課件理論力學第十章

2由

運動學方程：xz,

0

,

sin0

sin

sin0

cosy,

cos

動力學方程：y

'

y

'

x

'

z

'

x

'

z

'z

'

z

'y

'x

'

x

'

y

'J

(J

J

)

MJ

(J

J

)

M

y

'

z

'

Jx

'

J

y

'

Jey

'

y

'

e z

'

x

'

z

'z

'

z

'

(Jz

'Jx

'x

'

J

y

'

)y

'z

'

Mx

'

Jx

'x

'

(Jz

'

Je

)y

'z

'

Mx

'

J

(J

J

)

MJ

M

y

'

z

'

Mz

'

0z

'ex

'

cos

cosM

sin

J

(J

J

)0

z

'0

z

'ey

'

cos

sinM

sin

J

(J

J

)0

z

'0

constz

'ex

'

cos

cosM

sin

J

(J

J

)0

z

'0

z

'

ey

'

M

sin

J

(J

J

)

cos

sin0

z

'0

，方向沿節(jié)線的矢量在x’,y’上的投影.z

'

cos

(J

z

'

Je

)可視為大小為

sin

J0

0

Mx

'

,

My

'xyzx'z'y'Nk

sin

sini'

sin

cos

j'

cosk

'n

cosi'

sin

j'Mz

'

0

0

sin

ω

ω而:且:

ω

ω沿節(jié)線方向.cos0

ω

ω

3z

'

e

Mo

Jz

'

(J

J

)4oz

'z

'e0

M

J

(J

J

)cos

ω

ω即:

const

,

方向沿節(jié)線.Mo陀螺規(guī)則進動的基本公式:

已知運動

→

力二、

(Henri

Resal)定理在定系中:odtdLo

M于該剛體的所有外力對同一點的主矩.定理:

剛體對固定點

o的動量矩

Lo

的端點的速度，等于作用精確結(jié)果5三、陀螺近似理論oz

'

z

'

e0

M

J

(J

J

)cos

ω

ω如果:

則:oz

'z

'e0

M

J

(J

J

)cos

ω

ω

Jz

'ω

ω四、陀螺近似理論的

解釋如果：

0

90oz

'

z

'

e

J

(J

J

)0

則也有：Mcos

ω

ω

Jz

'ω

ω6四、陀螺近似理論的解釋相對于定系:ωa

ω

ωyzx'y'z'x

oωω

ωa

x

'i

'

y

'

j

'

(

z

'

)k

'o

x

'

x

'

y

'

y

'

z

'

z

'L

J

i

'

J

j

'

J

k

'

Je

x

'i

'

Je

y

'

j

'

Jz

'

(

z

'

)k

'

Jz

'

k

'如果

的大小為常量o

z

'

L

J

k

'則當剛體作規(guī)則進動時，Lo

的矢端劃出一圓。7當剛體作規(guī)則進動時，Lo

的矢端劃出一圓。xyzz'oωoLdtdLo

ω

Lodtoo

dLoM

ω

L由定理:o

z

'

L

J

k

'Lo

Jz

'ωo

z

'

M

J

ω

ωoz

'z

'e0

M

J

(J

J

)cos

ω

ω與精確解比較:陀螺力矩：陀螺轉(zhuǎn)子作用在施力體上的反作用力矩FAFB陀螺的特性：定向性、進動性、陀螺效應(yīng)

8(FA

,FB

)

:附加動壓力Mg

Mo

Jz

'

9陀螺的特性：Mo

0情況(稱為平衡陀螺):1.

定向性：對于動力學對稱的Lo

常矢如果初始時僅讓陀螺繞對稱軸作定軸轉(zhuǎn)動，則陀螺將一直繞對稱軸作定軸轉(zhuǎn)動。2.

進動性：和對稱軸將向力矩(而不是力)只要高速旋轉(zhuǎn)物體的自轉(zhuǎn)軸被迫在空間改變方向(即發(fā)生強迫進動)，就會產(chǎn)生陀螺力矩，出現(xiàn)陀螺效應(yīng)。如果有外力對o點有矩，則Lo的方向偏轉(zhuǎn)。3.

陀螺效應(yīng)：10例：已知

1

2

大小均為常量，圓盤質(zhì)量為m，半徑為R，求轉(zhuǎn)軸作用在支座C、D的附加動壓力。Mg

Jz'

Mo

Jz'FCDF1

2CD1

mR2

FD

FC

2§10-4

剛體一般運動的運動學與動力學一、剛體一般運動的運動方程x1y1111zx'z'o'ry'oxyz

:

定參考系o’x’y’z’:

隨體參考系:平動參考系xyzo

'

x1

y1z1o

'：基點12y1z1o'r'xzryro'x1剛體一般運動

=

平動

+

定點運動利用點的復(fù)合運動理論導(dǎo)出剛體上各點的速度和加速度關(guān)系13二、一般運動剛體各點的速度和加速度x11yz1o'r'xyzro'raM

ae

ar

ao

'

α

r

'

ω(ω

r

')M基點法vM

ve

vr

vo

'

ω

r

'速度投影定理成立14命題：剛體的角速度和角加速度與基點的選取無關(guān)證明：

設(shè)

