非線性彈性本構(gòu)關(guān)系全量型增量型③彈塑性本構(gòu)課件

①線彈性本構(gòu)關(guān)系：虎克定律②非線性彈性本構(gòu)關(guān)系：

全量型：

增量型：③彈塑性本構(gòu)關(guān)系：

變形理論：簡稱為彈塑性小變形理論

增量理論：用增量形式描述材料處于塑性狀態(tài)時的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系④損傷本構(gòu)關(guān)系⑤其它本構(gòu)理論：粘彈性與粘塑性本構(gòu)關(guān)系、內(nèi)時理論一、本構(gòu)關(guān)系分類:typesofconstitutivelaws

各類本構(gòu)關(guān)系的理論基礎(chǔ)不同，表達(dá)形式多樣，計算結(jié)果差別較大。尚無通用的混凝土本構(gòu)模型。實際工程中應(yīng)用廣泛的還是源自試驗、滿足計算精度要求、形式簡明和使用方便的非線彈性本構(gòu)模型。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresNonlinearanalysisofconcretestructures①線彈性本構(gòu)關(guān)系：虎克定律一、本構(gòu)關(guān)系分類:types⑴用與工程結(jié)構(gòu)相同的混凝土，通過棱柱體試件試驗測定；⑵選定適合該結(jié)構(gòu)的本構(gòu)模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式中的參數(shù)由少量試驗標(biāo)定；⑶采用經(jīng)過試驗驗證或工程經(jīng)驗證明可行的具體本構(gòu)（數(shù)學(xué)）模型?；炷敛牧鲜┕すに嚭唾|(zhì)量控制不夠精細(xì)，混凝土力學(xué)試驗結(jié)果變異性和離散度較大。結(jié)構(gòu)分析的本構(gòu)關(guān)系應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)重要性、計算精度、試驗條件等慎重地選擇。

二、確定本構(gòu)關(guān)系的三種方法：NonlinearanalysisofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve⑴用與工程結(jié)構(gòu)相同的混凝土，通過棱柱體試件試驗測定；

三、常用鋼筋、混凝土本構(gòu)關(guān)系有：

（1）混凝土的單軸受壓和受拉應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；

（2）混凝土多軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；

（3）多種環(huán)境和受力條件下的混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，包括反復(fù)加卸載，多次重復(fù)荷載（疲勞），快速（毫秒或微秒級）加載和變形，高溫（＞l00oC）和低溫＜0oC）狀況下的加卸載，……；（4）與時間有關(guān)的混凝土受力性能，如徐變（松弛）、收縮、……；NonlinearanalysisofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve

（6）鋼筋和混凝土界面的粘結(jié)應(yīng)力-相對滑移（τ-s）關(guān)系，包括單調(diào)和反復(fù)荷載作用；（7）構(gòu)件（截面）單調(diào)加載下的彎矩-曲率關(guān)系，在（地震）反復(fù)荷載下的彎矩-曲率恢復(fù)力模型；（8）二維和三維鋼筋混凝土有限單元的各種本構(gòu)關(guān)系，如分離式、組合式或整體式模型，以及鋼筋和混凝土界面的聯(lián)結(jié)單元模型等。

（5）鋼材（筋）的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和反復(fù)應(yīng)力作用的Bauschinger效應(yīng)；

各種非線性本構(gòu)關(guān)系的理論概念、數(shù)學(xué)表達(dá)式和計算參數(shù)取值等差別較大，計算結(jié)果也不相同。進(jìn)行結(jié)構(gòu)非線性分析時，應(yīng)慎重選擇混凝土本構(gòu)模型，重要結(jié)構(gòu)應(yīng)進(jìn)行理論的或試驗的驗證。三、常用鋼筋、混凝土本構(gòu)關(guān)系有：（1）混凝土的單軸受NonlinearAnalysisofConcreteStructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve3.1混凝土軸壓應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€(Stress-straincurve

