矩陣秩與線性方程組課件

第三章矩陣秩與線性方程組第三章矩陣秩與線性方程組第三章矩陣秩與線性方程組第三章矩陣的秩與線性方程組矩陣是線性代數(shù)的一個主要研究對象，也是數(shù)學上的一個重要工具。矩陣的應用已經(jīng)滲透到了包括自然科學、人文科學、社會科學在內(nèi)的各個領(lǐng)域。在矩陣理論中，矩陣的運算起著重要的作用，本章主要討論有關(guān)矩陣運算的一些基本規(guī)則與技巧。212021/2/22第三章矩陣秩與線性方程組第三章矩陣秩與線性方程組第三章矩陣秩第三章矩陣的秩與線性方程組矩陣是線性代數(shù)的一個主要研究對象，也是數(shù)學上的一個重要工具。矩陣的應用已經(jīng)滲透到了包括自然科學、人文科學、社會科學在內(nèi)的各個領(lǐng)域。在矩陣理論中，矩陣的運算起著重要的作用，本章主要討論有關(guān)矩陣運算的一些基本規(guī)則與技巧。22021/2/22第三章矩陣的秩與線性方程組矩陣是線性代數(shù)的一個主要研究對§3.2

線性方程組解的判定§3.1

矩陣的秩§3.3

分塊矩陣的初等變換及其應用(*)§3.4

應用舉例32021/2/22§3.2線性方程組解的判定§3.1矩陣的秩§3.3第一節(jié)矩陣的秩定義1：在m×n階矩陣A中，任取k行與l列(k≤m，l≤n)，位于這些行列交叉點處的k×l個元素按照原來相對順序所構(gòu)成的矩陣稱為矩陣A的k×l

子矩陣，當k和l相等時,此子矩陣為k階方陣，其行列式稱為矩陣A的一個k階子式。

中取1，2，3行和1，2，4列交叉處的元構(gòu)成的三階子式為：42021/2/22第一節(jié)矩陣的秩定義1：在m×n階矩陣A中，任取k行與l列(k

m×n階矩陣A中的k階子式共有個。定義2:

如果在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且所有r＋1階子式(如果存在的話)全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣的秩。記作R(A)。同時規(guī)定，零矩陣的秩等于0。由定義可得：（1）若矩陣A有一個r階子式不等于零，則R(A)r（2）若矩陣A的所有r+1階子式全為零，則R(A)r

(3)對任意m×n矩陣A,必有R(A)=R(AT)（4）矩陣A的秩既不會超過它的行數(shù)，又不會超過它的

列數(shù)，即R(Am×n)minm,n}(5)若矩陣B是矩陣A的子矩陣,則R(B)R(A)（6）對n階方陣A=(aij),若aij0，則R(A)=n，稱A為

滿秩矩陣(可逆矩陣)，若aij=0,則R(A)<n,稱A為降秩矩陣(不可逆矩陣)。52021/2/22m×n階矩陣A中的k階子式共有個。由

由行列式性質(zhì)可知，在A中當所有r＋1階子式全等于零時，所有高于r＋1階的子式也全等于零，因此A的秩R(A)就是A中不等于零的子式的最高階數(shù)(根據(jù)按行、按列展開即可證明）

行階梯形矩陣的秩等于其非零行的行數(shù)。定理：初等變換不改變矩陣的秩。證明：設(shè)R(A)=r，且A的某個r階子式Dr0.而所有的

r+1階子式Dr+1=0,若A經(jīng)過一次行的初等變換變?yōu)锽

1、則B的子式與A的相應子式或相等或只差一個符號，故有R(A)=R(B);2、矩陣B的子式或者是A的相應子式的k倍，或是相等，固有R(A)=R(B);62021/2/22由行列式性質(zhì)可知，在A中當所有r＋1階子式全等于零時，其中M1就是矩陣A的一個r+1階子式，故M1=0，M2是矩陣A的一個含第j行元的r+1階子式經(jīng)與若干行對換后得到的行列式，故M2=0，所以Dr+1=0.無論是以上何種情形，矩陣B的r+1階子式都等于0，所以有R(B)≤r=R(A)72021/2/22其中M1就是矩陣A的一個r+1階子式，故M1=0，M2是矩陣以上證明了A經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锽時，有R(B)≤R(A).由于B也可經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锳，那么同樣有R(B)≥R(A).所以有

