高考數學熱點《數列與不等式》練習

熱點07數列與不等式熱點07數列與不等式從新高考的考查情況來看，數列與不等式主要命題方向：通項與前n項和的關系；通項與遞推式的關系；數列的單調性、周期性等；.等差數列、等比數列的判斷；等差（比）數列的基本運算；與不等式（最值、不等式的證明）的交匯問題；與函數、導數的交匯；一元二次不等及其解法；均值不等式與基本不等式的運用；不等式與平面解析幾何的交匯等問題。1、解決等差（比）數列有關問題的常用思想方法(1)方程的思想：等差（比）數列中有五個量a1，n，d（q），an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關鍵量a1和d（q，問題可迎刃而解．(2)分類討論的思想：在使用等比數列的前n項和公式時，應根據公比的取值情況進行分類討論，此外等差（比）數列在運算過程中，還應善于運用整體代換思想簡化運算．2、證明等差（比）數列的用方法：證明一個數列為等差（比）數列常用定義法與等差（比）中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數列不是等差（比）數列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等差（比）數列即可．3、求等差數列前n項和Sn最值的兩種方法(1)函數法：利用等差數列前n項和的函數Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖象求二次函數最值的方法求解．(2)鄰項變號法：①當a1>0，d<0時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≥0，,am＋1≤0))的項數m使得Sn取得最大值Sm．②當a1<0，d>0時，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(am≤0，,am＋1≥0))的項數m使得Sn取得最小值Sm．4、常見數列求和的類型1）分組轉化法求和的常見類型（1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數列，可采用分組求和法求{an}的前n項和．（2）通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數，,cn，n為偶數))的數列，其中數列{bn}，{cn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求和．2）錯位相減法求和時兩個注意點(1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式．（3）在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．3）裂項相消法(1)把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．(2)常見的裂項技巧：①eq\f(1,n(n＋1))＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)．②eq\f(1,n(n＋2))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))．③eq\f(1,(2n－1)(2n＋1))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))．④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)．（3）利用裂項相消法求和時，應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調整前面的系數，使裂開的兩項之差和系數之積與原通項公式相等．5、條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是對條件使用基本不等式，建立所求目標函數的不等式求解．6、基本不等式的應用非常廣泛，它可以和數學的其他知識交匯考查，解決這類問題的策略是：（1）先根據所交匯的知識進行變形，通過換元、配湊、巧換“1”等手段把最值問題轉化為用基本不等式求解，這是難點．（2）用基本不等式求最值，要有用基本不等式求最值的意識．（3）檢驗．檢驗等號是否成立，完成后續(xù)問題．熱點1.等差數列與不等式的交匯問題等差數列與不等式的結合，一般涉及等差數列的通項公式、求和公式以及等差數列的常用性質，如(1)通項公式的推廣：(2)若為等差數列，且,則；(3)若是等差數列，公差為，則是公差的等差數列；(4)數列也是等差數列.在解決等差數列的運算問題時，要注意采用“巧用性質、整體考慮、減少運算量”的方法.熱點2.等比數列與不等式的交匯問題等比數列與不等式的結合，一般涉及等比數列的通項公式、求和公式以及等比數列的常用性質.其中與“錯位相減法”、“放縮法”相結合的情形較多.運算中要注意采用“巧用性質、整體考慮、減少運算量”的方法.熱點3.數列與函數、導數交匯問題數列本身就是“特殊的函數”，因此，其更易于和函數相結合，一是數列的本身由函數呈現，二是在處理數列問題的過程中，可通過構造函數，利用函數的性質、導數等達到解題目的．A卷（建議用時60分鐘）一、單選題1．