2023屆高考數(shù)學(xué)解析幾何的20個(gè)微專(zhuān)題精講

屆高考數(shù)學(xué)解析幾何的20個(gè)微專(zhuān)題精講【知識(shí)梳理】解析幾何的20個(gè)微專(zhuān)題[1]專(zhuān)題1：直線與方程知識(shí)梳理：（1）直線的傾斜角定義：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，我們?nèi)≥S作為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.當(dāng)直線與軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為.傾斜角的范圍為.（2）直線的斜率：定義：一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母表示，即.傾斜角是的直線，斜率不存在.（3）過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，斜率不存在.注：①任何直線都有傾斜角，但不是任何直線都有斜率，傾斜角是的直線的斜率不存在.②斜率隨傾斜角的變化規(guī)律：傾斜角斜率，增大，增大不存在，增大，增大③可以用斜率來(lái)證明三點(diǎn)共線，即若，則三點(diǎn)共線.直線方程的五種形式名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點(diǎn)斜式是直線上一定點(diǎn)，是斜率不垂直于軸斜截式是斜率，是直線在軸上的截距不垂直于軸兩點(diǎn)式，是直線上兩定點(diǎn)不垂直于軸和軸截距式分別是直線在軸上和軸上的非零截距不垂直于軸和軸，且不過(guò)原點(diǎn)一般式時(shí)，斜率為，在軸上的截距，在軸上的截距為任何直線注意：①求直線方程的方法主要有兩種：一是直接法，根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，直接寫(xiě)出直線方程；二是待定系數(shù)法，先設(shè)出直線方程，再根據(jù)條件求出待定系數(shù)，最后代入求出直線方程.但使用直線方程時(shí)，一定要注意限制條件，以免解題過(guò)程中丟解.②截距與距離的區(qū)別：截距可為一切實(shí)數(shù)，縱截距是直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，橫截距是直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而距離是一個(gè)非負(fù)數(shù).直線與直線位置關(guān)系1．兩條直線的交點(diǎn)若直線：和：相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解.2．兩條直線位置關(guān)系的判定（1）利用斜率判定若直線和分別有斜截式方程：和：，則①直線∥的等價(jià)條件為.②直線與重合的等價(jià)條件為.③直線與相交的等價(jià)條件為；特別地，的等價(jià)條件為.若與斜率都不存在，則與平行或重合.若與中的一條斜率不存在而另一條斜率為，則與垂直.（2）用直線一般式方程的系數(shù)判定設(shè)直線：，：，則①直線∥的等價(jià)條件為.②直線與重合的等價(jià)條件為.③直線與相交的等價(jià)條件為；特別地，的等價(jià)條件為.注：與平行的直線方程一般可設(shè)為的形式，與垂直的直線方程一般可設(shè)為的形式.（3）用兩直線聯(lián)立的方程組的解的個(gè)數(shù)判定設(shè)直線：，：，將這兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組，若方程組有惟一解，則與相交，此解就是，交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，此時(shí)與無(wú)公共點(diǎn)，則∥；若方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解，則與重合.3.直線系問(wèn)題（1）設(shè)直線：和：若與相交，則表示過(guò)與的交點(diǎn)的直線系（不包括）；若∥，則上述形式的方程表示與與平行的直線系.（2）過(guò)定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)直線系方程為（不包括）；斜率為的平行直線系方程為.注：直線系是具有某一共同性質(zhì)的直線的全體，巧妙地使用直線系，可以減少運(yùn)算量，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.距離公式與對(duì)稱問(wèn)題1.距離公式（1）兩點(diǎn)間的距離公式平面上的兩點(diǎn)間的距離.特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離.若軸時(shí)，；若軸時(shí)，.（2）點(diǎn)到直線的距離公式已知點(diǎn)，直線：，則點(diǎn)到直線的距離.已知點(diǎn)，直線：，則點(diǎn)到直線的距離.已知點(diǎn)，直線：，則點(diǎn)到直線的距離.注：用此公式求解點(diǎn)到直線距離問(wèn)題時(shí)，直線方程要化成一般式.（3）兩條平行直線間的距離公式已知兩平行直線：和：，若點(diǎn)在上，則兩平行直線和的距離可轉(zhuǎn)化為到直線的距離.已知兩平行直線：和：，則兩直線和的距離.注：用此公式求解兩平行直線間的距離時(shí)，直線方程要化成一般式，并且項(xiàng)的系數(shù)必須對(duì)應(yīng)相等.2.對(duì)稱問(wèn)題（1）中心對(duì)稱①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為.②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線的方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用∥，由點(diǎn)斜式求出直線的方程，或者在所求直線上任取一點(diǎn)，求出它關(guān)于已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，代入已知直線，即可得到所求直線的方程.