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2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)(),若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B.C. D.2.設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),且在單調(diào)遞增,,則()A. B.C. D.3.下列說(shuō)法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.“若,則”的逆命題為真命題C.,使成立D.“若,則”是真命題4.函數(shù)的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是()①圖象C關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng);②圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng);③由y=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③5.的展開(kāi)式中,滿(mǎn)足的的系數(shù)之和為()A. B. C. D.6.已知無(wú)窮等比數(shù)列的公比為2,且,則()A. B. C. D.7.偶函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),當(dāng)時(shí),,求()A. B. C. D.8.△ABC中,AB=3,,AC=4,則△ABC的面積是()A. B. C.3 D.9.過(guò)雙曲線(xiàn)左焦點(diǎn)的直線(xiàn)交的左支于兩點(diǎn),直線(xiàn)(是坐標(biāo)原點(diǎn))交的右支于點(diǎn),若,且,則的離心率是()A. B. C. D.10.要得到函數(shù)的圖像,只需把函數(shù)的圖像()A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位11.已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)右頂點(diǎn)A且與x軸垂直的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)于M點(diǎn),MF的中點(diǎn)恰好在雙曲線(xiàn)C上,則C的離心率為()A. B. C. D.12.在條件下,目標(biāo)函數(shù)的最大值為40,則的最小值是()A. B. C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片,鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為x的小正方形,然后做成一個(gè)無(wú)蓋方盒,該方盒容積的最大值是________.14.運(yùn)行下面的算法偽代碼,輸出的結(jié)果為_(kāi)____.15.函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直,則_____.16.直線(xiàn)(,)過(guò)圓:的圓心,則的最小值是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知矩陣,二階矩陣滿(mǎn)足.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.18.(12分)已知,,函數(shù)的最小值為.(1)求證:;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的最大值.19.(12分)已知橢圓,上、下頂點(diǎn)分別是、,上、下焦點(diǎn)分別是、,焦距為,點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)若為橢圓上異于、的動(dòng)點(diǎn),過(guò)作與軸平行的直線(xiàn),直線(xiàn)與交于點(diǎn),直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn),判斷是否為定值,說(shuō)明理由.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線(xiàn)l的普通方程與曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A、B,求的值.21.(12分)已知正數(shù)x,y,z滿(mǎn)足xyzt(t為常數(shù)),且的最小值為,求實(shí)數(shù)t的值.22.(10分)已知橢圓的離心率為,且以原點(diǎn)O為圓心,橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知?jiǎng)又本€(xiàn)l過(guò)右焦點(diǎn)F,且與橢圓C交于A(yíng)、B兩點(diǎn),已知Q點(diǎn)坐標(biāo)為,求的值.
2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案(含詳細(xì)解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【答案解析】
分段求解函數(shù)零點(diǎn),數(shù)形結(jié)合,分類(lèi)討論即可求得結(jié)果.【題目詳解】作出和,的圖像如下所示:函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于與有三個(gè)交點(diǎn),又因?yàn)?,且由圖可知,當(dāng)時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn),故只需當(dāng)時(shí),與有一個(gè)交點(diǎn)即可.若當(dāng)時(shí),時(shí),顯然??=??(??)與??=4|??|有一個(gè)交點(diǎn)??,故滿(mǎn)足題意;時(shí),顯然??=??(??)與??=4|??|沒(méi)有交點(diǎn),故不滿(mǎn)足題意;時(shí),顯然??=??(??)與??=4|??|也沒(méi)有交點(diǎn),故不滿(mǎn)足題意;時(shí),顯然與有一個(gè)交點(diǎn),故滿(mǎn)足題意.綜上所述,要滿(mǎn)足題意,只需.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍,屬中檔題.2、C【答案解析】
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),比較即可.【題目詳解】解:顯然,所以是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),且在單調(diào)遞增,所以故選:C【答案點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及偶函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題.3、D【答案解析】選項(xiàng)A,否命題為“若,則”,故A不正確.選項(xiàng)B,逆命題為“若,則”,為假命題,故B不正確.選項(xiàng)C,由題意知對(duì),都有,故C不正確.選項(xiàng)D,命題的逆否命題“若,則”為真命題,故“若,則”是真命題,所以D正確.選D.4、B【答案解析】
