立體幾何壓軸小題含答案解析

.試卷第=page3636頁,總=sectionpages3737頁.一、選擇題1．如圖,已知正方體的棱長為4,點,分別是線段,上的動點,點是上底面內(nèi)距離,則當(dāng)點運動時,的最小值是〔A．B．C．D．[答案]D[解析]試題分析：因為點是上底面內(nèi)距離,所以,當(dāng)點運動時,最小,須所在平面平行于平面,,選考點：1．平行關(guān)系；2．垂直關(guān)系；3．幾何體的特征．2．如圖在一個二面角的棱上有兩個點,,線段分別在這個二面角的兩個面內(nèi),并且都垂直于棱,,則這個二面角的度數(shù)為〔CCADBA．B．C．D．[答案]B[解析]試題分析：設(shè)所求二面角的大小為,則,因為,所以而依題意可知,所以所以即所以,而,所以,故選B.考點：1.二面角的平面角；2.空間向量在解決空間角中的應(yīng)用.3．已知某個幾何體的三視圖如圖所示,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸〔單位：可得這個幾何體的體積是〔A．B．C．D．[答案]B．[解析]試題分析：分析題意可知,該幾何體為一四棱錐,∴體積．考點：空間幾何體的體積計算．4．如圖,是正方體對角線上一動點,設(shè)的長度為,若的面積為,則的圖象大致是〔[答案]A[解析]試題分析：設(shè)與交于點,連接.易證得面,從而可得.設(shè)正方體邊長為1,在中.在中,設(shè),由余弦定理可得,所以.所以.故選A.考點：1線面垂直,線線垂直;2函數(shù)圖象.5．如圖所示,正方體的棱長為1,分別是棱,的中點,過直線的平面分別與棱、交于,設(shè),,給出以下四個命題：〔1平面平面；〔2當(dāng)且僅當(dāng)x=時,四邊形的面積最小；〔3四邊形周長,是單調(diào)函數(shù)；〔4四棱錐的體積為常函數(shù)；以上命題中假命題的序號為〔A．〔1〔4B．〔2C．〔3D．〔3〔4[答案]C[解析]試題分析：〔1由于,,則,則,又因為,則平面平面；〔2由于四邊形為菱形,,,要使四邊形的面積最小,只需最小,則當(dāng)且僅當(dāng)時,四邊形的面積最??；〔3因為,,在上不是單調(diào)函數(shù)；〔4,=,到平面的距離為1,,又,,為常函數(shù).故選〔3考點：1.面面垂直的判定定理；2.建立函數(shù)模型.6．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等,在底面上的射影為的中點,則異面直線與所成的角的余弦值為〔〔A〔B〔C〔D[答案]D.[解析]試題分析：連接；,是異面直線與所成的角或其補角；在中,設(shè),則；在中,；在中,；即面直線與所成的角的余弦值為.考點：異面直線所成的角.7．一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形,則該幾何體的外接球的表面積為正視圖正視圖側(cè)視圖俯視圖A．B．C．D．[答案]D[解析]試題分析：由三視圖可知,該幾何體為四棱錐,側(cè)棱垂直底面,底面是正方形,將此四棱錐還原為正方體,則正方體的體對角線即外接球的直徑,,,因此,故答案為D.考點：由三視圖求外接球的表面積.8．如圖,棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,為線段A1B上的動點,則下列結(jié)論錯誤的是〔A．B．平面平面C．的最大值為D．的最小值為[答案]C[解析]試題分析：,,,平面,平面因此,A正確；由于平面,平面,故平面平面故B正確,當(dāng)時,為鈍角,C錯；將面與面沿展成平面圖形,線段即為的最小值,利用余弦定理解,故D正確,故答案為C．考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征．9．下列命題中,錯誤的是〔A．一條直線與兩個平行平面中的一個相交,則必與另一個平面相交B．平行于同一平面的兩條直線不一定平行C．如果平面不垂直于平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面D．若直線不平行于平面,則在平面內(nèi)不存在與平行的直線[答案]B[解析]試題分析:由直線與平面的位置關(guān)系右知A正確;平行于同一個平面的兩條直線可以相交、平行或異面,故B錯,所以選B.考點:直線、平面平行與垂直的判定與性質(zhì).10．已知如圖所示的正方體ABCD﹣A1B1C1D1,點P、Q分別在棱BB1、DD1上,且=,過點A、P、Q作截面截去該正方體的含點A1的部分,則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的主視圖的是〔[答案]A[解析]試題分析：當(dāng)P、B1重合時,主視圖為選項B；當(dāng)P到B點的距離比B1近時,主視圖為選項C；當(dāng)P到B點的距離比B1遠時,主視圖為選項D,因此答案為A.考點：組合體的三視圖11．一個幾何體的三視圖及尺寸如圖所示,則該幾何體的外接球半徑為〔A.B.C.D.[答案]C[解析]試題分析：由三視圖可知：該幾何體是一個如圖所示的三棱錐P-ABC,它是一個正四棱錐P-ABCD的一半,其中底面是一個兩直角邊都為6的直角三角形,高PE=4．設(shè)其外接球的球心為O,O點必在高線PE上,外接球半徑為R,則在直角三角形BOE中,BO2=OE2+BE2=〔PE-EO2+BE2,即R2=〔4-R2+〔32,解得：R=,故選C.考點：三視圖,球與多面體的切接問題,空間想象能力12．如右圖,在長方體中,=11,=7,=12,一質(zhì)點從頂點A射向點,遇長方體的面反射〔反射服從光的反射原理,將次到第次反射點之間的線段記為,,將線段豎直放置在同一水平線上,則大致的圖形是〔[答案]C[解析]試題分析：因為,所以延長交于,過作垂直于在矩形中分析反射情況：由于,第二次反射點為在線段上,此時,第三次反射點為在線段上,此時,第四次反射點為在線段上,由圖可知,選C.考點：空間想象能力13．