(2）軸對(duì)稱①點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為,則有,由此可求出.特別地,點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為.②直線關(guān)于直線的對(duì)稱此類(lèi)問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱直線相交，一是已知直線與對(duì)稱直線平行.本章知識(shí)結(jié)構(gòu)直線的傾斜角和斜率直線的傾斜角和斜率兩條直線平行和垂直的判定直線與方程兩條直線的位置關(guān)系兩條平行線間的距離點(diǎn)到直線的距離兩點(diǎn)間的距離相交求交點(diǎn)平行求距離直線的斜截式方程方程直角坐標(biāo)系中畫(huà)圖直線的截距式方程方程之間互化直線的方程直線的兩點(diǎn)式方程應(yīng)用直線的點(diǎn)斜式方程方程直線的一般式方程方程專(zhuān)題2：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程知識(shí)梳理:=1\*GB2⑴.圓的一般方程的概念：當(dāng)時(shí)，二元二次方程叫做圓的一般方程。=2\*GB2⑵.圓的一般方程對(duì)應(yīng)的圓心和坐標(biāo)：圓的一般方程表示的圓的圓心為，半徑長(zhǎng)為.專(zhuān)題3：直線與圓的位置關(guān)系及判定知識(shí)梳理.直線：；圓判定方法:方法1：幾何法．利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系判斷：d＞r； d＝r；d＜r.方法2：代數(shù)法.利用直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷：設(shè)方程組的解的個(gè)數(shù)為n，則有△0n=相交；△0n＝相切；△0n＝相離．圓的弦長(zhǎng)計(jì)算知識(shí)梳理1.如下圖所示，涉及直線與圓相交及弦長(zhǎng)的題，都在中，利用勾股定理，得半徑弦長(zhǎng)及弦心距之間的關(guān)系式.弦長(zhǎng)的計(jì)算：設(shè)圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則弦長(zhǎng).專(zhuān)題4：圓與圓的位置關(guān)系知識(shí)梳理圓與圓位置關(guān)系的判定圓與圓的位置關(guān)系有幾種，各有幾條公切線，分別畫(huà)出來(lái)？（1）幾何法：設(shè)圓兩圓的圓心距設(shè)為d，半徑分別為r，R，（R>r）則當(dāng)時(shí)，兩圓當(dāng)時(shí)，兩圓當(dāng)時(shí)，兩圓當(dāng)時(shí)，兩圓當(dāng)時(shí)，兩圓（2）設(shè)兩圓的方程分別為，，兩圓作差得公共弦所在直線，將直線方程代入其中任一圓的方程，消去得到關(guān)于的一元二次方程式，則當(dāng)時(shí)，圓與圓；當(dāng)時(shí)，圓與圓；當(dāng)時(shí)，圓與圓。專(zhuān)題5：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程概念梳理.1.平面內(nèi)，叫做橢圓.叫做橢圓的焦點(diǎn)，叫做橢圓的焦距.2.根據(jù)橢圓的定義可知：集合，，且為常數(shù).當(dāng)時(shí)，集合P為_(kāi)______；當(dāng)時(shí)，集合P為當(dāng)時(shí)，集合P為.3.焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.其中滿足關(guān)系為.橢圓的焦點(diǎn)三角形初探概念梳理:焦點(diǎn)三角形主要結(jié)論：橢圓定義可知：中，(1)..(2).焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為(3)..(4).焦點(diǎn)三角形的面積為：.①．當(dāng)，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大；②．S＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取得最大值，最大值為bc；(5).假設(shè)焦點(diǎn)的內(nèi)切圓半徑為，則.專(zhuān)題6：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)知識(shí)梳理標(biāo)準(zhǔn)方程+=1（a＞b＞0）+=1（a＞b＞0）圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，，焦距范圍，，對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)，，，，軸長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為，短軸的長(zhǎng)為離心率，其中橢圓幾何性質(zhì)再探焦半徑公式.1.焦半徑公式:設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，那么，，進(jìn)一步，有2.設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，那么，由于,故我們有專(zhuān)題7：直線與橢圓的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)計(jì)算知識(shí)梳理.1．直線和橢圓的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離.判定方法——代數(shù)法。將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，判斷方程解的情況：△＞0，方程有兩個(gè)不同的解，則直線與橢圓相交；△＝0，方程有兩個(gè)相等的解，則直線與橢圓相切；△＜0，方程無(wú)解，則直線與橢圓相離．2.弦長(zhǎng)的一般形式設(shè)A(),B()弦長(zhǎng)==3.橢圓弦長(zhǎng):相切條件：,橢圓的焦點(diǎn)弦知識(shí)剖析(1).