R(A)＝R(B).經(jīng)一次行初等變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次行的初等變換矩陣的秩也不變。推論:設(shè)A是任一m×n矩陣,P,Q分別是m階,n階可逆(滿秩)矩陣,則必有

R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)上面的定理給出了求矩陣的秩的一種常用辦法。即就是對待求秩的矩陣進行行的初等變換化為行階梯矩陣，那么非零行的行數(shù)就是矩陣的秩。82021/2/22以上證明了A經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锽時，有R(B)

以上證明了A經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锽時，有R(B)≤R(A).由于B也可經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锳，那么同樣有R(B)≥R(A).所以有

R(A)＝R(B).經(jīng)一次行初等變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次行的初等變換矩陣的秩也不變。92021/2/22以上證明了A經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锽時，有R(B)102021/2/22102021/2/22112021/2/22112021/2/22122021/2/22122021/2/22132021/2/22132021/2/22

矩陣秩的性質(zhì):(1)0R(Am×n)min{m,n};(2)R(A)=R(AT);(3)設(shè)k是不為零的數(shù),則R(kA)=R(A);(4)若矩陣P,Q可逆,則R(PA)=R(AQ)=R(PAQ);(5)max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)+R(B);(6)R(A+B)R(A)+R(B);(7)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,則

R(AB)min{R(A),R(B)};(8)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,則

R(AB)R(A)+R(B)-n;(9)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,且AB=0,則

R(A)+R(B)n;142021/2/22矩陣秩的性質(zhì):142021/2/22

(5)max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)+R(B);

證明:因為A或B的最高階非零子式總是矩陣(A,B)的非零子式,所以

max{R(A),R(B)}R(A,B)設(shè)R(A)=r,R(B)=s,由第1章中的定理1.5可知,存在可逆矩陣P1,P2,使得AT=P1U1,BT=P2U2,其中U1,U2分別是矩陣AT與BT的行最簡形,且R(A)=R(AT)=R(U1)=U1的非零行數(shù)為r,R(B)=R(BT)=R(U2)=U2的非零行數(shù)為s,于是152021/2/22(5)max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A

(6)R(A+B)R(A)+R(B);

證明:將矩陣A,B按列分塊為A=(1,2,…n),B=(1,2,…n),從而

即矩陣(A+B,B)與矩陣(A,B)等價.由定理得R(A+B,B)=R(A,B),因此

R(A+B)R(A+B,B)=R(A,B)

R(A)+R(B);(7)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,則R(AB)min{R(A),R(B)};

證明:因為由性質(zhì)(2)及上式又可得,162021/2/22(6)R(A+B)R(A)+R(B);證明:將矩陣A,(8)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,則R(AB)R(A)+R(B)-n;

證明:設(shè)R(B)=r,由第一章定理可知,存在m階可逆矩陣P和s階可逆矩陣Q,使得由性質(zhì)1,4,5有記AP=(P1,P2),其中P1為m×r矩陣,它是矩陣(AP)的前r列,P2為m×(n-r)矩陣,它是矩陣(AP)的后(n-r)列,則該不等式稱為西爾維斯特不等式172021/2/22(8)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,則R(AB)R第二節(jié)線性方程組解的判定問題1:線性方程組有解的充要條件問題2：如何求解？（無窮解，唯一解以及無解）設(shè)有線性方程組：它的系數(shù)矩陣記作A=(aij)m×n，增廣矩陣記作ā＝（A:b),設(shè)R(A)=r,由前面的知識可知，r≤R(ā)≤r+1,且ā總可經(jīng)過初等行變換化為最簡梯矩陣182021/2/22第二節(jié)線性方程組解的判定問題1:線性方程組有解的充要條件設(shè)有于是線性方程組可以化為：由上述方程組可知：1、當dr+10即R(A)R(ā)時,原方程組無解；2、當dr+1＝0即R(A)＝R(ā)時,