一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示,將該石材切削、打磨、加工成球,則能得到的最大球的半徑等于〔A.1B.2C.3D.4[答案]B[解析]試題分析：由圖可得該幾何體為三棱柱,因為正視圖,側(cè)視圖,俯視圖的內(nèi)切圓半徑最小的是正視圖<直角三角形>所對應(yīng)的內(nèi)切圓,所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑,則,故選B.考點：三視圖內(nèi)切圓球三棱柱14．已知二面角為,,,A為垂足,,,,則異面直線與所成角的余弦值為A．B．C．D．[答案]B.[解析]試題分析：如圖作于,連結(jié),過作∥,作于,連結(jié),則設(shè)．在中,在中,在中,異面直線與所成角的余弦值為,故選B．考點：1.三垂線定理及其逆定理；2.空間角〔異面直線所成角的計算．15．在空間直角坐標(biāo)系中,已知.若分別是三棱錐在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積,則〔A．B．且C．且D．且[答案]D[解析]試題分析：三棱錐在平面上的投影為,所以,設(shè)在平面、平面上的投影分別為、,則在平面、上的投影分別為、,因為,,所以,故選D.考點：三棱錐的性質(zhì),空間中的投影,難度中等.16．正方形的邊長為2,點、分別在邊、上,且,,將此正方形沿、折起,使點、重合于點,則三棱錐的體積是〔A．B．C．D．[答案]B[解析]試題分析：解：因為所以又因為平面,平面,且,所以平面在中,所以,所以所以應(yīng)選B.考點：1、直線與平面垂直的判定；2、正弦定理與余弦定理；3、棱錐的體積.17．高為的四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形,點S,A,B,C,D均在半徑為1的同一球面上,則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為〔A.B.C.D.[答案]A[解析]試題分析：由題意可知ABCD是小圓,對角線長為,四棱錐的高為,推出高就是四棱錐的一條側(cè)棱,最長的側(cè)棱就是球的直徑,然后利用勾股定理求出底面ABCD的中心與頂點S之間的距離．解：由題意可知ABCD是小圓,對角線長為,四棱錐的高為,點S,A,B,C,D均在半徑為1的同一球面上,球的直徑為2,所以四棱錐的一條側(cè)棱垂直底面的一個頂點,最長的側(cè)棱就是直徑,所以底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為：=故選A點評：本題是基礎(chǔ)題,考查球的內(nèi)接多面體的知識,能夠正確推出四棱錐的一條側(cè)棱垂直底面的一個頂點,最長的側(cè)棱就是直徑是本題的關(guān)鍵,考查邏輯推理能力,計算能力．18．二面角為60°,A、B是棱上的兩點,AC、BD分別在半平面內(nèi),,,且AB＝AC＝,BD＝,則CD的長為<>A．B．C．D．[答案]A[解析]試題分析：根據(jù)異面直線上兩點間的距離公式,對于本題中,,,,,故．考點：異面直線上兩點間距離,空間想象能力．19．長方體的表面積是24,所有棱長的和是24,則對角線的長是〔．Ａ．B．4C．3D．2[答案]B[解析]試題分析：設(shè)出長方體的長、寬、高,表示出長方體的全面積,十二條棱長度之和,然后可得對角線的長度．考點：長方體的結(jié)構(gòu)特征,面積和棱長的關(guān)系.20．已知棱長為l的正方體中,E,F,M分別是AB、AD、的中點,又P、Q分別在線段上,且,設(shè)面面MPQ=,則下列結(jié)論中不成立的是<>A．面ABCDB．ACC．面MEF與面MPQ不垂直D．當(dāng)x變化時,不是定直線[答案]D[解析]試題分析：解：連結(jié),交于點交于點由正方體的性質(zhì)知,因為是的中點,所以因為,所以所以,所以平面,平面,由面MPQ=,平面,所以,而平面,平面,所以,面ABCD,所以選項A正確；由,得而,所以AC,所以選項B正確；連,則而所以,,所以平面,過直線與平面垂直的平面只能有一個,所以面MEF與面MPQ不垂直,所以選項C是正確的；因為,是定點,過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行,所以直線是唯一的,故選項D不正確．考點：1、直線平面的位置關(guān)系；2、直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行與垂直的判定及性質(zhì)．21．如圖,等邊三角形的中線與中位線相交于,已知是△繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形,下列命題中,錯誤的是<>A．動點在平面上的射影在線段上B．恒有平面⊥平面C．三棱錐的體積有最大值D．異面直線與不可能垂直[答案]D[解析]試題分析：由于．所以平面．經(jīng)過點作平面ABC的垂線垂足在AF上．所以A選項正確．由A可知B選項正確．當(dāng)平面垂直于平面時,三棱錐的體積最大,所以C正確．因為,設(shè)．所以,當(dāng)時,．所以異面直線與可能垂直．所以D選項不正確．考點：1．線面位置關(guān)系．2．面面的位置關(guān)系．3．體積公式．4．異面直線所成的角．5．空間想象力．22．已知棱長為l的正方體中,E,F,M分別是AB、AD、的中點,又P、Q分別在線段上,且,設(shè)面面MPQ=,則下列結(jié)論中不成立的是<>A．面ABCDB．ACC．面MEF與面MPQ不垂直D．當(dāng)x變化時,不是定直線[答案]D[解析]試題分析：解：連結(jié),交于點交于點由正方體的性質(zhì)知,因為是的中點,所以因為,所以所以,所以平面,平面,由面MPQ=,平面,所以,而平面,平面,所以,面ABCD,所以選項A正確；由,得而,所以AC,所以選項B正確；連,則而所以,,所以平面,過直線與平面垂直的平面只能有一個,所以面MEF與面MPQ不垂直,所以選項C是正確的；因為,是定點,過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行,所以直線是唯一的,故選項D不正確．