of

concreteincompression)Innonlinearanalysisofreinforcedconcretestructures,constitutivelawofmaterialisaveryimportantphysicalrelationship.testingstress-straincurveofconcretecolumnundercompressionNonlinearAnalysisofConcreteStress-straincurveofconcreteincompressionisdescribedwithnon-dimentionalcoordinatesas(將混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€用無量綱坐標(biāo)表示)：Thecoordinateatpeakpoint(1,1)isplotedasleftcurve繪制峰點坐標(biāo)為（1，1）的標(biāo)準(zhǔn)曲線如圖Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.1混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€(Stress-straincurve

of

concreteincompression)Stress-straincurveofconcre下降段曲線可無限延長，收斂于橫坐標(biāo)軸，但不相交Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures下降段曲線可無限延長，收斂于橫坐標(biāo)軸，但不相交Chapter清華大學(xué)教授過鎮(zhèn)海建議分段式曲線方程：上升段⑴式滿足條件1、2、3、7，下降段⑵式滿足條件3～7。⑴⑵將條件1和3中的三個邊界條件代入⑴式，可解得：式中的獨立參數(shù)a1可從式⑴知，當(dāng)x=0時，dy/dx=a1，從各符號的定義可得：Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures清華大學(xué)教授過鎮(zhèn)海建議分段式曲線方程：上升段⑴式滿足條件1、式中：混凝土的初始切線彈性模量（N/mm2）。棱柱體抗壓強度和峰值應(yīng)變的比值，即峰值割線模量N/mm2αa=a1，規(guī)范稱之為曲線上升段參數(shù)。物理意義：混凝土的初始切線模量與峰值割線模量之比E0/Ep上升段曲線方程為：上升段曲線方程，滿足條件7，由條件2的不等式，可得αa值的范圍：⑶Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures式中：混凝土的初始切線彈性模量（N/mm2）。棱柱體抗壓強度上升段理論曲線隨參數(shù)αa的變化：αa＞3，曲線局部y＞1，顯然違背試驗結(jié)果；1.1＜αa＜1.5，曲線的初始段（x＜0.3）內(nèi)有拐點，單曲度不明顯，在y≤0.5～0.6范圍內(nèi)接近一直線；αa＜1.1，上升段曲線上拐點inflexion明顯，與混凝土材性不符。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures上升段理論曲線隨參數(shù)αa的變化：αa＞3，1.1＜αa＜1.⑴⑵下降段曲線方程含三個參數(shù)，將條件3的兩個邊界條件代入，可解得：式中b0為獨立參數(shù)，規(guī)范稱其為下降段參數(shù)，即αd=b0將其代入⑵式，并簡化可得：⑷Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures⑴⑵下降段曲線方程含三個參數(shù)，將條件3的兩個邊界條件代入，上式滿足條件6、7。⑷上式滿足條件6、7。⑷可解得拐點inflexion位置xD（＞1.0）此外，由數(shù)學(xué)條件4滿足：同理，由數(shù)學(xué)條件5滿足：可解得最大曲率點pointofthemaximumcurvature的位置xE＞xDChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures可解得拐點inflexion位置xD（＞1.0）此外，由數(shù)學(xué)下降段曲線上兩個特征點D、E的位置隨參數(shù)αd值而變化，按式計算結(jié)果如圖，與試驗數(shù)據(jù)一致Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures下降段曲線上兩個特征點D、E的位置隨參數(shù)αd值而變化，按式se0.5fc5~10次εceεcp初始彈性模量測定方法testingmethodofelasticmodulusChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresse0.5fc5~10次εceεcp初始彈性模量測定方對參數(shù)取αa和αd賦予不等的數(shù)值，可得變化的理論曲線。對不同強度等級的結(jié)構(gòu)混凝土或約束混凝土，選用合適的參數(shù)值，可得到與試驗結(jié)果相符的理論曲線。過鎮(zhèn)海等建議的參數(shù)值見上表。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures對參數(shù)取αa和αd賦予不等的數(shù)值，可得變化的理論曲線。對混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變試驗曲線的數(shù)學(xué)函數(shù)曲線有：多項式、指數(shù)式、三角函數(shù)、有理分式、分段式等Compressivestress-strainrelationofconcrete混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變試驗曲線的數(shù)學(xué)函數(shù)曲線有：多項式、指數(shù)式對于曲線的上升段和下降段，有的用統(tǒng)一方程，有的則給出分段公式。其中比較簡單、實用的曲線形式如圖。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures對于曲線的上升段和下降段，有的用統(tǒng)一方程，有的則給出分段公式3.2.1用于非線性分析的曲線方程Curveequationfornonlinearanalysis混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范建議的混凝土單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€方程：式中的縱、橫坐標(biāo)改為：式中：fc＊—混凝土的單軸（即軸心）抗壓強度（N/mm2），應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)分析方法和極限狀態(tài)驗算的需要，分別取為標(biāo)準(zhǔn)值fck、設(shè)計值fc或平均值fcm；