（2021·四川·成都七中一模）記為等比數列的前項和.若，則（）A． B． C． D．2．（2021·吉林省實驗模擬預測）相傳國際象棋起源于古印度，國王要獎賞發(fā)明者，發(fā)明者說：“請在棋盤第1個格子里放上1顆麥粒，請在棋盤第2個格子里放上2顆麥粒，請在棋盤第3個格子里放上4顆麥?！源祟愅疲總€格子里放的麥粒數都是前一個格子里放的麥粒數的2倍．”已知棋盤共有64個格子，則最后一個格子的麥粒數是幾位數？（例如：28是2位數，1234是4位數，已知）（）A．17 B．18 C．19 D．203．（2021·吉林·長春外國語學校高三期中）已知等差數列的前項和為，若，則（）A． B． C． D．4．（2021·遼寧·大連市第一中學高三期中）等比數列的前項和為，若，則（）A．2 B．-2 C．1 D．-15．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）已知等比數列的前項和為，且，，則（）A． B． C．27 D．406．（2021·陜西安康·高三期中）已知數列滿足，，則下列結論正確的是（）A．數列是公差為的等差數列B．數列是公差為2的等差數列C．數列是公比為的等比數列D．數列是公比為2的等比數列7．（2021·福建省泉州第一中學高三期中）若單調遞減的等差數列中的兩項，是方程的兩個根，設數列的前n項和為，則使得的最小的值為（）A．10 B．18 C．19 D．208．（2021·山東聊城·高三期中）設數列滿足，則數列的前n項和為（）A．B．C．D．9．（2021·山東聊城·高三期中）《萊茵德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數學著作之一．書中有這樣一道題目：把93個面包分給5個人，使每個人所得面包個數成等比數列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最大的一份是（）個．A．12 B．24 C．36 D．4810．（2021·山東菏澤·高三期中）已知不等式組的解集是關于的不等式的解集的子集，則實數a的取值范圍為（）A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-211．（2021·山東·棗莊市第三中學高三期中）若，，且，則（）A． B． C． D．12．（2021·江蘇如皋·高三期中）已知關于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（）A． B．1 C．2 D．8二、多選題13．（2021·河北衡水中學模擬預測）已知等差數列的前項和為，若，，則（）A． B．C．取得最小值時等于5 D．設，為的前項和，則14．（2021·福建·模擬預測）已知下圖的一個數陣，該陣第行所有數的和記作，，，，，數列的前項和記作，則下列說法正確的是（）A．B．C．D．15．（2021·山東臨沂·高三期中）在等比數列中，公比，是數列的前n項和，若，，則下列結論正確的是（）A．B．C．數列是等比數列D．數列是公差為2的等差數列16．（2021·山東菏澤·高三期中）下列函數中，最小值為4的是（）A．B．C．D．三、填空題17．（2021·河北保定·高三期中）在中國現代繪畫史上，徐悲鴻的馬獨步畫壇，無人能與之相頡頏.《八駿圖》是徐悲鴻最著名的作品之一，畫中剛勁矯健?剽悍的駿馬，在人們心中是自由和力量的象征，鼓舞人們積極向上.現有8匹善于奔跑的馬，它們奔跑的速度各有差異.已知第i（i=1，2，…，7）匹馬的最長日行路程是第i+1匹馬最長日行路程的1.1倍，且第8匹馬的最長日行路程為400里，則這8匹馬的最長日行路程之和為___________里.（取1.18=2.14）18．（2021·福建·模擬預測）已知數列的前項和記作，，則________．19．（2021·遼寧丹東·高三期中）數列中，若，，則___________.20．（2021·重慶·模擬預測）等比數列滿足，則的最大值為__________.21．（2021·湖南岳陽·一模）已知點在線段上運動，則的最大值是____________．四、解答題22．（2021·河北衡水中學模擬預測）在數列中，，.（1）設，求證數列是等差數列；（2）求數列的通項公式.23．（2021·四川南充·一模）已知數列的前n項和為，且，．請在①；②，，成等比數列；③，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題．（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前n項和，求證：．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．24．（2021·山東菏澤·高三期中）解關于的不等式：.25．（2021·重慶市第七中學校高三期中）已知等差數列的前項和為，且，.（1）求；（2）若+2，求.26．（2021·福建·永安市第三中學高中校高三期中）已知數列是前項和為（1）求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和．27．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）已知在各項均為正數的等差數列中，，且，，構成等比數列的前三項.