考點：1、直線平面的位置關(guān)系；2、直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行與垂直的判定及性質(zhì)．23．把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上,使它兩兩外切,然后在它們上面放上第四個球,使它與前三個都相切,求第四個球的最高點與桌面的距離〔A．B．C．D．3[答案]A[解析]由題意,四球心組成棱長為2的正四面體的四個頂點,則正四面體的高．而第四個球的最高點到第四個球的球心距離為求的半徑1,且三個球心到桌面的距離都為1,故第四個球的最高點與桌面的距離為,選A．24．如圖所示,四邊形ABCD為正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA＝AB＝PD.則棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值是〔

A.2:1B.1:1C.1:2D.1:3[答案]C[解析]設(shè)AB＝a.由題設(shè)知AQ為棱錐Q－ABCD的高,所以棱錐Q－ABCD的體積V1＝.易證PQ⊥面DCQ,而PQ＝,△DCQ的面積為,所以棱錐P－DCQ的體積V2＝.故棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值為1:1,選C.25．正四面體ABCD,線段AB平面,E,F分別是線段AD和BC的中點,當(dāng)正四面體繞以AB為軸旋轉(zhuǎn)時,則線段AB與EF在平面上的射影所成角余弦值的范圍是〔A．[0,]B．[,1]C．[,1]D．[,][答案]B[解析]試題分析：如圖,取AC中點為G,結(jié)合已知得GFAB,則線段AB、EF在平面上的射影所成角等于GF與EF在平面上的射影所成角,在正四面體中,ABCD,又GECD,所以GEGF,所以,當(dāng)四面體繞AB轉(zhuǎn)動時,因為GF平面,GE與GF的垂直性保持不變,顯然,當(dāng)CD與平面垂直時,GE在平面上的射影長最短為0,此時EF在平面上的射影的長取得最小值,當(dāng)CD與平面平行時,GE在平面上的射影長最長為,取得最大值,所以射影長的取值范圍是[,],而GF在平面上的射影長為定值,所以AB與EF在平面上的射影所成角余弦值的范圍是[,1].故選B考點：1線面平行；2線面垂直。26．已知正方體中,線段上〔不包括端點各有一點,且,下列說法中,不正確的是〔四點共面B.直線與平面所成的角為定值C.D.設(shè)二面角的大小為,則的最小值為[答案]D[解析]試題分析：如下圖：∵,∴四點共面,故A正確；直線與平面所成的角為為定值,故B正確；∵在上移動,則,而,∴,故C正確；二面角的平面角即為面與面所成的夾角,從移動到〔不在處,二面角在增大,但無最大值和最小值,故D不正確,則選D.考點：1.線面平行；2.線面角；2.二面角的平面角.27．如圖,正方體的棱長為,以頂點A為球心,2為半徑作一個球,則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和等于<>A．B．C．D．[答案]A[解析]試題分析：由題得,圓弧在以B為圓心,半徑為BG的圓上,而圓弧在以A為圓心,半徑為AE=2的圓上.故=,由于,故,則,所以+=.故選A.考點：圓弧長度的計算球28．將正方形沿對角線折成直二面角,有如下四個結(jié)論：①⊥;②△是等邊三角形;③與平面所成的角為60°;④與所成的角為60°.其中錯誤的結(jié)論是A．①B．②C．③D．④[答案]B[解析]試題分析:如圖,①取AC中點E,連接DE,BE,,故⊥,①正確：②顯然,,△不是等邊三角形,④取CD的中點H,取BC中點F,連接ＥＨ,ＦＨ,則ＥＨ＝ＦＨ＝ＥＦ,是等邊三角形,故與所成的角為60°③由④知與平面所成的角為60°考點：直線與平面垂直的判定,兩條異面直線所成的角,直線與平面所成的角29．如圖,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點垂直折起四個小三角形,做成一個蛋巢,將表面積為的雞蛋〔視為球體放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心〔球心與蛋巢底面的距離為A．B．C．D．[答案]D[解析]試題分析：蛋巢的底面是邊長為1的正方形,所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為1.雞蛋的表面積為若,所以球的半徑為1,所以球心到截面的距離為.而截面到底面的距離即為三角形的高,所以球心到底面的距離為.考點：空間幾何體及其基本計算.30．設(shè)OABC是四面體,G1是△ABC的重心,G是OG1上一點,且OG=3GG1,若=x+y+z,則<x,y,z>為<><A><14,14,14><B><34,<C><13,13,13><D><23,[答案]A[解析]=+=+×<+>=+[<->+<->]=<++>,由OG=3GG1知,==<++>,∴<x,y,z>=<,,>.31．如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,這四個點不共面的一個圖是<>[答案]D[解析]在A圖中分別連接PS,QR,易證PS∥QR,∴P,S,R,Q共面.在B圖中過P,Q,R,S可作一正六邊形,如圖,故P,Q,R,S四點共面.在C圖中分別連接PQ,RS,易證PQ∥RS,∴P,Q,R,S共面.D圖中PS與RQ為異面直線,∴P,Q,R,S四點不共面,故選D.32．設(shè)是正三棱錐,是的重心,是上的一點,且,若,則為〔A．B．C．D．[答案]A[解析]試題分析：由是上一點,且,可得又因為是的重心,所以而,所以,所以,選A.考點：1.空間向量的加減法；2.空間向量的基本定理.33．正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形,則它的體積為<>A. B．4C. D．4或[答案]D[解析]分側(cè)面矩形長、寬分別為6和4或4和6兩種情況．34．