橢圓其中兩焦點(diǎn)為（過(guò)左焦點(diǎn)）（過(guò)右焦點(diǎn)）其中e是橢圓的離心率.(2).橢圓（過(guò)左焦點(diǎn)）（過(guò)右焦點(diǎn)）(3).若，則.(4).若,找出或者（可正可負(fù)），利用構(gòu)建，聯(lián)立利用韋達(dá)定理求解）或者利用韋達(dá)定理分別解出專(zhuān)題8：中點(diǎn)弦問(wèn)題——橢圓垂徑定理知識(shí)梳理:1.中點(diǎn)弦公式：（所謂中點(diǎn)弦公式是直線與圓錐曲線相交時(shí)，兩交點(diǎn)中點(diǎn)與弦所在直線的關(guān)系，一般不聯(lián)立方程，而用點(diǎn)差法求解）橢圓：交點(diǎn)在x軸上時(shí)直線與橢圓相交于點(diǎn)A、B設(shè)點(diǎn)A(),B() ∵A、B在橢圓上∴……①則……②即①-②得： 即則（其中M為A、B中點(diǎn)，O為原點(diǎn)）同理可以得到當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，即橢圓方程為當(dāng)直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，M為A、B中點(diǎn)則橢圓垂徑定理：直線AB的斜率與中點(diǎn)M和原點(diǎn)O所成直線斜率的乘積等于下的系數(shù)比上下的系數(shù)的相反數(shù).面積計(jì)算知識(shí)梳理:1.三角形面積直線與圓錐曲線相交，弦和某個(gè)定點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積處理方法：①一般方法：（其中為弦長(zhǎng)，d為頂點(diǎn)到直線AB的距離）=（直線為斜截式y(tǒng)=kx+m）=②特殊方法：拆分法,可以將三角形沿著x軸或者y軸拆分成兩個(gè)三角形，不過(guò)在拆分的時(shí)候給定的頂點(diǎn)一般在x軸或者y軸上，此時(shí)，便于找到兩個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)。2.四邊形面積在高考中，四邊形一般都比較特殊，常見(jiàn)的情況是四邊形的兩對(duì)角線相互垂直，此時(shí)我們借助棱形面積公式，四邊形面積等于兩對(duì)角線長(zhǎng)度乘積的一半；當(dāng)然也有一些其他的情況，此時(shí)可以拆分成兩個(gè)三角形，借助三角形面積公式求解.專(zhuān)題9：橢圓離心率的計(jì)算小結(jié)：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中則專(zhuān)題10：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)梳理1.定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)、的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)、叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距．注：若定義中“差的絕對(duì)值”中的“絕對(duì)值”去掉的話,點(diǎn)的軌跡成為雙面線的一支。設(shè)為雙曲線上的任意一點(diǎn),若點(diǎn)在雙曲線右支上,則；若在雙曲線的左支上,則；因此得.2.標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在軸上:焦點(diǎn)在軸上:,可以看出,如果項(xiàng)的系數(shù)是正的,那么焦點(diǎn)就在軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正的,那么焦點(diǎn)就在軸上.3.標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量滿足4.方程表示的曲線為雙曲線,它包含焦點(diǎn)在軸上或在軸上兩種情形。若將方程變形為,則當(dāng)，時(shí),方程為，它表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線,此時(shí)；當(dāng)時(shí),方程為,它表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線,此時(shí)。因此,在求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),若焦點(diǎn)的位置不確定,則?？紤]上述設(shè)法.專(zhuān)題11：雙曲線的幾何性質(zhì)知識(shí)梳理1.范圍、對(duì)稱性2.頂點(diǎn)頂點(diǎn)：，特殊點(diǎn)：.實(shí)軸：長(zhǎng)為，叫做半實(shí)軸長(zhǎng)；虛軸：長(zhǎng)為，叫做虛半軸長(zhǎng).3.漸近線如上圖所示，過(guò)雙曲線的兩頂點(diǎn)，作軸的平行線，經(jīng)過(guò)作軸的平行線，四條直線圍成一個(gè)矩形，矩形的兩條對(duì)角線所在直線方程是，這兩條直線就是雙曲線的漸近線.4.離心率:焦點(diǎn)在軸：.焦點(diǎn)在軸:___________.5.焦點(diǎn)到漸近線的距離:到直線的距離為.專(zhuān)題12：直線與雙曲線的位置關(guān)系知識(shí)梳理:1.直線與橢圓的位置關(guān)系有哪些？是如何研究的？當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，如何求弦長(zhǎng)？涉及弦的中點(diǎn)問(wèn)題，如何解決？專(zhuān)題13：雙曲線的離心率計(jì)算知識(shí)梳理：回顧橢圓離心率的計(jì)算方法，歸納總結(jié)雙曲線的離心率計(jì)算方法.專(zhuān)題14：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程知識(shí)梳理1.拋物線定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，定直線為拋物線的準(zhǔn)線.（1）.