εc—

與fc＊相應(yīng)的峰值壓應(yīng)變。⑶⑷3.2混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中的曲線方程和參數(shù)CurveequationandparameterindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.2.1用于非線性分析的曲線方程Curveequatεc按下式計算：Ascendingcurveanddescendingcurve：Fordescendingcurveofstress-strain,whenstressreducedto0.5fc＊，thecompressivestrainissolvedfromfunction(4):

在應(yīng)力-應(yīng)變曲線的下降段上，當(dāng)應(yīng)力（殘余強度）減至0.5fc＊時，所對應(yīng)的壓應(yīng)變?yōu)棣舥。其值可由解得：分析或驗算結(jié)構(gòu)構(gòu)件時，混凝土的單軸壓應(yīng)變不宜超過值εu。⑷3.2混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中的曲線方程和參數(shù)值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresεc按下式計算：Ascendingcurveandde

按上述公式計算隨混凝土抗壓強度而變化的各項參數(shù)值，經(jīng)整理后如表將這些參數(shù)帶入式⑶、⑷即得混凝土單軸（軸心）受壓應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€。1.81.81.91.92.02.12.32.63.04.23.002.742.482.211.941.651.361.060.740.411.651.711.781.841.901.962.032.092.152.21203019801920185017901720164015601470137060555045403530252015混凝土單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線的參數(shù)值混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范附錄C明確指出，公式的適用條件是：C15～C80，質(zhì)量密度（2200～2400）kg/m3，正常溫、濕度環(huán)境和加載速度等。當(dāng)結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的受力狀態(tài)或環(huán)境條件不符合此要求時，例如混凝土受有橫向和縱向應(yīng)變梯度、箍筋約束作用、重復(fù)加卸載、持續(xù)荷載或快速加載，高溫作用、……等因素的影響時，應(yīng)力-應(yīng)變曲線方程的各參數(shù)值應(yīng)適當(dāng)修正。3.2混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中的曲線方程和參數(shù)值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures按上述公式計算隨混凝土抗壓強度而變化的各項參數(shù)值，經(jīng)3.2.2compressivestress-straincurveofconcreteforultimatecapacityanalysisofbendingmember受彎構(gòu)件、偏心受壓構(gòu)件和大偏心受拉構(gòu)件，正截面混凝土將出現(xiàn)不均勻壓應(yīng)力。計算正截面極限承載力時，中國規(guī)范采用的混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線方程為：上升段：下降段：取曲線方程可改寫為3.2混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中的曲線方程和參數(shù)值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.2.2compressivestress-strai《規(guī)范》混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線參數(shù)fcu≤C50C60C70C80n21.8331.6671.5e00.0020.002050.00210.00215eu0.00330.00320.00310.003上升段：下降段：Factorsofstress-straincurvesofcompressiveconcretefromChinesecode≯2.0≮0.002≯0.0033NonlinearAnalysisofConcreteStructures《規(guī)范》混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線參數(shù)fcu≤C50C60C70CDifferenceoftwotypesofstress-straincurves：00.0020.0033

fcsee0ecu3.2混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中的曲線方程和參數(shù)值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresDifferenceoftwotypesofstr3.3.1.stress-straincurvebyHognestadChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3其它受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線othercompressivestress-straincurves3.3.1.stress-straincurvebyH3.3.2.CEB-FIPmodelcodesuggested——混凝土抗壓強度平均值--為初始彈模Ec--為相應(yīng)于峰值點的割線模量式中，