如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長為1的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60o,且A1A=3,則A1A．B．C．D．[答案]A[解析]試題分析：法一：因為,所以,即,故。法二：先求線和面所稱的角為,,在中,,所以。故A正確。考點：1線面角；2余弦定理；3向量在立體幾何中的應(yīng)用。35．棱長為2的正方體的內(nèi)切球的表面積為〔A.B．C．D．[答案]C[解析]試題分析：設(shè)球的半徑為,則由題意,得,即,∴內(nèi)切球的表面積為,故選C．考點：球的表面積．36．正三棱柱ABC－A1B1C1的棱長都為2,E,F,G為AB,AA1,A1C1的中點,則B1F與平面GEF所成角的正弦值為<>．A.B.C.D.[答案]A[解析]如圖,取AB的中點E,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系E－xyz.則E<0,0,0>,F<－1,0,1>,B1<1,0,2>,A1<－1,0,2>,C1<0,,2>,G.∴＝<－2,0,－1>,＝<－1,0,1>,＝,設(shè)平面GEF的一個法向量為n＝<x,y,z>,由得令x＝1,則n＝<1,－,1>,設(shè)B1F與平面GEF所成角為θ,則sinθ＝|cos〈n,〉|＝＝37．如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1＝2,AB＝BC＝1,動點P,Q分別在線段C1D,AC上,則線段PQA.B.C.D.[答案]C[解析]建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A<1,0,0>,B<1,1,0>,C<0,1,0>,C1<0,1,2>,設(shè)點P的坐標(biāo)為<0,λ,2λ>,λ∈[0,1],點Q的坐標(biāo)為<1－μ,μ,0>,μ∈[0,1],∴PQ＝＝,當(dāng)且僅當(dāng)λ＝,μ＝時,線段PQ的長度取得最小值.38．如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,底面是邊長為2的等邊三角形,側(cè)棱長為3,則BB1與平面AB1CA.B.C.D.[答案]A[解析]記點B到平面AB1C1的距離為d,BB1與平面AB1C1所成角為θ,連接BC1,利用等體積法,VA-BB1C1＝VB-AB1C1,即×××2×3＝d××2×2,得d＝,則sinθ＝＝,所以θ＝.39．如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA＝CC1＝2CB,則直線BC1與直線AB1A.B.C.D.[答案]A[解析]設(shè)CA＝2,則C<0,0,0>,A<2,0,0>,B<0,0,1>,C1<0,2,0>,B1<0,2,1>,可得＝<－2,2,1>,＝<0,2,－1>,由向量的夾角公式得cos〈,〉＝40．如圖所示,在正三棱柱ABC－A1B1C1中,AB＝1.若二面角C－AB－C1的大小為60°,則點C到平面C1ABA.B.C.D．1[答案]A[解析]取AB中點D,連接CD,C1D,則∠CDC1是二面角C－AB－C1的平面角．因為AB＝1,所以CD＝,所以在Rt△DCC1中,CC1＝CD·tan60°＝×＝,C1D＝＝.設(shè)點C到平面C1AB的距離為h,由VC－C1AB＝VC1－ABC,得××1×h＝××1××,解得h＝.故選A41．在正四棱錐P-ABCD中,PA=2,直線PA與平面ABCD所成角為60°,E為PC的中點,則異面直線PA與BE所成角為〔A．B．C．D．[答案]C[解析]試題分析：連接交于點,連接,。因為為中點,所以∥,所以即為異面直線與所成的角。因為四棱錐為正四棱錐,所以,所以為在面內(nèi)的射影,所以即為與面所成的角,即,因為,所以,。所以在直角三角形中,即面直線與所成的角為?？键c：1異面直線所成角；2線面角；3線面垂直。42．長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB＝AA1＝2,AD＝1,E為CC1的中點,則異面直線BC1與AEA. B.C. D.[答案]B[解析]建立坐標(biāo)系如圖所示．則A<1,0,0>,E<0,2,1>,B<1,2,0>,C1<0,2,2>,＝<－1,0,2>,＝<－1,2,1>．cos〈,〉＝＝.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.43．若P是平面外一點,A為平面內(nèi)一點,為平面的一個法向量,則點P到平面的距離是A．B．C．D．[答案]C[解析]試題分析：設(shè)與的夾角為,則點P到平面的距離為=,故C正確.考點：空間向量、向量的運算.44．棱長均為三棱錐,若空間一點滿足則的最小值為<>A、B、C、D、[答案]A[解析]試題分析：根據(jù)空間向量基本定理知,與共面,則的最小值為三棱錐的高,所以,故選A.考點：1.空間向量基本定理；2.正四面體的應(yīng)用.45．若正方體的外接球的體積為,則球心到正方體的一個面的距離為〔A.1B.2C.3D.4[答案]A[解析]試題分析：外接球的直徑為正方體的體對角線,因為,所以。設(shè)正方體邊長為,則,所以,所在截面圓的半徑為,所以球心到正方體的一個面的距離。故A正確?？键c：正方體外接球,球的體積公式,點到面的距離。46．在一個幾何體的三視圖中,正視圖與俯視圖如左圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為〔[答案]D[解析]試題分析：由正視圖、俯視圖,還原幾何體為半個圓錐和有一個側(cè)面垂直于地面的三棱錐組成的簡單組合體,故側(cè)視圖為D.考點：三視圖.47．如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F,且EF=,則下列結(jié)論中錯誤的個數(shù)是<><1>AC⊥BE.<2>若P為AA1上的一點,則P到平面BEF的距離為.<3>三棱錐A-BEF的體積為定值.