定義可歸結(jié)為”一動(dòng)三定”：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為；一定點(diǎn)(即焦點(diǎn))；一定直線(即準(zhǔn)線)；一定值1（即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為1）.（2）.定義中的隱含條件：焦點(diǎn)不在準(zhǔn)線上。若在上，拋物線退化為過(guò)且垂直于的一條直線。（3）.拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題中常將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)距離(也稱焦半徑)與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線距離互化，與拋物線的定義聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。2.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程：（1），焦點(diǎn)：，準(zhǔn)線；（2），焦集點(diǎn)：，準(zhǔn)線；（3），焦點(diǎn)：，準(zhǔn)線；（4），焦點(diǎn)：，準(zhǔn)線.專(zhuān)題15：拋物線的幾何性質(zhì)知識(shí)梳理1.幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖象性質(zhì)焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍軸軸頂點(diǎn)離心率開(kāi)口方向向右向左類(lèi)型圖象類(lèi)型性質(zhì)焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對(duì)稱軸軸頂點(diǎn)離心率開(kāi)口方向向上向下直線與拋物線位置關(guān)系專(zhuān)題16：拋物線的焦點(diǎn)弦知識(shí)梳理:(1).拋物線弦長(zhǎng)計(jì)算的基本方法:設(shè)A(),B()弦長(zhǎng)==若直線的斜率存在，假設(shè)直線方程為，代入，消去并化簡(jiǎn)整理得到：，，最后利用韋達(dá)定理，代入弦長(zhǎng)公式即可解得弦長(zhǎng).(2).由于，故，所以有：.3.典例分析案例分析.斜率為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度.方法1.(弦長(zhǎng)公式).方法2.(拋物線定義).注意到直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，即焦點(diǎn)弦.拋物線的焦點(diǎn)弦具有豐富的性質(zhì)，它是對(duì)拋物線定義的進(jìn)一步考察，也是拋物線這節(jié)中最重要的考點(diǎn)之一，下面羅列出常見(jiàn)的拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì):性質(zhì)1.,.性質(zhì)2.已知傾斜角為直線的經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，則.性質(zhì)3.拋物線的通徑(1).通徑長(zhǎng)為.(2).焦點(diǎn)弦中，通徑最短.(3).通徑越長(zhǎng)，拋物線開(kāi)口越大.性質(zhì)4.性質(zhì)5.已知直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，若弦中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.性質(zhì)6.以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.性質(zhì)7.拋物線的焦點(diǎn)為F，是過(guò)的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：.例.（2018年全國(guó)2卷）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，．（1）求的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線相切的圓的方程．解：（1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x–1）（k>0）．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由題設(shè)知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程為y=x–1．（2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為，即．設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（x0，y0），則解得或因此所求圓的方程為或．專(zhuān)題17：阿基米德三角形1.知識(shí)要點(diǎn)：如圖，假設(shè)拋物線方程為，過(guò)拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別記為，其坐標(biāo)為.則以點(diǎn)和兩切點(diǎn)圍成的三角形中，有如下的常見(jiàn)結(jié)論:結(jié)論1.直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn).證明：參見(jiàn)下面的例1.結(jié)論2.直線的方程為.證明：參見(jiàn)下面的例1.也可由極點(diǎn)與極線得到.進(jìn)一步，設(shè)：，則.則，顯然由于過(guò)焦點(diǎn)，代入可得.我們得到了拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)之間的基本關(guān)系.上述結(jié)論的逆向也成立，即：結(jié)論3.過(guò)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以分別為切點(diǎn)做兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線.