M,A,B

是剛體上任意不重合的三點vM

vA

ωA

rAM

vB

ωB

rBM兩邊點乘

rAB

：

rAB

vArAM

rAB

ωA

rAM

rAB

vB

rAB

ωB

rBM

rAB

rBMrAB

ωA

rAB

rBM

rAB

ωB

rBM

ABω

ωωA

rBM

rAB

ωB

rBM

rAB

由M

的任意性15vM

vo'

ω

r

'速度分析對于平面運動，在剛體或其延展體上存在速度為零的軸。對于定點轉(zhuǎn)動，在剛體或其延展體上也存在速度為零的軸。問題：對于剛體的一般運動，是否一定在剛體或其延展體上存在速度為零的軸(或點)？設(shè)在剛體或其延展體上存在速度為零的點A

.vA

vo'

ω

ro'

A

0式子兩邊同時點乘

：vo

'

ω

0由于基點選取的任意性，上式一般不滿足。結(jié)論：對于剛體的一般運動，一般不存在瞬時速度中心。必要條件16vM

vo'

ω

r

'基點法結(jié)論：對于剛體的一般運動，一般不存在瞬時速度中心(瞬軸)。vo

'

ω

0但對于平面運動，其上所有點的速度方向都與角速度矢量垂直。對任意的基點都能滿足。vB

vA

ω

rAB對基點法公式：兩邊點乘：ABrABrBAABABv

rAB

v

rABrr速度投影定理：剛體運動的任意瞬時，其上任意兩點的速度在它們的連線上投影相等。三、剛體一般運動的進一步簡化對基點法公式：兩邊點乘：vB

vA

ω

rABvB

ω

vA

ω命題：剛體運動的任意瞬時，其任意點的速度在角速度方向上投影相等。剛體一般運動按速度分解：沿角速度方向的平移

+

垂直于角速度方向的平面運動平面運動存在瞬時速度中心沿某軸的平移

+

繞該軸的定軸轉(zhuǎn)動

稱為速度螺旋17取速度等于

的平移動系18剛體在任意時刻的無限小位移(瞬時位移)的三種情況：平行移動；定軸轉(zhuǎn)動；速度螺旋。該結(jié)論可推廣至剛體的有限位移。剛

移定理：剛體從一個位置到另一位置的空間一般有限位移，總可以通過剛體繞(其延展體上的)某根軸的一次定軸轉(zhuǎn)動，再加上沿該軸的一次平行移動實現(xiàn)(該種位移稱為位移螺旋)。19四、剛體一般運動的運動微分方程eicFma

e

Mc

(Fi

cdtdLr)20xyz例：薄圓盤(半徑為R)在粗糙水平面上的純滾動方程.CDvD

021例：薄圓盤在粗糙水平面上的純滾動，設(shè)其半徑為R.xyzOxyz

:

定參考系C’x’

y’z’:

隨體參考系x

'y

'z

'DRCCRRC

xc

i

yc

j

zc

kvC

xci

yc

j

zc

kvD

vC

ω

R

0xyzx

'z

'y

'N選取

角(,,)作為轉(zhuǎn)動參數(shù)

k

n

k'向定系投影：k

'

sin

sin

i

sin

cos

j

cos

kn

cos

i

sin

j定系上的運動學方程：zx

cos

sin

siny

sin

sin

cos

cosyx

'y

'z

'D

RCRCR

R

cos

sin

i

R

cos

cos

j

Rsin

kR

與節(jié)線垂直，且與

z,z’

軸在同一平面內(nèi)zvD

vC

ω

R

0vC

xci

yc

j

zc

kx向定系投影：xc

(

sin

sin

cos

)R

sin

(

cos

)R

cos

cos

0

yc

(

cos

)R

cos

sin

(

cos

sin

sin

)R

sin

0zc

(

cos

sin

sin

)R

cos

cos

(

sin

sin

cos

)R

cos

si2n2

0xyzxyz23x

'y

'z

'DRCRCc

yc

(

cos

)R

cos

sin

(

cos

sin

sin

)R

sin

0z

(

cos

sin

sin

)R

cos

cos

(

sin

sin

cos

)R

cos

sin

0運動約束方程:xc

(

sin

sin

cos

)R

sin

(

cos

)R

cos

cos

0

yc

R

cos

sin

R

cos

R

sin

R

sin

0z化簡后得:xc

R

sin

sin

R

cos

cos

R

cos

0c

c

R

cos

0

z

R

sin當限制盤沿y

軸作直線垂直滾動時：xc

0,

zc

R,

90節(jié)線與Cy

軸重合。24第10章要求定點運動剛體的任意有限位移，可以繞通過固定點的某一軸經(jīng)過一次轉(zhuǎn)動來實現(xiàn)。定點運動剛體有限位移的順序不可交換.定點運動剛體無限小位移的順序可交換.定點運動剛體的角位移不能用矢量表示，但無窮小角位移可以用矢量表示。定點運動剛體的角速度\角加速度可以用矢量表示。了解

運動學方程.了解 動力學方程.自轉(zhuǎn)\進動\章動概念.定性理論25定點運動剛體上點的速度和加速度公式應(yīng)用;能計算定點運動剛體的動量矩;能計算定點運動剛體的動能;能計算陀螺力矩;能求解與例10-1和例10-2相同題型的問題。對高速自轉(zhuǎn)的陀螺，其對定點的動量矩近似