<4>在空間與DD1,AC,B1C1<5>過CC1的中點與直線AC1所成角為40并且與平面BEF所成角為50的直線有2條.A.0B.1C.2D.3[答案]A[解析]試題分析：〔1連接,由,可知面,而面,∴,<1>正確；〔2由∥面,則點到面的距離等于到面的距離,〔2正確；〔3三棱錐中,底面積是定值,高是定值,所以體積是定值,〔3正確；<4>在上任取點,過點和直線確定面,設(shè)面∩面=,則與直線必有交點〔若∥,則∥,矛盾>,則直線就是所畫的直線,因為點的任意性,所以這樣的直線有無數(shù)條,〔4正確；〔5設(shè)的中點為,過點與所成的角是的直線,是以與平行的直線為軸的圓錐的母線所在的直線,過點與面所成的角是的直線,是以過點且與面垂直的直線為軸的圓錐的母線,兩圓錐交于兩條直線,〔5正確.考點：1、線面垂直的判定；2、異面直線所成的角；3、直線和平面所成的角.48．二面角α－l－β等于120°,A、B是棱l上兩點,AC、BD分別在半平面α、β內(nèi),AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=BD=1,則CD的長等于 〔A．eq\r<2>B．eq\r<3>C．2D．eq\r<5>[答案]C[解析]略49．如圖所示,在棱長為1的正方體的面對角線上存在一點使得取得最小值,則此最小值為〔A．B．C．D．[答案]D[解析]解：把對角面A1C繞A1B旋轉(zhuǎn),使其與△AA1B在同一平面上,連接AD1,50．8、已知等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AC,BC的中點分別是D,E,DE把該三角形折成直二面角,此時斜邊AC被折成折線ADC,則∠ADC等于〔A．150° B．135° C．120° D．100°[答案]C[解析]本題考查平面圖形的翻折,線面垂直,空間想象能力.BFDBFDCEABDCEA在等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AC,BC的中點分別是D,E,所以在折成直二面角圖形中因為所以所以設(shè)等腰直角三角形ABC的邊則所以在中,取中點連故選C第II卷〔非選擇題請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、解答題〔題型注釋評卷人得分三、新添加的題型評卷人得分四、填空題51．如圖所示的一塊長方體木料中,已知,設(shè)為線段上一點,則該長方體中經(jīng)過點的截面面積的最小值為．[答案][解析]試題分析：如圖所示,經(jīng)過點的截面為平行四邊形設(shè),則,為了求出平行四邊形的高,先求的高,由等面積法可得,又由三垂線定理可得平行四邊形的高,因此平行四邊形的面積,當(dāng)且僅當(dāng)時考點：幾何體的截面面積的計算52．如圖所示的一塊長方體木料中,已知,設(shè)為底面的中心,且,則該長方體中經(jīng)過點的截面面積的最小值為.[答案][解析]試題分析：如圖所示,經(jīng)過點的截面為平行四邊形設(shè),則,為了求出平行四邊形的高,先求的高,由等面積法可得,又由三垂線定理可得平行四邊形的高,因此平行四邊形的面積,當(dāng)且僅當(dāng)時考點：幾何體的截面面積的計算53．三棱錐中,平面,為側(cè)棱上一點,它的正視圖和側(cè)視圖〔如下圖所示,則與平面所成角的大小為___；三棱錐的體積為___．[答案][解析]試題分析：由題設(shè)及正視圖可知,又由平面得,所以平面,即與平面所成角為.三棱錐的體積.考點：1、三視圖；2、三棱錐的體積.54．長方體中,已知,,棱在平面內(nèi),則長方體在平面內(nèi)的射影所構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是．[答案].[解析]試題分析：四邊形和的面積分別為4和6,長方體在平面內(nèi)的射影可由這兩個四邊形在平面內(nèi)的射影組合而成.顯然,.若記平面與平面所成角為,則平面與平面所成角為.它們在平面內(nèi)的射影分別為和,所以,〔其中,,因此,,當(dāng)且僅當(dāng)時取到.因此,.考點：三角函數(shù)的化簡和求值.55．如圖1,已知點E、F、G分別是棱長為a的正方體ABCD－A1B1ClD1的棱AA1、BB1、DD1的中點,點M、N、P、Q分別在線段AG、CF、BE、C1D1上運動,當(dāng)以M、N、P、Q為頂點的三棱錐Q－PMN的俯視圖是如圖2所示的正方形時,則點Q到PMN的距離為__________．[答案][解析]試題分析：根據(jù)俯視圖可知,點的位置如下圖所示.易知點到平面的距離即為正方體的高.考點：1、空間幾何體及其三視圖；2、點到平面的距離.56．[改編題]已知ABC的三個頂點在以O(shè)為球心的球面上,且,BC=1,AC=3,則球O的表面積為,三棱錐O-ABC的體積為__________。[答案][解析]試題分析：設(shè)球的半徑為,ABC的外接圓半徑為r,球心O到截面ABC的距離為,球O的表面積為=,得球的半徑為,由得,=,由,得,球心到平面的距離,由余弦定理得=,解得AB=,所以==,所以===．考點：球的截面性質(zhì),球的表面積公式,棱錐的體積公式,正弦定理,余弦定理,運算求解能力[改編思路]條件與結(jié)論互換,這是出題人常用的方法。．57．如圖,在一個的二面角的棱上,有兩個點、,、分別是在這個二面角的兩個半平面內(nèi)垂直于的線段,且,,,則的長為；AAA[答案][解析]試題分析：過A點作BD的平行線,過D作AB的平行線,兩線交于點F,連結(jié)FC,根據(jù)題意,可知AC=6cm,AF=8cm,所以,由余弦定理,可知CF=,根據(jù)題意,可知DF=4cm,,故有．考點：空間關(guān)系,二面角的平面角,線段長度的求解．58．橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積為．[答案][解析]試題分析：考點：旋轉(zhuǎn)體體積59．如圖,在矩形中,為邊的中點,,,分別以、為圓心,為半徑作圓弧、〔在線段上.由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的體積為.