根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心和圖象變換的知識(shí),判斷出正確的結(jié)論.【題目詳解】因?yàn)?,又,所以①正確.,所以②正確.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得,所以③錯(cuò)誤.所以①②正確,③錯(cuò)誤.故選:B【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心,考查三角函數(shù)圖象變換,屬于基礎(chǔ)題.5、B【答案解析】
,有,,三種情形,用中的系數(shù)乘以中的系數(shù),然后相加可得.【題目詳解】當(dāng)時(shí),的展開(kāi)式中的系數(shù)為.當(dāng),時(shí),系數(shù)為;當(dāng),時(shí),系數(shù)為;當(dāng),時(shí),系數(shù)為;故滿(mǎn)足的的系數(shù)之和為.故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,掌握二項(xiàng)式定理和多項(xiàng)式乘法是解題關(guān)鍵.6、A【答案解析】
依據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列求和公式,先求出首項(xiàng),再求出,利用無(wú)窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?!绢}目詳解】因?yàn)闊o(wú)窮等比數(shù)列的公比為2,則無(wú)窮等比數(shù)列的公比為。由有,,解得,所以,,故選A?!敬鸢更c(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。7、D【答案解析】
推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由此可得出,代值計(jì)算即可.【題目詳解】由于偶函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),則,,,則,所以,函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由于當(dāng)時(shí),,則.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和奇偶性求函數(shù)值,推導(dǎo)出函數(shù)的周期性是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.8、A【答案解析】
由余弦定理求出角,再由三角形面積公式計(jì)算即可.【題目詳解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面積.故選:A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.9、D【答案解析】
如圖,設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,連接并延長(zhǎng)交右支于,連接,設(shè),利用雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可以得到,,結(jié)合、可求離心率.【題目詳解】如圖,設(shè)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為,連接,連接并延長(zhǎng)交右支于.因?yàn)?,故四邊形為平行四邊形,?又雙曲線(xiàn)為中心對(duì)稱(chēng)圖形,故.設(shè),則,故,故.因?yàn)闉橹苯侨切?,故,解?在中,有,所以.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率,注意利用雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性(中心對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng))以及雙曲線(xiàn)的定義來(lái)構(gòu)造關(guān)于的方程,本題屬于難題.10、A【答案解析】
運(yùn)用輔助角公式將兩個(gè)函數(shù)公式進(jìn)行變形得以及,按四個(gè)選項(xiàng)分別對(duì)變形,整理后與對(duì)比,從而可選出正確答案.【題目詳解】解:.對(duì)于A(yíng):可得.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像平移變換,考查了輔助角公式.本題的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè),一個(gè)是混淆了已知函數(shù)和目標(biāo)函數(shù);二是在平移時(shí),忘記乘了自變量前的系數(shù).11、A【答案解析】
設(shè),則MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為,代入雙曲線(xiàn)的方程可得的關(guān)系,再轉(zhuǎn)化成關(guān)于的齊次方程,求出的值,即可得答案.【題目詳解】雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,M所在直線(xiàn)為,不妨設(shè),∴MF的中點(diǎn)坐標(biāo)為.代入方程可得,∴,∴,∴(負(fù)值舍去).故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的離心率,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意構(gòu)造的齊次方程.12、B【答案解析】
畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)平移得到最值點(diǎn),再利用均值不等式得到答案.【題目詳解】如圖所示,畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)圖像知:當(dāng)時(shí),有最大值為,即,故..當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立.故選:.【答案點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù),均值不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【答案解析】
由題意容積,求導(dǎo)研究單調(diào)性,分析即得解.【題目詳解】由題意:容積,,則,由得或(舍去),令則為V在定義域內(nèi)唯一的極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn),此時(shí).故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)學(xué)建模,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.14、【答案解析】
模擬程序的運(yùn)行過(guò)程知該程序運(yùn)行后計(jì)算并輸出的值,用裂項(xiàng)相消法求和即可.【題目詳解】模擬程序的運(yùn)行過(guò)程知,該程序運(yùn)行后執(zhí)行:.故答案為:【答案點(diǎn)睛】本題考查算法語(yǔ)句中的循環(huán)語(yǔ)句和裂項(xiàng)相消法求和;掌握循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.15、1.【答案解析】
