【人教版】必修一數(shù)學(xué)：24-對數(shù)及對數(shù)運算：知識講解和鞏固練習(xí)(提高版,含答案)

對數(shù)及對數(shù)運算【學(xué)習(xí)目標】1.理解對數(shù)的概念，能夠進行指數(shù)式與對數(shù)式的互化；2.了解常用對數(shù)與自然對數(shù)的意義；3．能夠熟練地運用對數(shù)的運算性質(zhì)進行計算；4．了解換底公式及其推論，能夠運用換底公式及其推論進行對數(shù)的計算、化簡與證明．5．能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)、體會換底公式在解題中的作用．【要點梳理】要點一、對數(shù)概念1.對數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作:logaN=b.其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).要點詮釋：對數(shù)式logaN=b中各字母的取值范圍是：a>0且a1，N>0，bR.2.對數(shù)具有下列性質(zhì)：(1)0和負數(shù)沒有對數(shù)，即(2)1的對數(shù)為0，即(3)底的對數(shù)等于1，即3．兩種特殊的對數(shù)；；.通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，.以e（e是一個無理數(shù)，）為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，.4．對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知:對數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化.它們的關(guān)系可由下圖表示.由此可見a，b，N三個字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化.要點二、對數(shù)的運算法則已知(1)正因數(shù)的積的對數(shù)等于同一底數(shù)各個因數(shù)的對數(shù)的和；推廣：(2)兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于被乘數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；(3)正數(shù)的冪的對數(shù)等于冪的底數(shù)的對數(shù)乘以冪指數(shù)；要點詮釋：（1）利用對數(shù)的運算法則時，要注意各個字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數(shù)都存在時等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因為雖然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)與log2(-5)是不存在的.（2）不能將和、差、積、商、冪的對數(shù)與對數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來，即下面的等式是錯誤的：loga(MN)=logaMlogaN，loga(M·N)=logaM·logaN，loga.要點三、對數(shù)公式1．對數(shù)恒等式：2．換底公式同底對數(shù)才能運算，底數(shù)不同時可考慮進行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有:(1)令logaM=b，則有ab=M，(ab)n=Mn，即，即，即:.(2)，令logaM=b，則有ab=M，則有即，即，即當(dāng)然，細心一些的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)(1)可由(2)推出，但在解決某些問題(1)又有它的靈活性.而且由(2)還可以得到一個重要的結(jié)論:.【典型例題】類型一、指數(shù)式與對數(shù)式互化及其應(yīng)用例1.將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】運用對數(shù)的定義進行互化.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【總結(jié)升華】對數(shù)的定義是對數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對數(shù)形式和指數(shù)形式的互化又是解決問題的重要手段.舉一反三：【變式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg1000=x(4)【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4．【解析】將對數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)求出x.(1)(2)；；(3)10x=1000=103，于是x=3；(4)由.高清課程：對數(shù)及對數(shù)運算例1【變式2】計算：【答案】235并比較．