平面α內(nèi)，即它們共面.(2)因?yàn)樯系酌嬷蠥1C1∩B1D1=O1，A1C1

平面A1C1CA，B1D1

平面AB1D1，所以，O1是平面A1C1CA與平面AB1D1的公共點(diǎn).又因?yàn)锳1C∩平面AB1D1=M，A1C

平面A1C1CA，所以，M是平面A1C1CA與平面AB1D1的公共點(diǎn).又因?yàn)锳∈平面AB1D1，A∈平面A1C1CA，所以，A是平面A1C1CA與平面AB1D1的公共點(diǎn).所以，O1，M，A都是平面A1C1CA與平面AB1D1的公共點(diǎn)，所以O(shè)1，M，A三點(diǎn)共線.【方法技巧】1.證明共面問題的方法(1)由某些元素確定一個(gè)平面，再證明其余元素在這個(gè)平面內(nèi).(2)分別由不同元素確定若干個(gè)平面，再證明這些平面重合.2.證明三點(diǎn)共線問題的方法證明空間三點(diǎn)共線問題，通常證明這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上，即先確定出某兩點(diǎn)在某兩個(gè)平面的交線上，再證明第三個(gè)點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，當(dāng)然必在這兩個(gè)平面的交線上.3.證明三線共點(diǎn)問題的方法證明空間三線共點(diǎn)問題，先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問題.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2014·咸陽高一檢測)如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.(2)GE與HF的交點(diǎn)在直線AC上.【證明】(1)因?yàn)锽G∶GC=DH∶HC，所以GH∥BD，又EF∥BD，所以EF∥GH，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.(2)因?yàn)镚，H不是BC，CD的中點(diǎn)，所以EF≠GH.又EF∥GH，所以EG與FH不平行，則必相交，設(shè)交點(diǎn)為M.?M∈平面ABC且M∈平面ACD，所以M在平面ABC與平面ACD的交線上，即M∈AC.所以GE與HF的交點(diǎn)在直線AC上.EG平面ABCHF平面ACD主題四平行關(guān)系的判定與性質(zhì)【典例4】(1)設(shè)α，β是兩個(gè)平面，l，m是兩條直線，下列命題中，可以判斷α∥β的是(

)A.lα，mα且l∥β，m∥βB.lα，mβ且l∥mC.l∥α，m∥β且l∥mD.l⊥α，m⊥β且l∥m(2)如圖，在四面體A-BCD中，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC.證明：PQ∥平面BCD.【自主解答】(1)選D.A中當(dāng)l與m相交時(shí)，才能得出α∥β，故A不能；B中，α∩β=a，l∥a，m∥a，如圖，故B不能；同樣C也不能；D中，當(dāng)l⊥α，l∥m時(shí)，m⊥α，又m⊥β，所以α∥β.(2)取BD的中點(diǎn)O，在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF=3FC，連結(jié)OP，OF，F(xiàn)Q，因?yàn)锳Q=3QC，所以QF∥AD，且QF=AD.因?yàn)镺，P分別為BD，BM的中點(diǎn)，所以O(shè)P為△BDM的中位線，所以O(shè)P∥DM，且OP=DM，由點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，所以O(shè)P∥AD，且OP=AD，從而OP∥QF，且OP=QF，所以四邊形OPQF為平行四邊形，故PQ∥OF.又PQ?平面BCD，OF平面BCD，所以PQ∥平面BCD.【方法技巧】1.線線平行、線面平行、面面平行之間的關(guān)系2.證明線線平行的依據(jù)(1)平面幾何法(常用的有三角形中位線、平行線分線段成比例、平行四邊形對邊平行).(2)線面平行的性質(zhì)定理.(3)面面平行的性質(zhì)定理.3.判斷或證明線面平行的方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn)).(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b

α，a∥b?a∥α).(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a

α?a∥β).(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β).4.證明面面平行的方法(1)面面平行的定義.(2)面面平行的判定定理.(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2013·陜西高考)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=.(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1.(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.【解析】(1)連接A1C1，交B1D1于點(diǎn)O1，連接O1C，由題意知BD∥B1D1，A1O1∥OC且A1O1=OC?四邊形A1OCO1為平行四邊形?A1O∥O1C.且A1O∩BD=O，O1C∩B1D1=O1?平面A1BD∥平面CD1B1.(2)因?yàn)锳1O⊥底面ABCD，所以A1O是三棱柱A1B1D1-ABD的高.在正方形ABCD中，AO=1.在Rt△A1OA中，A1O=1.三棱柱A1B1D1-ABD的體積所以，三棱柱A1B1D1-ABD的體積為1.主題五垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)【典例5】(2013·大綱版全國卷)如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是邊長為2的等邊三角形.(1)證明：PB⊥CD.(2)求點(diǎn)A到平面PCD的距離.【自主解答】(1)取BC的中點(diǎn)E，連接DE，則四邊形ABED為正方形.過點(diǎn)P作PO⊥平面ABCD，垂足為O.連接OA，OB，OD，OE.由△PAB和△PAD都是等邊三角形知PA=PB=PD，所以O(shè)A=OB=OD，即點(diǎn)O為正方形ABED對角線的交點(diǎn)，故OE⊥BD，又OE⊥PO，PO∩BD=O，則OE⊥平面PBD，從而PB⊥OE.因?yàn)镺是BD的中點(diǎn)，E是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥CD，因此PB⊥CD.(2)取PD的中點(diǎn)F，連接OF，則OF∥PB.由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD.又OD=BD=，OP=故△POD為等腰三角形，因此OF⊥PD.又PD∩CD=D，所以O(shè)F⊥平面PCD.因?yàn)锳E∥CD，CD