證明：過(guò)點(diǎn)的切線方程為，過(guò)點(diǎn)的切線方程為，兩式相除可得：.這就證明了該結(jié)論.結(jié)論4..證明：由結(jié)論3，，.那么.結(jié)論5..證明：,則.由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知，代入上式即可得，故.結(jié)論6.直線的中點(diǎn)為，則平行于拋物線的對(duì)稱軸.證明：由結(jié)論3的證明可知，過(guò)點(diǎn)的切線的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上.且的坐標(biāo)為，顯然平行于拋物線的對(duì)稱軸.（2019年全國(guó)三卷）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.(1)證明：設(shè),,則．又因?yàn)?，所?故，整理得.設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過(guò)點(diǎn)，而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線方程為.即，當(dāng)時(shí)等式恒成立．所以直線恒過(guò)定點(diǎn).（2）由（1）得直線的方程為.由，可得，于是.設(shè)分別為點(diǎn)到直線的距離，則.因此，四邊形ADBE的面積.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則，由于，而，與向量平行，所以，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)因此，四邊形的面積為或.專(zhuān)題18：極點(diǎn)極線結(jié)構(gòu)及非對(duì)稱韋達(dá)定理1.基礎(chǔ)知識(shí):極點(diǎn)極線橢圓極點(diǎn)和極線的定義與作圖：已知橢圓（a＞b＞0），則稱點(diǎn)和直線為橢圓的一對(duì)極點(diǎn)和極線.極點(diǎn)和極線是成對(duì)出現(xiàn)的.從定義我們共同思考和討論幾個(gè)問(wèn)題并寫(xiě)下你的思考:（1）若點(diǎn)在橢圓上，則其對(duì)應(yīng)的極線是什么?（2）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線分別是什么?（3）過(guò)橢圓外（上、內(nèi)）任意一點(diǎn)，如何作出相應(yīng)的極線？如圖，若點(diǎn)在曲線外，過(guò)點(diǎn)作兩條割線依次交曲線于且與交于，延長(zhǎng)交于點(diǎn),則直線即為點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的極線.假設(shè)橢圓方程為（1）焦點(diǎn)與準(zhǔn)線：點(diǎn)與直線；（2）點(diǎn)與直線2.非對(duì)稱韋達(dá)定理在一元二次方程中，若，設(shè)它的兩個(gè)根分別為，則有根與系數(shù)關(guān)系：，，借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來(lái)快速處理、、之類(lèi)的“對(duì)稱結(jié)構(gòu)”，但有時(shí)，我們會(huì)遇到涉及的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求、之類(lèi)的結(jié)構(gòu)，就相對(duì)較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來(lái)處理了.特別是在圓錐曲線問(wèn)題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去x或y，也得到一個(gè)一元二次方程，我們就會(huì)面臨著同樣的困難，可采用反過(guò)來(lái)應(yīng)用韋達(dá)定理，會(huì)有較好的作用.3.典例（2020一卷）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).解析：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線：，直線過(guò)點(diǎn)．故直線CD過(guò)定點(diǎn)．4.練習(xí)：（2010江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過(guò)點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,.（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得化簡(jiǎn)得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、（方法1）當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：令，解得：。此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。所以直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。（方法2）若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過(guò)點(diǎn)D（1，0）若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過(guò)D點(diǎn)。因此，直線MN必過(guò)軸上的點(diǎn)（1，0）.專(zhuān)題19：與斜率和、斜率積有關(guān)的定點(diǎn)定值1.基本結(jié)論：設(shè)為橢圓上的定點(diǎn)，是橢圓上一條動(dòng)弦，直線的斜率分別為；若，則有，若，則直線過(guò)定點(diǎn)，若，則有，若，則直線過(guò)定點(diǎn).典例分析（2017一卷）已知橢圓，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn)，若直線的斜率之和為，證明：直線過(guò)定點(diǎn).