基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教學(xué)理解與實(shí)踐

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研究者以2022年人教A版“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）〞為例，闡述對(duì)基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教學(xué)的理解與實(shí)踐，主張教學(xué)要基于學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與組織，用好認(rèn)知起點(diǎn)，激活思維，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)生經(jīng)驗(yàn);數(shù)學(xué)教學(xué);理解與實(shí)踐

丁益民，高級(jí)教師，全國(guó)新青年數(shù)學(xué)教師工作室創(chuàng)始人之一，主要研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教材教法研究。

XX省教育科學(xué)“十三五〞規(guī)劃課題“深度學(xué)習(xí)視域下高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐研究〞（C-c/2022/02/50）;蘇州市“十三五〞規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)中觀教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐研究〞（192110555）一般認(rèn)為，學(xué)生最有效的學(xué)習(xí)是在原有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的再建構(gòu)。奧蘇貝爾說(shuō)：“假如我不得不將所有的教育心理學(xué)原理還原為一句話的話，我將會(huì)說(shuō)，影響學(xué)習(xí)的最重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，根據(jù)學(xué)生的原有知識(shí)狀況進(jìn)行教學(xué)。〞[1]新課程改革關(guān)注學(xué)生發(fā)展，強(qiáng)調(diào)要以學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)進(jìn)行教學(xué)，真正突出學(xué)生的主體建構(gòu)。基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)，這是學(xué)習(xí)建構(gòu)本質(zhì)的要求。在理念上，我們都認(rèn)同經(jīng)驗(yàn)的重要性，在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)時(shí)也強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)。但在實(shí)際教學(xué)中，好多教師對(duì)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)并沒(méi)有給予足夠的重視，現(xiàn)實(shí)的課堂脫離學(xué)生實(shí)際的現(xiàn)象還十分普遍，這反映出好多教師對(duì)經(jīng)驗(yàn)問(wèn)題缺少足夠的認(rèn)知。

一、基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)內(nèi)涵闡述

數(shù)學(xué)教學(xué)是學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)交織遞進(jìn)中發(fā)展和深化數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)理解的過(guò)程。學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)，是具體數(shù)學(xué)內(nèi)容、活動(dòng)和經(jīng)驗(yàn)三個(gè)基本因素相互作用下，產(chǎn)生動(dòng)作技能性經(jīng)驗(yàn)、情感表達(dá)性經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)等構(gòu)成的整體，我們可用數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)直觀模型圖（如圖1）加以表征。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)形式上就是由這三維坐標(biāo)構(gòu)成的元素“點(diǎn)〞的集合體[2]。

從學(xué)生層面來(lái)看，在學(xué)習(xí)之初學(xué)生已有三種經(jīng)驗(yàn)，即原有學(xué)習(xí)方法的經(jīng)驗(yàn)、已習(xí)得知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)和生活的經(jīng)驗(yàn)。每個(gè)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)都存在著差異，在學(xué)習(xí)方法上也會(huì)形成特性獨(dú)特的風(fēng)格，這些都將不斷地內(nèi)化為他們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)體系，并且這些經(jīng)驗(yàn)在適當(dāng)?shù)那榫持锌梢约ぐl(fā)出來(lái)。學(xué)生每學(xué)習(xí)一個(gè)新知識(shí)，都將為后續(xù)學(xué)習(xí)積累知識(shí)結(jié)構(gòu)上的經(jīng)驗(yàn)。這些經(jīng)驗(yàn)通過(guò)思維活動(dòng)、表征活動(dòng)、同化順應(yīng)活動(dòng)等形成新的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)（如圖2）。另外，學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)有三種狀況：一是學(xué)生已具備的豐富經(jīng)驗(yàn)，只需要教師加以點(diǎn)撥，就能幫助他們“喚醒〞;二是學(xué)生有了一定的經(jīng)驗(yàn)，但還不足以達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)，需要教師“加固〞他們的經(jīng)驗(yàn);三是學(xué)生缺少相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，需要教師提供新的經(jīng)驗(yàn)或?yàn)閷W(xué)生提供獲取新經(jīng)驗(yàn)的機(jī)遇。一般地，在不同背景下，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)狀況會(huì)有所不同，應(yīng)根據(jù)不同的目標(biāo)需求設(shè)計(jì)活動(dòng)，并形成新的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)。