原方程組有解。（1）若r=n，則方程組的解為

（2）若r<n，則方程組變?yōu)椋哼@說明，任意給定xr+1,…,xn,就唯一地確定一組x1,x2,…,xr的值，也就是給出了方程組的一組解。這樣的一組表達式，通常稱為方程組的一般解或通解，而xr+1,…,xn稱為自由變量。192021/2/22于是線性方程組可以化為：由上述方程組可知：這說明，任意給定x定理3：n元線性方程組有解的情況如下：（1）有解的充分必要條件是R(A)=R(ā).(2)有唯一解的充要條件是R(A)=R(ā)=n.(3)有無窮多解的充要條件是R(A)=R(ā)<n定理4：n元奇次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣A的秩R(A)<n.202021/2/22定理3：n元線性方程組有解的情況如下：有非零解的充要條件是它推論：n個方程的n元奇次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式A=0212021/2/22推論：n個方程的n元奇次線性方程組有非零解的充要條件是它的系在解線性方程組時，對于齊次線性方程組，只需要把的系數(shù)矩陣化為行最簡矩陣，便能寫出該方程組的通解；對于非齊次線性方程組，只需把它的增廣矩陣化為行梯矩陣，便能根據(jù)定理3判斷該方程組是否有解；在有解的前提下，再把增廣矩陣進一步化為行最簡矩陣，便能求出它的解。求解方程組的一般步驟：222021/2/22在解線性方程組時，對于齊次線性方程組，只需要把的系數(shù)矩陣化為232021/2/22232021/2/22242021/2/22242021/2/22252021/2/22252021/2/22262021/2/22262021/2/22272021/2/22272021/2/22282021/2/22282021/2/22292021/2/22292021/2/22302021/2/22302021/2/22第四節(jié)應用舉例312021/2/22第四節(jié)應用舉例312021/2/22習題課一、需要掌握的基本知識點(1)矩陣的概念以及運算（矩陣與矩陣相乘）矩陣乘法不滿足交換律，也不滿足消去律。(2)矩陣的轉(zhuǎn)置（對稱矩陣與反對稱矩陣）(AB)T=BTAT(3)方陣的行列式(4)逆矩陣的定義及性質(zhì)方陣A可逆A0;R(A)=n;AB=E或BA=EA可以表示為初等矩陣的乘積

A等價于單位矩陣322021/2/22習題課一、需要掌握的基本知識點(4)逆矩陣的定義及性質(zhì)322一、需要掌握的基本知識點(5)伴隨矩陣及其性質(zhì)(6)分塊矩陣（分塊對角矩陣）(7)初等矩陣332021/2/22一、需要掌握的基本知識點(6)分塊矩陣（分塊對角矩陣）332一、需要掌握的基本知識點(8)線性方程組的解的判定（非齊次線性方程組與齊次線性方程組).342021/2/22一、需要掌握的基本知識點342021/2/22謝謝大家！

結(jié)語352021/2/22謝謝大家！結(jié)語352021/2/22第三章矩陣秩與線性方程組第三章矩陣秩與線性方程組第三章矩陣秩與線性方程組第三章矩陣的秩與線性方程組矩陣是線性代數(shù)的一個主要研究對象，也是數(shù)學上的一個重要工具。矩陣的應用已經(jīng)滲透到了包括自然科學、人文科學、社會科學在內(nèi)的各個領(lǐng)域。在矩陣理論中，矩陣的運算起著重要的作用，本章主要討論有關(guān)矩陣運算的一些基本規(guī)則與技巧。2362021/2/22第三章矩陣秩與線性方程組第三章矩陣秩與線性方程組第三章矩陣秩第三章矩陣的秩與線性方程組矩陣是線性代數(shù)的一個主要研究對象，也是數(shù)學上的一個重要工具。矩陣的應用已經(jīng)滲透到了包括自然科學、人文科學、社會科學在內(nèi)的各個領(lǐng)域。在矩陣理論中，矩陣的運算起著重要的作用，本章主要討論有關(guān)矩陣運算的一些基本規(guī)則與技巧。372021/2/22第三章矩陣的秩與線性方程組矩陣是線性代數(shù)的一個主要研究對§3.2