解析：（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).又由知，C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此，解得.故C的方程為.（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）.則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)l：（）.將代入得，由題設(shè)可知.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，欲使l：，即，所以l過(guò)定點(diǎn)（2，）專(zhuān)題20：解析幾何中的幾何方法1.基本知識(shí):“一線三垂直”的證明1.如圖，AB⊥BD，AC⊥CE，ED⊥BD，且AC=CE求證：Rt△ABC≌Rt△CDE．證明：在Rt△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°∵∠BCD是平角∴∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°∵∠ABC=∠ACE=90°∴∠A=∠DCE，∵AC=CE∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS）．典例（2020三卷）已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點(diǎn)．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，，求的面積．【詳解】（1），，根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即；（2）不妨設(shè),在x軸上方點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，且，，過(guò)點(diǎn)作軸垂線，交點(diǎn)為，設(shè)與軸交點(diǎn)為根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖，，，又，，，根據(jù)三角形全等條件“”，可得：，，，，設(shè)點(diǎn)為，可得點(diǎn)縱坐標(biāo)為，將其代入，可得：，解得：或，點(diǎn)為或，①當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，故，，，可得：點(diǎn)為，畫(huà)出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，面積為：；②當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，故，，，可得：點(diǎn)為，畫(huà)出圖象，如圖,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離為：，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：.江蘇高考數(shù)學(xué)真題講析[2]文/劉蔣巍分析高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)，把握高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)，了解試題來(lái)源，理解命題背景，對(duì)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大有裨益！1、培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化能力《2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）說(shuō)明》（以下簡(jiǎn)稱：江蘇高考考試說(shuō)明）樣卷中第14題選取的2012年江蘇卷第14題。該題考查不等式、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí)，考查代數(shù)式的變形和轉(zhuǎn)化能力，考查靈活運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。問(wèn)題如下：2012江蘇.14．已知正數(shù)滿足：則的取值范圍是▲．已知正數(shù)滿足：，，求的范圍。（令，，則問(wèn)題衍變?yōu)椋阂阎龜?shù)滿足：，，求的范圍。）類(lèi)似的，考查代數(shù)式的變形和轉(zhuǎn)化能力的試題還有2016年江蘇卷第14題。問(wèn)題如下：2016江蘇14.在銳角三角形中，，則的最小值是．【試題命制】（蘇教版必修4第117頁(yè)感受理解第4題）在銳角三角形ABC中，，垂足為，，求的度數(shù).（改編1）在銳角三角形中，，垂足為，，則的最小值是_______由于，，所以“，垂足為，”還可表述為“”，由正弦定理得：，形成2稿（2稿）在銳角三角形中，，則的最小值是______【解法探究】解法1以形助數(shù)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，令，，；則；由，得：而，則；；又，，；所以；不妨令；則解法2運(yùn)用基本不等式因?yàn)?，，所以，；兩邊同除以得：而所以，不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號(hào)思考：還有其他解法么？2、引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教材中的基本模型江蘇高考考試說(shuō)明樣卷中第18題選用的2014年江蘇高考的應(yīng)用題。本題考查直線、圓、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查抽象概括能力和運(yùn)算求解能力，以及學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。源于教材：“多題合一”+“改造”2014江蘇18.