平面PCD，AE?平面PCD，所以AE∥平面PCD.因此O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離，而OF=PB=1，所以A到平面PCD的距離為1.【方法技巧】1.線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的關(guān)系，如圖所示2.兩條異面直線相互垂直的證明方法(1)定義.(2)線面垂直的性質(zhì)定理.3.直線和平面垂直的證明方法(1)線面垂直的判定定理.(2)面面垂直的性質(zhì)定理.4.平面和平面相互垂直的證明方法(1)定義.(2)面面垂直的判定定理.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2013·廣東高考)如圖，在邊長為1的等邊△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，AD=AE，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)G，將△ABF沿AF折起，得到如圖所示的三棱錐A-BCF，其中BC=.(1)證明：DE∥平面BCF.(2)證明：CF⊥平面ABF.(3)當(dāng)AD=時(shí)，求三棱錐F-DEG的體積VF-DEG.【解題指南】本題以折疊問題為背景，考查線面平行與垂直的證明及空間幾何體體積的求法，對于立體幾何中的折疊問題要注意折疊前后變與不變的量.【解析】(1)在等邊△ABC中，AD=AE，所以，在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立，所以DE∥BC.因?yàn)镈E?平面BCF，BC

平面BCF，所以DE∥平面BCF.(2)在等邊△ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，所以AF⊥FC，BF=CF=.因?yàn)樵谌忮FA-BCF中，BC=，所以BC2=BF2+CF2，CF⊥BF.因?yàn)锽F∩AF=F，所以CF⊥平面ABF.(3)易知GE∥CF，結(jié)合(2)可得GE⊥平面DFG.VF-DEG=VE-DFG=·

·DG·FG·GE=【強(qiáng)化訓(xùn)練】1.(2014·駐馬店高一檢測)如圖所示，甲、乙、丙是三個(gè)立體圖形的三視圖，甲、乙、丙對應(yīng)的標(biāo)號正確的是(

)①長方體②圓錐③三棱錐④圓柱A.④③② B.②①③ C.①②③ D.③②④【解析】選A.由于甲的俯視圖是圓，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又因主視圖和左視圖均是矩形，則甲是圓柱；由于乙的俯視圖是三角形，則該幾何體是多面體，又因主視圖和左視圖均是三角形，則該多面體的各個(gè)面都是三角形，則乙是三棱錐；由于丙的俯視圖是圓，則該幾何體是旋轉(zhuǎn)體，又因主視圖和左視圖均是三角形，則丙是圓錐.2.(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則(

)A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α與β相交，且交線垂直于lD.α與β相交，且交線平行于l【解析】選D.因?yàn)閙，n為異面直線，所以過空間內(nèi)一點(diǎn)P，作m′∥m，n′∥n，則l⊥m′，l⊥n′，即l垂直于m′與n′確定的平面γ，又m⊥平面α，n⊥平面β，所以m′⊥平面α，n′⊥平面β，所以平面γ既垂直于平面α，又垂直于平面β，所以α與β相交，且交線垂直于平面γ，故交線平行于l，選D.3.已知三棱柱ABC-A′B′C′的體積為V，P，Q分別在側(cè)棱AA′，CC′上，且AP=C′Q，則四棱錐B-ACQP的體積是(

)【解析】選B.連接BA′，BC′.如圖，VB-A′B′C′＝V，VB-ACQP＝VB-A′C′QP，所以VB-ACQP＝V.4.(2013·江西高考改編)如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方體的六個(gè)面所在的平面與直線CE，EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m+n=________.【解析】取CD中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，可知CD⊥平面EFG，因?yàn)锳B∥CD，所以AB⊥平面EFG，容易知道平面EFG與正方體的左右兩個(gè)側(cè)面平行，所以EF與正方體的兩個(gè)側(cè)面平行，觀察可知n=4；又正方體的底面與正四面體的底面共面，所以過點(diǎn)A可作AH∥CE，易知CE與正方體的上底面平行，在下底面內(nèi)，與其他四個(gè)面相交，所以m=4，即得m+n=8.答案：85.(2013·福建高考改編)如圖，在四棱柱P-ABC