從教師角度來(lái)看，分析學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)是教學(xué)設(shè)計(jì)的第一步，只有充分了解學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，才能有針對(duì)性地安排教學(xué)活動(dòng)。在設(shè)計(jì)和組織教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)充分考慮學(xué)生已具備哪些經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)處于何種狀態(tài)等，以便找到學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)〞，讓新知的學(xué)習(xí)能更好地納入學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。因此，教師要以學(xué)生經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，設(shè)計(jì)合理的活動(dòng)，為學(xué)生提供更多的機(jī)遇進(jìn)行觀測(cè)、試驗(yàn)、思考、內(nèi)化、反思等。筆者以2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）〞教學(xué)為例，對(duì)基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行研究。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）對(duì)接經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)情境

情境1：蘇州金雞湖摩天輪。

提出問(wèn)題：摩天輪在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，每個(gè)座艙距離地面的高度與時(shí)間存在什么樣的函數(shù)關(guān)系？

情境2：如圖3，筒車(chē)是中國(guó)古代發(fā)明的一種澆灌工具，它省時(shí)、省力、環(huán)保、經(jīng)濟(jì)，現(xiàn)代農(nóng)村還在大量使用。明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》用圖4描繪了人們利用筒車(chē)的圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行澆灌的工作原理。

設(shè)計(jì)意圖：教師運(yùn)用身邊的生活情境和數(shù)學(xué)史料，引導(dǎo)學(xué)生與已有的生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)接，進(jìn)入情境的表征活動(dòng)中，讓學(xué)生自然而然地產(chǎn)生認(rèn)知需求，在熟悉的情境中激發(fā)生活經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)生認(rèn)知驅(qū)動(dòng)力。

（二）運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)，抽象模型

為了更好地研究問(wèn)題，教師將情境1和情境2中的問(wèn)題改編為以下數(shù)學(xué)問(wèn)題。

如圖5，假設(shè)筒車(chē)的直徑是10m，筒車(chē)距離水面最高的高度為8m，該筒車(chē)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一圈需3min。那么，你能用一個(gè)適合的函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)筒車(chē)上某一個(gè)盛水筒P距離水面高度H隨時(shí)間t（min）的關(guān)系嗎？

問(wèn)題1：如何研究這個(gè)問(wèn)題？

教師引導(dǎo)學(xué)生建立適合的直角坐標(biāo)系（如圖6），將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化。

活動(dòng)：請(qǐng)根據(jù)數(shù)據(jù)寫(xiě)出問(wèn)題中的數(shù)學(xué)模型y=5sin（120t+φ）+3，其中φ表示剛開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的初始角，它與選取的初始位置有關(guān)。

問(wèn)題2：上述函數(shù)表達(dá)式為何不加絕對(duì)值？

該問(wèn)題的提出旨在讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，這里的“高度〞其實(shí)類(lèi)似于之前他們學(xué)習(xí)正負(fù)數(shù)時(shí)的“海拔〞一樣也有正負(fù)之分。

設(shè)計(jì)意圖：該教學(xué)環(huán)節(jié)是運(yùn)用已有的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行新的建構(gòu)活動(dòng)，即通過(guò)建立直角坐標(biāo)系將實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，進(jìn)而抽象出函數(shù)模型，為學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。教師要喚醒學(xué)生大腦中已具備的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)下進(jìn)行熟悉的認(rèn)知活動(dòng)，這樣才可能讓學(xué)生進(jìn)行自主建構(gòu)。

（三）借鑒經(jīng)驗(yàn)，啟發(fā)思考

將上述模型一般化后得到本節(jié)課要學(xué)習(xí)的函數(shù)模型：y=Asin（ωx+φ）。

問(wèn)題3：如何研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ對(duì)該函數(shù)圖象的影響？

問(wèn)題4：在之前的學(xué)習(xí)中，我們用怎樣的經(jīng)驗(yàn)來(lái)研究類(lèi)似的問(wèn)題呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中研究的二次函數(shù)y=x2與y=a（x-h）2+k（a≠0）的關(guān)系，采用從特別到一般和操縱變量的方法進(jìn)行研究（如圖7）。