(本小題滿分16分)如圖,為了保護(hù)河上古橋,規(guī)劃建一座新橋BC,同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處,點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處(OC為河岸),.(1)求新橋BC的長(zhǎng)；(2)當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí),圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？170m170m60m東北O(jiān)ABMC（第18題）命題背景解析背景1蘇教版教材必修2第92頁(yè)例5在路邊安裝路燈，路寬23m，燈桿長(zhǎng)2.5m，且與燈柱成120。角，路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線與燈桿垂直．當(dāng)燈柱高h(yuǎn)為多少米時(shí)，燈罩軸線正好通過(guò)道路路面的中線？（精確到0.01m）背景2蘇教版教材必修2第113頁(yè)例2自點(diǎn)A作圓的切線，求切線的方程.本題源于教材，高考題的第一問(wèn)取自課本的燈罩軸線與燈桿垂直的模型。高考題與教材的例題，在給出的背景上非常相似，都是過(guò)定點(diǎn)的直線與圓相切；同時(shí)又是直線的方程與圓的方程兩者知一求一。思考：2014江蘇卷第18題，如何求解呢？有幾種解法呢？3、注重學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生思考簡(jiǎn)捷的算法高三復(fù)習(xí)中，圓錐曲線常出現(xiàn)的問(wèn)題是：學(xué)生通性通法的思路都懂，就是算不出來(lái)？如何運(yùn)算、選擇怎樣的算法打開(kāi)運(yùn)算死結(jié)呢？請(qǐng)看以下江蘇高考題：（2011江蘇18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M、N分別是橢圓的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為kNMNMPAxyBC（2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；（3）對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB設(shè)橢圓（雙曲線）且m、n不同時(shí)為負(fù)數(shù)）過(guò)中心的弦為AP，曲線上異于A，P的任意一點(diǎn)為B，則因?yàn)?，所以，又因?yàn)?；則（令橢圓方程為：，則，）思考：除命制思路外，還有其他解題思路嗎？．已知和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．（1）求橢圓的離心率；ABPOxy（第19題）（2）設(shè)AABPOxy（第19題）與直線平行，與交于點(diǎn)P．（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值．思考：如何求解？通性通法怎么巧算？除通性通法外，可否使用參數(shù)方程、極坐標(biāo)等方法求解？在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程.思考：如何求解？通性通法怎么巧算？除通性通法外，可否使用參數(shù)方程、極坐標(biāo)等方法求解？4、掌握通性通法的同時(shí)，了解試題的高等數(shù)學(xué)背景江蘇高考考試說(shuō)明樣卷中第19題選用的2013年江蘇高考第20題。該題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想方法。2013江蘇20.（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)。（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。函數(shù)的圖像在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，最大值為，，（此處極限值用洛必達(dá)法則求得）（若，則當(dāng)或時(shí)，方程的根個(gè)數(shù)為1，當(dāng)時(shí)，方程的根個(gè)數(shù)為2）思考：除命制思路外，還有其他解題思路嗎？用通性通法如何求解？2012江蘇20．（本小題滿分16分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：．（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值．①正項(xiàng)數(shù)列為大于1的有界數(shù)列，且為等比數(shù)列，求證：為常數(shù)列.②，求證：思考：如何證明為常數(shù)列？正難則反？2016年江蘇高考第19題是以蘇教版必修5教材第98頁(yè)練習(xí)2（3）為原型生長(zhǎng)而成的。試題原型設(shè)是實(shí)數(shù)，求證：分析可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)。從“語(yǔ)言互譯”[1]的角度命制“鄰近問(wèn)題”，形成1稿。1稿設(shè)，求證：函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn).分析可知：若記，則有且只有1個(gè)零點(diǎn)，此時(shí).將“”推廣到“”，若有且只有1個(gè)零點(diǎn)，則值依然為1。從“命題推廣”與“條件與結(jié)論互換”[2]的角度命制“一般性問(wèn)題”，形成2稿。2稿已知，其中，函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求的值（2010江蘇18）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F．設(shè)過(guò)點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,．（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）．前兩問(wèn)比較簡(jiǎn)單，這里從略。對(duì)于第（3）問(wèn)，由高等幾何知識(shí)知：點(diǎn)T（）關(guān)于橢