線性方程組解的判定§3.1

矩陣的秩§3.3

分塊矩陣的初等變換及其應用(*)§3.4

應用舉例382021/2/22§3.2線性方程組解的判定§3.1矩陣的秩§3.3第一節(jié)矩陣的秩定義1：在m×n階矩陣A中，任取k行與l列(k≤m，l≤n)，位于這些行列交叉點處的k×l個元素按照原來相對順序所構(gòu)成的矩陣稱為矩陣A的k×l

子矩陣，當k和l相等時,此子矩陣為k階方陣，其行列式稱為矩陣A的一個k階子式。

中取1，2，3行和1，2，4列交叉處的元構(gòu)成的三階子式為：392021/2/22第一節(jié)矩陣的秩定義1：在m×n階矩陣A中，任取k行與l列(k

m×n階矩陣A中的k階子式共有個。定義2:

如果在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且所有r＋1階子式(如果存在的話)全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣的秩。記作R(A)。同時規(guī)定，零矩陣的秩等于0。由定義可得：（1）若矩陣A有一個r階子式不等于零，則R(A)r（2）若矩陣A的所有r+1階子式全為零，則R(A)r

(3)對任意m×n矩陣A,必有R(A)=R(AT)（4）矩陣A的秩既不會超過它的行數(shù)，又不會超過它的

列數(shù)，即R(Am×n)minm,n}(5)若矩陣B是矩陣A的子矩陣,則R(B)R(A)（6）對n階方陣A=(aij),若aij0，則R(A)=n，稱A為

滿秩矩陣(可逆矩陣)，若aij=0,則R(A)<n,稱A為降秩矩陣(不可逆矩陣)。402021/2/22m×n階矩陣A中的k階子式共有個。由

由行列式性質(zhì)可知，在A中當所有r＋1階子式全等于零時，所有高于r＋1階的子式也全等于零，因此A的秩R(A)就是A中不等于零的子式的最高階數(shù)(根據(jù)按行、按列展開即可證明）

行階梯形矩陣的秩等于其非零行的行數(shù)。定理：初等變換不改變矩陣的秩。證明：設(shè)R(A)=r，且A的某個r階子式Dr0.而所有的

r+1階子式Dr+1=0,若A經(jīng)過一次行的初等變換變?yōu)锽

1、則B的子式與A的相應子式或相等或只差一個符號，故有R(A)=R(B);2、矩陣B的子式或者是A的相應子式的k倍，或是相等，固有R(A)=R(B);412021/2/22由行列式性質(zhì)可知，在A中當所有r＋1階子式全等于零時，其中M1就是矩陣A的一個r+1階子式，故M1=0，M2是矩陣A的一個含第j行元的r+1階子式經(jīng)與若干行對換后得到的行列式，故M2=0，所以Dr+1=0.無論是以上何種情形，矩陣B的r+1階子式都等于0，所以有R(B)≤r=R(A)422021/2/22其中M1就是矩陣A的一個r+1階子式，故M1=0，M2是矩陣以上證明了A經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锽時，有R(B)≤R(A).由于B也可經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锳，那么同樣有R(B)≥R(A).所以有

R(A)＝R(B).經(jīng)一次行初等變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次行的初等變換矩陣的秩也不變。推論:設(shè)A是任一m×n矩陣,P,Q分別是m階,n階可逆(滿秩)矩陣,則必有

R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)上面的定理給出了求矩陣的秩的一種常用辦法。即就是對待求秩的矩陣進行行的初等變換化為行階梯矩陣，那么非零行的行數(shù)就是矩陣的秩。432021/2/22以上證明了A經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锽時，有R(B)