[答案][解析]由題意,可得所得到的幾何體是由一個圓柱挖去兩個半球而成；其中,圓柱的底面半徑為1,母線長為2；體積為；兩個半球的半徑都為1,則兩個半球的體積為；則所求幾何體的體積為.考點：旋轉(zhuǎn)體的組合體.60．一個正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長相等,體積為,則它的表面積為________.[答案][解析]設(shè)正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長相等為,則,則,則,則；則正四棱錐的表面積為.考點：四棱錐的表面積與體積.61．設(shè)P,Q為一個正方體表面上的兩點,已知此正方體繞著直線PQ旋轉(zhuǎn)〔角后能與自身重合,那么符合條件的直線PQ有_____條.[答案]13[解析]試題分析：由題意,符合條件的直線PQ必過正方體的中心,否則正方體的中心繞PQ旋轉(zhuǎn)〔角后不能回到原位置,得到的新正方體必定與原正方體不重合．滿足題意的直線PQ共有三種情況：如圖1,當(dāng)為正方體的體對角線時,正方體繞旋轉(zhuǎn)時,能與原圖重合．這樣的PQ有4條；如圖2,當(dāng)穿過正方體對面中心時,正方體繞PQ旋轉(zhuǎn)時,能與原圖重合．這樣的有3條；如圖戳,當(dāng)穿過正方體對棱中點時,正方體繞旋轉(zhuǎn)時,能與原圖重合．這樣的有6條．所以,符合條件的直線有13條．考點：空間幾何體的點、線、面的位置關(guān)系.62．在三棱錐中,,G為的重心,過點G作三棱錐的一個截面,使截面平行于直線PB和AC,則截面的周長為.[答案]8[解析]試題分析：過點G作交PA、PC于點E、F,過E、F分別作、分別交AB、BC于點N、M,連結(jié)MN,所以EFMN是平行四邊形,∴,即,,即,所以截面的周長.考點：以三棱錐為幾何載體考查了線線平行、截面的周長.63．一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上.已知正三棱柱的底面邊長為,則該三角形的斜邊長為.[答案][解析]試題分析：根據(jù)題意我們把一個等要直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上,結(jié)合圖形的對稱性可知,該三角形的斜邊的中線的長等于底面三角形的高,所以該三角形的斜邊長為.考點：1.棱柱的結(jié)構(gòu)特征；2.空間想象力.64．已知E、F、G、H分別是三棱錐A-BCD棱AB、BC、CD、DA的中點,AABCDEFGH〔1四邊形EFGH是_______形〔2AC與BD所成角為,且AC=BD=1,則EG=_______[答案]平行四邊形.[解析]試題分析：〔1由中位線性質(zhì),,得所以四邊形EFGH是平行四邊形．〔2由〔1知EFGH是平行四邊形,又AC=BD=1,則EFGH為菱形,為AC與BD所成角或補角,,所以.考點：1.空間直線的位置關(guān)系；2.異面直線所稱的角.65．如圖,一個幾何體的三視圖是三個直角三角形,則該幾何體的外接球的表面積為．3342俯視圖主視圖左視圖[答案]29[解析]試題分析：由三視圖可知,該幾何體是一個三棱錐如下圖所示三棱錐,其中,且,將三棱錐還原成長方體,則三棱錐的外接球也是長方體的外接球,其直徑,所以外接球的表面積為,所以答案應(yīng)填：．考點：1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)；2、三視圖；3、空間幾何體的表面積．66．沿對角線AC將正方形ABCD折成直二面角后,AB與CD所在的直線所成的角等于．[答案].[解析]試題分析：如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,所以,因此,且,所以.考點：直二面角的定義,異面直線所成角的求法.67．若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2、圓心角為180的扇形,則這個圓錐的體積是。[答案][解析]試題分析：扇形的弧長即為圓錐底面圓的周長,設(shè)底面半徑為,則,扇形的半徑即為圓錐的母線,則圓錐的高為,故該圓錐的體積為?？键c：〔1圓錐基本元素之間的關(guān)系；〔2圓錐體積公式的應(yīng)用。68．設(shè)動點P在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的對角線BD1上,記＝λ.當(dāng)∠APC為鈍角時,λ的取值范圍是________．[答案]<,1>[解析]本題主要考查了用空間向量求直線間的夾角,一元二次不等式的解法,意在考查考生的空間想象能力以及運算求解能力．以、、為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz,則有A<1,0,0>,B<1,1,0>,C<0,1,0>,D1<0,0,1>,則＝<1,1,－1>,得＝λ＝<λ,λ,－λ>,所以＝＋＝<－λ,－λ,λ>＋<1,0,－1>＝<1－λ,－λ,λ－1>,＝＋＝<－λ,－λ,λ>＋<0,1,－1>＝<－λ,1－λ,λ－1>,顯然∠APC不是平角,所以∠APC為鈍角等價于·<0,即－λ<1－λ>－λ<1－λ>＋<λ－1>2<0,即<λ－1><3λ－1><0,解得<λ<1,因此λ的取值范圍是<,1>．69．如圖所示為棱長是1的正方體的表面展開圖,在原正方體中,給出下列三個結(jié)論：①點M到AB的距離為；②三棱錐C－DNE的體積是；③AB與EF所成的角是.其中正確結(jié)論的序號是________．[答案]①②③[解析]依題意可作出正方體的直觀圖,顯然M到AB的距離為MC＝,∴①正確,而VC－DNE＝××1×1×1＝,∴②正確,AB與EF所成的角為AB與MC所成的角,即為,∴③正確．70．如圖所示,ABCD－A1B1C1D1是長方體,AA1＝a,∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°,則AB與A1C1[答案]30°45°[解析]∵A1B1∥AB,∴∠C1A1B1是AB與A1C∵AA1∥BB1,∴∠BB1C是AA1與B1由已知條件可以得出BB1＝a,AB1＝A1C1＝2a,AB＝a,∴B1C1∴四邊形BB1C∴∠BB1C71．