不妨先研究φ對(duì)圖象的影響。為了便于研究，我們可以取特別的φ值（如φ=π6）進(jìn)行研究，研究路線如下（如圖8）。

問(wèn)題5：根據(jù)上面的探究，你能歸納出φ對(duì)函數(shù)y=sin（x+φ）圖象的影響的一般化結(jié)論嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探討研究后，用課件出示以下內(nèi)容。

一般地，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的起始位置P0對(duì)應(yīng)的角為φ時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=sin（x+φ）（φ≠0），將正弦曲線上所有的點(diǎn)向左（φ>0）或向右（φ0）對(duì)y=sin（ωx+φ）圖象的影響嗎？

問(wèn)題7：根據(jù)上面的探究，你能歸納出參數(shù)ω對(duì)函數(shù)y=sin（ωx+φ）圖象的影響的一般化結(jié)論嗎？

問(wèn)題8：你能用學(xué)得的經(jīng)驗(yàn)研究參數(shù)A對(duì)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響嗎？

問(wèn)題9：根據(jù)上面的探究，你能歸納出參數(shù)A對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響的一般化結(jié)論嗎？

問(wèn)題10：通過(guò)對(duì)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勎覀冇檬裁捶椒ㄑ芯亢瘮?shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象？你學(xué)到了什么研究經(jīng)驗(yàn)？

課后探究：你還能重新選擇A，ω，φ的研究順序來(lái)探究它們對(duì)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響嗎？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}6～問(wèn)題9是一致經(jīng)驗(yàn)下的同構(gòu)認(rèn)知活動(dòng)，是認(rèn)知的同化與順應(yīng)活動(dòng)，而且這樣的過(guò)程還可以延展到課后進(jìn)一步探究，這對(duì)建構(gòu)學(xué)生完整、規(guī)律連貫的認(rèn)知過(guò)程十分有必要。

三、反思認(rèn)識(shí)

（一）找準(zhǔn)經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)，整體把握內(nèi)容

數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)不是孤立存在的，任何新知都是基于舊知生成，找準(zhǔn)新知與舊知的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，讓學(xué)生在似曾相識(shí)中對(duì)舊知進(jìn)行回想，對(duì)新知進(jìn)行建構(gòu)，主動(dòng)實(shí)現(xiàn)舊知與新知的規(guī)律關(guān)聯(lián)。因此，確切把握學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)是實(shí)施基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)前提，教師應(yīng)努力找準(zhǔn)知識(shí)起點(diǎn)，用好經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)，激活學(xué)生思維。在本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等基本函數(shù)的概念、性質(zhì)及圖象等，這是本節(jié)課的知識(shí)起點(diǎn);學(xué)生已經(jīng)把握了研究函數(shù)的“基本套路〞（從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出函數(shù)模型→對(duì)函數(shù)模型進(jìn)行定義→研究函數(shù)模型的性質(zhì)與圖象→應(yīng)用函數(shù)模型解決問(wèn)題），這是本節(jié)課的經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn);也逐步感悟到認(rèn)識(shí)對(duì)象的過(guò)程都是從具體到繁雜的過(guò)程（即從初等基本函數(shù)到繁雜函數(shù)），這是本節(jié)課的思維起點(diǎn)。之前的認(rèn)知線路是以“刻畫(huà)周期性現(xiàn)象的函數(shù)模型〞這一核心任務(wù)展開(kāi)的（如圖9）。[3]而且學(xué)生從初中到學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容之前，學(xué)會(huì)了用已學(xué)的初等基本函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)范式去研究更為繁雜的函數(shù)，然后又從繁雜函數(shù)“退化〞到簡(jiǎn)單函數(shù)，這樣從簡(jiǎn)單到繁雜，再?gòu)姆彪s到簡(jiǎn)單的雙向認(rèn)知過(guò)程是認(rèn)識(shí)函數(shù)主要的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