以上證明了A經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锽時，有R(B)≤R(A).由于B也可經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锳，那么同樣有R(B)≥R(A).所以有

R(A)＝R(B).經(jīng)一次行初等變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次行的初等變換矩陣的秩也不變。442021/2/22以上證明了A經(jīng)過一次行初等變換變?yōu)锽時，有R(B)452021/2/22102021/2/22462021/2/22112021/2/22472021/2/22122021/2/22482021/2/22132021/2/22

矩陣秩的性質(zhì):(1)0R(Am×n)min{m,n};(2)R(A)=R(AT);(3)設(shè)k是不為零的數(shù),則R(kA)=R(A);(4)若矩陣P,Q可逆,則R(PA)=R(AQ)=R(PAQ);(5)max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)+R(B);(6)R(A+B)R(A)+R(B);(7)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,則

R(AB)min{R(A),R(B)};(8)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,則

R(AB)R(A)+R(B)-n;(9)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,且AB=0,則

R(A)+R(B)n;492021/2/22矩陣秩的性質(zhì):142021/2/22

(5)max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)+R(B);

證明:因為A或B的最高階非零子式總是矩陣(A,B)的非零子式,所以

max{R(A),R(B)}R(A,B)設(shè)R(A)=r,R(B)=s,由第1章中的定理1.5可知,存在可逆矩陣P1,P2,使得AT=P1U1,BT=P2U2,其中U1,U2分別是矩陣AT與BT的行最簡形,且R(A)=R(AT)=R(U1)=U1的非零行數(shù)為r,R(B)=R(BT)=R(U2)=U2的非零行數(shù)為s,于是502021/2/22(5)max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A

(6)R(A+B)R(A)+R(B);

證明:將矩陣A,B按列分塊為A=(1,2,…n),B=(1,2,…n),從而

即矩陣(A+B,B)與矩陣(A,B)等價.由定理得R(A+B,B)=R(A,B),因此

R(A+B)R(A+B,B)=R(A,B)

R(A)+R(B);(7)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,則R(AB)min{R(A),R(B)};

證明:因為由性質(zhì)(2)及上式又可得,512021/2/22(6)R(A+B)R(A)+R(B);證明:將矩陣A,(8)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,則R(AB)R(A)+R(B)-n;

證明:設(shè)R(B)=r,由第一章定理可知,存在m階可逆矩陣P和s階可逆矩陣Q,使得由性質(zhì)1,4,5有記AP=(P1,P2),其中P1為m×r矩陣,它是矩陣(AP)的前r列,P2為m×(n-r)矩陣,它是矩陣(AP)的后(n-r)列,則該不等式稱為西爾維斯特不等式522021/2/22(8)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,則R(AB)R第二節(jié)線性方程組解的判定問題1:線性方程組有解的充要條件問題2：如何求解？（無窮解，唯一解以及無解）設(shè)有線性方程組：它的系數(shù)矩陣記作A=(aij)m×n，增廣矩陣記作ā＝（A:b),設(shè)R(A)=r,由前面的知識可知，r≤R(ā)≤r+1,且ā總可經(jīng)過初等行變換化為最簡梯矩陣532021/2/22第二節(jié)線性方程組解的判定問題1:線性方程組有解的充要條件設(shè)有于是線性方程組可以化為：由上述方程組可知：1、當dr+10即R(A)R(ā)時,原方程組無解；2、當dr+1＝0即R(A)＝R(ā)時,

原方程組有解。（1）若r=n，則方程組的解為

（2）若r<n，則方程組變?yōu)椋哼@說明，任意給定xr+1,…,xn,就唯一地確定一組x1,x2,…,xr的值，也就是給出了方程組的一組解。這樣的一組表達式，通常稱為方程組的一般解或通解，而xr+1,…,xn稱為自由變量。542021/2/22于是線性方程組可以化為：由上述方程組可知：這說明，任意給定x定理3：n元線性方程組有解的情況如下：（1）有解的充分必要條件是R(A)=R(ā).(2)有唯一解的充要條件是R(A)=R(ā)=n.(3)