正方體中,是棱的中點,是側(cè)面內(nèi)的動點,且平面,若正方體的棱長是2,則的軌跡被正方形截得的線段長是________.[答案][解析]試題分析：取的中點P,Q.易證,面面,所以點F的軌跡即為線段PQ,所以點F的軌跡的長度為：.考點：空間幾何體.72．已知矩形的頂點都在半徑為4的球的球面上,且,則棱錐的體積為。[答案][解析]設(shè)ABCD所在的截面圓的圓心為M,則AM=,OM=,.73．已知某個幾何體的三視圖如圖所示,根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸〔單位：cm,可得這個幾何體的體積是SKIPIF1<0.[答案][解析]試題分析：由三視圖知該幾何體是一個三棱錐,其底面是一個底邊長為2高也是2的等腰三角形,且棱錐的高也是2,所以該幾何體的體積所以答案填考點：1、三視圖；2、棱錐的體積.74．已知下列命題：①設(shè)m為直線,為平面,且m,則"m//"是""的充要條件；②的展開式中含x3的項的系數(shù)為60；③設(shè)隨機變量～N<0,1>,若P<≥2>=p,則P<-2<<0>=；④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立,則m的取值范圍是<,2>；⑤已知奇函數(shù)滿足,且0<x<時,則函數(shù)在[,]上有5個零點．其中真命題的序號是<寫出全部真命題的序號>．[答案]③[解析]試題分析：解：①因為,所以,由成立,但由,可得到或,所以不成立,故該命題為假命題；②的展開式中第項,令,解得,所以有=,的展開式中含x3的項的系數(shù)為10而不是60；故該命題是假命題.③由隨機變量～N<0,1>,若P<≥2>=p,則,所以,所以；該命題是真命題；④因為所以有,,解得由此可知④是假命.⑤因為奇函數(shù)滿足,所以,,故函數(shù)是周期函數(shù),且；同樣由奇函數(shù)滿足,所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；因為奇函數(shù)滿足當(dāng)0<x<時得當(dāng)時,,又因為由以上條件在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和的圖象如下圖,則兩圖象在區(qū)間內(nèi)交點的個數(shù)就是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點的個數(shù)；但由于的值不能確定,故零點的個數(shù)不能確定,所以該命題是假命題.所以答案應(yīng)填③考點：1、命題；2、直線與平面的位置關(guān)系；3、二項式定理；4、正態(tài)密度曲線的性質(zhì)；5、函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的零點.75．如右圖,正方體的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_____<寫出所有正確命題的編號>.①當(dāng)時,S為四邊形;②當(dāng)時,S不為等腰梯形;③當(dāng)時,S與的交點R滿足;④當(dāng)時,S為六邊形;⑤當(dāng)時,S的面積為.[答案]①②③⑤[解析]試題分析：取AB的中點M,在DD1上取點N,使得DN=CQ,則MN∥PQ;作AT∥MN,交直線DD1于點T,則A、P、Q、T四點共面;①當(dāng)0<CQ<時,則0<DN<DT=2DN<1S為四邊形APQT;②當(dāng)CQ=時,則DN=DT=2DN=1點T與D1重合S為等腰梯形APQD1;③當(dāng)CQ=時,則DN=DT=2DN=D1T=;由D1R:TD1=BC:DTD1R=C1R=;④當(dāng)<CQ<1時,<DN<1DT=2DN∈<,2>,T在DD1的延長線上,設(shè)TQ與C1D1交于點E,AT與A1D1交于點F,則S為五邊形APQEF;當(dāng)CQ=1時,點Q與C1重合,且DT=2AT與A1D1交于A1D1的中點FS為菱形APC1FS的面積=AC1PF==.綜上,命題正確的是:①②③⑤..考點：立體幾何綜合應(yīng)用.76．在三棱錐P-ABC中側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直,Q為底面△ABC內(nèi)一點,若點Q到三個側(cè)面的距離分別為3,4,5,則過點P和Q的所有球中,表面積最小的球的表面積為.[答案][解析]根據(jù)題意：點Q到三個側(cè)面的垂線與側(cè)棱PA、PB、PC圍成一個棱長為3、4、5的長方體,則其外接球的直徑即為PQ且為長方體的體對角線．過點P和Q的所有球中,以PQ為直徑的球的表面積最小,2r=∴r＝,由球的表面積公式得：S=4πr2=50π考點：1.球的體積和表面積；2.棱柱的結(jié)構(gòu)特征．77．在三棱柱中側(cè)棱垂直于底面,,,,且三棱柱的體積為3,則三棱柱的外接球的表面積為．[答案][解析]試題分析：該直三棱柱的底面是直角三角形,另一直角邊長為,斜邊長為.設(shè)三棱柱高為,則有.取三棱柱上下底面直角三角形斜邊的中點并連接,由平面幾何的性質(zhì)可知,斜邊連線中點即為外接球球心,球半徑為,所以,外接球的表面積為.考點：直三棱柱的幾何特征,球的表面積.78．如圖,正方體ABCD—A1B1C1D1則下列四個命題：①P在直線BC1上運動時,三棱錐A—D1PC的體積不變；②P在直線BC1上運動時,直線AP與平面ACD1所成角的大小不變；③P在直線BC1上運動時,二面角P—AD1—C的大小不變；④M是平面A1B1C1D1上到點D和C1距離相等的點,則M點的軌跡是過D1點的直線D1A其中真命題的編號是。[答案]①③④[解析]試題分析：①∵BC1∥平面AD1,∴BC1∥上任意一點到平面AD1C的距離相等,所以體積不變,正確．②P在直線BC1上運動時,直線AB與平面ACD1所成角和直線AC1與平面ACD1所成角不相等,所以不正確．