從這個(gè)角度看，基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)表達(dá)了單元教學(xué)的特質(zhì)，將單元中具有一致或相像活動(dòng)過(guò)程作為“經(jīng)驗(yàn)單元〞不斷地重復(fù)激活，運(yùn)用一致或類(lèi)似經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行系統(tǒng)的認(rèn)知活動(dòng)，讓單元知識(shí)在已有活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的指引下不斷地同化、調(diào)整、豐富或重構(gòu)，最終形成穩(wěn)定穩(wěn)固的知識(shí)結(jié)構(gòu)留在大腦中。這樣的認(rèn)知過(guò)程表達(dá)了經(jīng)驗(yàn)的整體性和單元教學(xué)的規(guī)律連貫性。

（二）實(shí)現(xiàn)承上啟下，促進(jìn)自主建構(gòu)

研究說(shuō)明，學(xué)生是基于已有知識(shí)去建構(gòu)和理解新知識(shí)的，每一個(gè)新經(jīng)驗(yàn)都有過(guò)往經(jīng)驗(yàn)的成分，同時(shí)也會(huì)影響和改變后續(xù)經(jīng)驗(yàn)[4]。因此，在教學(xué)時(shí)，教師既要考慮到此次活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的起點(diǎn)是什么，還要考慮到此次活動(dòng)為后續(xù)學(xué)習(xí)留下哪些有價(jià)值的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這就是經(jīng)驗(yàn)的承上啟下。本節(jié)課中，在研究參數(shù)對(duì)圖象影響的探究方式上，借鑒研究函數(shù)y=a（x-h）2+k圖象的變化規(guī)律與y=x2圖象產(chǎn)生聯(lián)系的經(jīng)驗(yàn)，自然遷移到將函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象產(chǎn)生同化與順應(yīng)。在具體研究參數(shù)對(duì)圖象的影響時(shí)，既考慮到初中已學(xué)二次函數(shù)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)[如參數(shù)a對(duì)y=a（x-h）2+k圖象開(kāi)口大小的影響]，又考慮到當(dāng)前活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)對(duì)后面學(xué)習(xí)其他參數(shù)時(shí)所起的思維示范作用。換言之，只要將參數(shù)φ這一探究活動(dòng)講到位，學(xué)生就可以在研究其他參數(shù)時(shí)進(jìn)行自主建構(gòu)。一般情形下，經(jīng)驗(yàn)具有一定的連續(xù)性和可復(fù)制性。在設(shè)計(jì)活動(dòng)時(shí)，教師要運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)的連續(xù)性和可復(fù)制性引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行相像的建構(gòu)與理解，讓學(xué)生在一定思維范式的引領(lǐng)下進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)的對(duì)接和思維的聯(lián)結(jié)，實(shí)現(xiàn)自主建構(gòu)。

（三）重構(gòu)原有經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知提升

假如在教學(xué)中不去關(guān)注學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)（有些可能是不好的或不恰當(dāng)?shù)慕?jīng)驗(yàn)），那么原有經(jīng)驗(yàn)和新知識(shí)的學(xué)習(xí)就可能發(fā)生沖突，對(duì)新知識(shí)的建構(gòu)就會(huì)形成阻礙。教師在教學(xué)中關(guān)注學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)他們?nèi)ンw會(huì)和認(rèn)識(shí)原有經(jīng)驗(yàn)中出現(xiàn)偏差或錯(cuò)誤的原因，不僅能很好地建構(gòu)新知識(shí)，而且還能使原有不完整或錯(cuò)誤的經(jīng)驗(yàn)成為促進(jìn)學(xué)習(xí)的積極因素。譬如本節(jié)課在研究參數(shù)φ對(duì)圖象的影響時(shí)，學(xué)生很可能受初中“左加右減〞口訣的影響，這種口訣式的“經(jīng)驗(yàn)〞是非理性的，也是短淺和機(jī)械的。只有引導(dǎo)學(xué)生分析圖象變換的本質(zhì)才是可靠的，要讓他們知道是點(diǎn)的變化才引起圖象的變化，點(diǎn)的變換是圖象變換的關(guān)鍵，尋覓到圖象變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，將認(rèn)知活動(dòng)的重心聚焦在變換前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系上。這樣的活動(dòng)自然成為后面認(rèn)識(shí)其他參數(shù)時(shí)的先行組織者。數(shù)學(xué)活動(dòng)中那些具體數(shù)學(xué)規(guī)律（如本節(jié)課中參數(shù)對(duì)函數(shù)影響的