求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)斜率的關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.【題目詳解】函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直,函數(shù)的圖象在的切線(xiàn)斜率本題正確結(jié)果:【答案點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)垂直的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.16、;【答案解析】
求出圓心坐標(biāo),代入直線(xiàn)方程得的關(guān)系,再由基本不等式求得題中最小值.【題目詳解】圓:的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,由題意,即,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,故答案為:.【答案點(diǎn)睛】本題考查用基本不等式求最值,考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,解題方法是配方法求圓心坐標(biāo),“1”的代換法求最小值,目的是湊配出基本不等式中所需的“定值”.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)特征值為或.【答案解析】
(1)先設(shè)矩陣,根據(jù),按照運(yùn)算規(guī)律,即可求出矩陣.(2)令矩陣的特征多項(xiàng)式等于,即可求出矩陣的特征值.【題目詳解】解:(1)設(shè)矩陣由題意,因?yàn)?所以,即所以,(2)矩陣的特征多項(xiàng)式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查學(xué)生的劃歸與轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.18、(1)見(jiàn)解析;(2)最大值為.【答案解析】
(1)將函數(shù)表示為分段函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最小值,進(jìn)而可證得結(jié)論成立;(2)由可得出,并將代數(shù)式與相乘,展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值,進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的最大值.【題目詳解】(1).當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,則;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,則;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,則.綜上所述,,所以;(2)因?yàn)楹愠闪ⅲ?,,所以恒成立,?因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,實(shí)數(shù)的最大值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值函數(shù)最值的求解,同時(shí)也考查了利用基本不等式恒成立求參數(shù),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.19、(1);(2),理由見(jiàn)解析.【答案解析】
(1)求出橢圓的上、下焦點(diǎn)坐標(biāo),利用橢圓的定義求得的值,進(jìn)而可求得的值,由此可得出橢圓的方程;(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,求出直線(xiàn)的方程,求出點(diǎn)的坐標(biāo),由此計(jì)算出直線(xiàn)和的斜率,可計(jì)算出的值,進(jìn)而可求得的值,即可得出結(jié)論.【題目詳解】(1)由題意可知,橢圓的上焦點(diǎn)為、,由橢圓的定義可得,可得,,因此,所求橢圓的方程為;(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,得,直線(xiàn)的斜率為,所以,直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立,解得,即點(diǎn),直線(xiàn)的斜率為,直線(xiàn)的斜率為,所以,,,因此,.【答案點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解,同時(shí)也考查了橢圓中定值問(wèn)題的求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.20、(1),(2)【答案解析】
(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用消去參數(shù)即可得到直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;(2)由于在直線(xiàn)上,寫(xiě)出直線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程參數(shù)方程,代入曲線(xiàn)的方程利用參數(shù)的幾何意義即可得出求解即可.【題目詳解】(1)直線(xiàn)的普通方程為,即,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化,,,而,則,即,故直線(xiàn)l的普通方程為,曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程(2)點(diǎn)在直線(xiàn)l上,且直線(xiàn)的傾斜角為,可設(shè)直線(xiàn)的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),代入到曲線(xiàn)C的方程得,,,由參數(shù)的幾何意義知.【答案點(diǎn)睛】熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線(xiàn)的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵,難度一般.21、t=1【答案解析】
把變形為結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.【題目詳解】因?yàn)榧矗?dāng)且僅當(dāng),,時(shí),上述等號(hào)成立,所以,即,又x,y,z>0,所以xyzt=1.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,利用基本不等式求解最值時(shí)要注意轉(zhuǎn)化為適用形式,同時(shí)要關(guān)注不等號(hào)是否成立,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).22、(1);(2).【答案解析】
(1)根據(jù)橢圓的離心率為,得到,根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,得到原心到直線(xiàn)的距離等于半徑,得到,從而求得,進(jìn)而求得橢圓的方程;(2)分直線(xiàn)的斜率存在是否
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