③當(dāng)P在直線BC1上運動時,AP的軌跡是平面PAD1,即二面角P-AD1-C的大小不受影響,所以正確．④∵M是平面A1B1C1D1上到點D和C1距離相等的點,∴M點的軌跡是一條與直線DC1平行的直線,而DD1=C1D1,所以正確．故答案為：考點：1.異面直線及其所成的角；2.棱柱、棱錐、棱臺的體積；3.與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題.79．如圖所示,在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,E,F,G,H分別是CC1,C1D1,D1D,DC的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH上或其內(nèi)部運動,且使MN⊥對于下列命題：①點M可以與點H重合；②點M可以與點F重合；③點M可以在線段FH上；④點M可以與點E重合．其中真命題的序號是________<把真命題的序號都填上>．[答案]①②③[解析]易知HN⊥AC,FN⊥AC,故M在FH上時,均能滿足要求．事實上,若M為FH上異于F,H的任意一點,∵FH⊥底面ABCD,∴HN是斜線MN在底面ABCD上的射影,而HN⊥AC,∴MN⊥AC,顯然,M為H或F時,MN⊥AC.①②③正確．而NE∥BC1,且BC1與AC不垂直,因此點M不能與點E重合,④錯．80．在正三棱錐P-ABC中,D,E分別是AB,BC的中點,下列結(jié)論：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE,其中正確結(jié)論的序號是________．[答案]①②[解析]如右圖,設(shè)P在面ABC內(nèi)射影為O,則O為正△ABC的中心．①可證AC⊥平面PBO,所以AC⊥PB；②AC∥DE,可得AC∥面PDE；③AB與DE不垂直．81．如圖,在長方體中,3cm,2cm,1cm,則三棱錐的體積為cm3．[答案]1[解析]試題分析：；考點：1.簡單幾何體的體積；82．已知平面α,β,直線.給出下列命題：①若,,則；②若,,則；③若,則；④若,,則.其中是真命題的是．〔填寫所有真命題的序號．[答案]③④[解析]試題分析：①與可能平行,所以該命題為假命題；②m與n可以相交、異面、平行,所以該命題為假命題；考點：1.線面、面面平行的判定與性質(zhì)；2.線面、面面平行的判定與性質(zhì)；83．若正方體ABCD－A1B1C1D1[答案].[解析]試題分析：通過分析可知,正方體的外接球的直徑是正方體的對角線長為,由球的體積公式可得,外接球體積為.考點：球的體積.84．在三棱錐中,平面,,,,則此三棱錐外接球的體積為．[答案][解析]試題分析：根據(jù)題意球心到平面的距離為,在的外接圓的半徑為,所以球的半徑為:,所以此三棱錐的外接球的體積為:,所以答案為:．考點：1．空間幾何體的外接球；2．球的體積．85．如圖,四棱錐P－ABCD中,⊥底面,底面是矩形,,,,點E為棱CD上一點,則三棱錐E－PAB的體積為．[答案]4[解析]試題分析：考點：等體積法求三棱錐體積86．正四棱錐的五個頂點在同一球面上,若正四棱錐的底面邊長是,側(cè)棱長為,則此球的表面積___________.[答案][解析]試題分析：由圖知,正四棱錐的外接球的球心在它的高上,設(shè)為點,,,,在中,,得,.考點：球的表面積.87．如圖所示,記正方體的中心為,面的中心為,的中點為則空間四邊形在該正方體各個面上的投影可能是．〔把你認(rèn)為正確命題的序號填寫在答題紙上[答案]①②④[解析]空間四邊形在該正方體前后面上的投影是①；空間四邊形在該正方體左右面上的投影是②；空間四邊形在該正方體上下面上的投影是④；故填①②④．考點：圖形的投影．88．設(shè)△ABC的三個頂點都在半徑為3的球上,且AB=,BC=1,AC=2,O為球心,則三棱錐O—ABC的體積為．[答案][解析]試題分析：因為△ABC的三個頂點都在半徑為3的球上,且AB=,BC=1,AC=2,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC為直角三角形,∴A,B,C在半徑為1的球小圓上∴平面ABC截球O得小圓,該小圓半徑為r=AD=1,設(shè)AC中點〔即小圓圓心為D,連接OD、OA、OB、OC∵OD⊥平面ABC,即OD為三棱錐的高∴Rt△OAD中,OD=,因此,三棱錐O-ABC的體積為V=×AB×BC×OD＝；故答案為：．考點：錐體的體積公式,截面圓的性質(zhì)．89．在直三棱柱中,底面是邊長為的正三角形,則直線與側(cè)面所成角的正切值為.[答案][解析]試題分析：取的中點為,則,,根據(jù)線面角的定義,可知即為所求,且.考點：線面角.90．對于四面體,以下說法中,正確的序號為〔多選、少選、選錯均不得分.①若,,為中點,則平面⊥平面；②若,,則；③若所有棱長都相等,則該四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為2：1；④若以為端點的三條棱所在直線兩兩垂直,則在平面內(nèi)的射影為的垂心；⑤分別作兩組相對棱中點的連線,則所得的兩條直線異面。[答案]①=2\*GB3②④[解析]試題分析：對于①,如下圖所示四面體,AABCDE圖①若,,為中點,則,,所以平面,則平面平面,故①正確；對于②,如下圖所示,過作垂直平面交于點,連接,,并延長分別與,,交于點,,,圖圖②ABCDOEFG若,則易得,若,則易得,從而可得為底面的垂心,故,又,所以平面,故,所以②正確；對于③,如下如圖③所示,取中點,連接,設(shè)為重心,連接,設(shè)上一點為所有棱長都相等四面體的外接球與內(nèi)切球的球心,外接球與內(nèi)切球半徑分別為,,那么圖圖③ABCDEFH依題設(shè)棱長為,則,,,在中,,,,又,即,∴,,故該四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1,即③錯誤；對于④,由②證明過程易知④正確；對于=5\*GB3⑤,如下圖=5\*GB3⑤所示,,,,分別為,,,中點,連接,,圖圖=