（1）求數列，的通項公式；（2）設數列___________，求數列的前項和.請在①；②；③這三個條件中選擇一個，補充在上面的橫線上，并完成解答.B卷（建議用時90分鐘）一、單選題1．（2021·湖北·漢陽一中模擬預測）已知正數，，滿足，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．以上均不對2．（2021·山東文登·高三期中）關于x的不等式的解集是，則實數a的取值范圍為（）A． B． C． D．3．（2021·福建省福州第一中學高三期中）已知數列滿足：.若，則（）A．2021 B．2022 C．62 D．634．（2021·福建·福州三中模擬預測）已知在等差數列中，，，數列的通項，是數列的前項和，若，則與的大小關系是（）A． B． C． D．5．（2021·山東文登·高三期中）設正項數列的前n項和滿足，記表示不超過x的最大整數，．若數列的前n項和為，則使得成立的n的最小值為（）A．1179 B．1180 C．2022 D．20236．（2021·浙江·慈溪中學高三期中）已知數列滿足，記數列前項和為，則（）A． B． C． D．7．（2021·黑龍江·哈爾濱市高三期中）數列的前項和為，若，，則（）A．數列是公比為2的等比數列 B．C．既無最大值也無最小值 D．8．（2021·福建·泉州鯉城北大培文學校高三期中）設等差數列的前項和為，公差為．已知，，，則選項不正確的是（）A．數列的最小項為第項B．C．D．時，的最大值為二、多選題9．（2021·山東菏澤·高三期中）已知，，，則（）A．的最大值為B．的最小值為C．D．的最小值為10．（2021·遼寧·模擬預測）斐波那契數列又稱黃金分割數列，因數學家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”．斐波那契數列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數列的第項，則數列滿足：，記，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．11．（2021·浙江·臺州一中高三期中）設數列滿足，其中為實數，數列的前n項和是，下列說法不正確的是（）A．當時，一定是遞減數列B．當時，不存在使是周期數列C．當時，D．當時，12．（2021·江蘇南通·高三期中）已知數列滿足，，，則（）A．是等比數列B．C．是等比數列D．13．（2021·山東省實驗中學高三期中）設是無窮數列，若存在正整數k，使得對任意，均有，則稱是間隔遞增數列，k是的間隔數.則下列說法正確的是（）A．公比大于1的等比數列一定是間隔遞增數列B．已知，則是間隔遞增數列C．已知，則是間隔遞增數列且最小間隔數是2D．已知，若是間隔遞增數列且最小間隔數是3，則14．（2021·廣東·揭陽市揭東區(qū)教育局教研室高三期中）在歸國包機上，孟晚舟寫下《月是故鄉(xiāng)明，心安是歸途》，其中寫道“過去的1028天，左右踟躇，千頭萬緒難抉擇；過去的1028天，日夜徘徊，縱有萬語難言說；過去的1028天，山重水復，不知歸途在何處．”“感謝親愛的祖國，感謝黨和政府，正是那一抹絢麗的中國紅，燃起我心中的信念之火，照亮我人生的至暗時刻，引領我回家的漫長路途．”下列數列中，其前項和可能為1028的數列是()(參考公式：)A．B．C．D．三、填空題15．（2021·福建省大田縣第一中學高三期中）若關于的不等式恰有1個正整數解，則的取值范圍是___________.16．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·高三期中）某校在研究民間剪紙藝術時，經常會沿著紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折一次可以得到和兩種規(guī)格的圖形，他們的周長之和為，對折二次可以得到，，三種規(guī)格的圖形，他們的周長之和為，以此類推，則折疊次后能得到的所有不同圖形的周長和為___________，如果對折次后，能得到的所有圖形的周長和記為，則___________.17．（2021·福建·泉州科技中學高三期中）學數學的人重推理愛質疑，比如唐代詩人盧綸《塞下曲》：“月黑雁飛高，單于夜遁逃.欲將輕騎逐，大雪滿弓刀.”這是一首邊塞詩的名篇，講述了一次邊塞的夜間戰(zhàn)斗，既刻畫出邊塞征戰(zhàn)的艱苦，也透露出將士們的勝利豪情.這首詩歷代傳誦，而無人提出疑問，當代著名數學家華羅庚以數學家特有的敏感和嚴密的邏輯思維，發(fā)現了此詩的一些疑點，并寫詩質疑，詩云：“北方大雪時，群雁早南歸.月黑天高處，怎得見雁飛？”但是，數學家也有許多美麗的錯誤，如法國數學家費馬于1640年提出了以下猜想是質數，直到1732年才被善于計算的大數學家歐拉算出不是質數.現設記，則數列的前項和___________.18．（2021·山東菏澤·二模）已知正項數列的前n項和為，且，則不超過的最大整數是_____________．19．（2021·湖北·華中師大一附中模擬預測）設，記最接近的整數為，則__________；__________．(用表示)20．（2021·江蘇·邵伯高級中學高三階段練習）已知函數（，）為奇函數，其定義域為A．當時，恒成立，當且僅當時取等號，則______．四、解答題21．（2021·上海長寧·一