【解析】．類型二、利用對數(shù)恒等式化簡求值例2．求值：【答案】35【解析】.【總結(jié)升華】對數(shù)恒等式真數(shù).中要注意格式：①它們是同底的；②指數(shù)中含有對數(shù)形式；③其值為舉一反三：【變式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)【答案】【解析】將冪指數(shù)中的乘積關(guān)系轉(zhuǎn)化為冪的冪，再進行運算..類型三、積、商、冪的對數(shù)高清課程：對數(shù)及對數(shù)運算例3例3.表示下列各式【解析】（1）；（2）（3）；；（4）=．【總結(jié)升華】利用對數(shù)恒等式、對數(shù)性質(zhì)及其運算性質(zhì)進行化簡是化簡對數(shù)式的重要途徑，因此我們必須準確地把握它們．在運用對數(shù)的運算性質(zhì)時，一要注意真數(shù)必須大于零；二要注意積、商、冪的對數(shù)運算對應(yīng)著對數(shù)的和、差、積得運算．舉一反三：【變式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2【答案】（1）22；（2）1；（3）2．【解析】(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【變式2】（1）設(shè)（2）已知，求的值．，求．【答案】（1）1；（2）【解析】（1）由已知分別求出和，，由換底公式得：==（2），，又，故故，又，從而，故．類型四、換底公式的運用例4.已知，求．【答案】【解析】解法一：于是，，．解法二：于是，，解法三：，，．解法四：，又令．，則，即．【總結(jié)升華】（1）利用換底公式可以把題目中不同底的對數(shù)化成同底的對數(shù)，進一步應(yīng)用對數(shù)運算的性質(zhì)．（2）題目中有指數(shù)式和對數(shù)式時，要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化，將它們統(tǒng)一成一種形式．（3）解決這類問題要注意隱含條件“”的靈活運用．舉一反三：【變式1】求值：(1)；(2)；(3).【答案】（1）；（2）；（3）【解析】(1)．；(2)；(3)法一：法二：.類型五、對數(shù)運算法則的應(yīng)用例5.求值(1)(2)(3)(4)【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13【解析】(1)原式=(2)原式==(3)原式=(4)原式舉一反三：【變式1】求值：【答案】2【解析】另解：設(shè)=m(m>0).∴，∴，∴，∴l(xiāng)g2=lgm，∴2=m，即.例6.若方程的兩根是a，b，求ab的值．【答案】【解析】設(shè)，則是原方程的兩個根，【總結(jié)升華】解決本題的關(guān)鍵是要分清楚a，b是哪個方程的根，所以首先利用換元法把方程化成一元二次方程，這樣就可以得到原方程的兩根是．舉一反三：【變式1】若【答案】12是方程的兩個實根，求的值．．【解析】原方程可化為．，設(shè)，則原方程化為由已知則是原方程的兩個根，，即，===．即．【鞏固練習(xí)】1.有以下四個結(jié)論：①lg(lg10)=0；②ln(lne)=0；③若10=lgx，則x=10；④若e=lnx，則x=e2，其中正確的是()A.①③B.②④C.①②D.③④2.下列等式成立的有()①；②；③；④；⑤；A.①②3.已知A.B.①②③C.②③④D.①②③④⑤，那么用表示是()B.C.D.4.已知，且等于()A.B.C.D.5．若，則（）A.B.C.D.6．設(shè)a，b，c為正數(shù)，且3a=4b=6c，則有()A.B.C.D.7．如果方程的兩根為、，則的值為（）A.B.C.D.-68．已知函數(shù)滿足：當(dāng)時，；當(dāng)時，，則=（）A.B.C.D.9.已知，則；10.(1)(2)=；=．11．已知a=0.33，b=30.3，c=log30.3，d=log0.33，則a，b，c，d的大小關(guān)系是.12．已知，則的值等于．13．計算：（1）（2）若；，求．14．設(shè)logac，logbc是方程x2-3x+1=0的兩根，求的值.15．2010年我國國民生產(chǎn)總值為億元，如果平均每年增長8%，那么經(jīng)過多少年后國民生產(chǎn)總值是2010年的2倍（，精確到1年）？【答案與解析】1.【答案】C【解析】由知①②正確．2.【答案】B【解析】；3.【答案】A【解析】原式=4．【答案】D【解析】因為=，故選A．，所以，所以．5．【答案】B【解析】，因為，所以，故選B．6．【答案】B【解析】設(shè)3a=4b=6c=k，則a=log3k，b=log4k，c=log6k，∴，同理，，而，∴，即.7．【答案】C【解析】由題意、是關(guān)于的方程，的兩根，．8．【答案】A【解析】由于，所以，所以，則==．9．【答案】3【解析】因為，故．10.【答案】(1)-3；(2)4．11．【答案】b>a>d>c【解析】∵0.3>0，3>0，∴a=0.33>0，b=30.3>0.∵3>1，0<0.3<1，∴c=log30.3<0，d=log0.33<0又∵b=30.3>1，a=0.33<1，∴b>a而，，∴d>c.12．【答案】2008【解析】2008