式中，Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3其它受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線othercompressivestress-straincurves3.3.2.CEB-FIPmodelcodesugg3.3.3SaenzfunctionandmodifyedfunctionSaenzfunctionModifyedElwiandMurrayfunction，由邊界條件：：3.3其它受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線方程Curveequationofothercompressivestress-strainrelationshipChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3.3Saenzfunctionandmodif3.3.4Simulationofstress-straincurvewithcubicpolynomialfunctionCoefficients

C0,C1,C2,C3

aresolvedbyboundarycondition用邊界條件確定系數(shù)Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3其它受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線othercompressivestress-straincurves3.3.4Simulationofstress-str3.3.5箍筋約束混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線Ductilityofconcreteiswellimprovedbyclosedstirrupsb‘’——widthofrestrainedconcrete； s——ratioofstirrupsareaandrestrainedconcreteareaSh——distancebetweentwostirrups

Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3其它受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線othercompressivestress-straincurves3.3.5箍筋約束混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線DuctilitComparisonofdifferentstress-straincurves：（1）Hongnestad和我國規(guī)范建議的計算正截面極限承載力的關(guān)系，表達(dá)式簡單，易于計算，適合工程計算；（2）CEB、Seanz和我國規(guī)范建議的用于非線性分析的關(guān)系，較符合試驗結(jié)果，適于研究分析；（3）三次多項式模擬公式既簡單，易于計算，又較精確，有廣闊的應(yīng)用前景。3.3其它受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線othercompressivestress-straincurvesChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresComparisonofdifferentstress3.4混凝土損傷應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系damagestress-strainrelationofconcreteChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures損傷：混凝土材料內(nèi)發(fā)生的不可恢復(fù)的微觀或宏觀減弱。用損傷因子D描述材料內(nèi)部原始或受力過程中的受損程度。設(shè)：軸向力作用下，A—橫截面積；AD—截面中有缺陷的面積；An=A-AD---截面中能承擔(dān)應(yīng)力的凈面積;

D—材料損傷因子為:損傷因子未受損混凝土的彈性模量由未損傷材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系：軸向力作用下的有效應(yīng)力sn為：D=0(未受損)；D=1(完全破壞)軸向力作用下的平均(名義)應(yīng)力為，有損混凝土整體彈性模量所以,3.4混凝土損傷應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系damagestress-Najar定義的損傷因子

混凝土受力狀態(tài)NonlinearAnalysisofConcreteStructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNajar能量損傷理論認(rèn)為，假設(shè)混凝土處于無損傷理想狀態(tài)下，其應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系為直線OA，則混凝無損傷狀態(tài)下所作的功為：基于能量的Najar損傷本構(gòu)關(guān)系

而混凝土實際上是處于有損傷狀態(tài)，其應(yīng)力—應(yīng)變曲線為OC，則在應(yīng)變?yōu)闀r外力所作的功為Najar定義的損傷變量為：Najar定義的損傷因子混凝土受力狀態(tài)NonlinearNajar定義的損傷因子

混凝土受力狀態(tài)本文規(guī)范建議的混凝土單軸受壓本構(gòu)關(guān)系NonlinearAnalysisofConcreteStructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve基于能量的Najar損傷本構(gòu)關(guān)系Najar定義的損傷因子混凝土受力狀態(tài)本文規(guī)范建議的混凝單調(diào)荷載下的分段曲線混凝土受壓損傷變量

混凝土受力狀態(tài)規(guī)范建議的混凝土單軸受壓本構(gòu)關(guān)系NonlinearAnalysisofConcreteStructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve由Loland損傷本構(gòu)關(guān)系模擬的有效應(yīng)力如下圖Loland損傷本構(gòu)關(guān)系單調(diào)荷載下的分段曲線混凝土受壓損傷變量混凝土受力狀態(tài)規(guī)范①線彈性本構(gòu)關(guān)系：虎克定律②非線性彈性本構(gòu)關(guān)系：

全量型：

增量型：③彈塑性本構(gòu)關(guān)系：

變形理論：簡稱為彈塑性小變形理論

增量理論：用增量形式描述材料處于塑性狀態(tài)時的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系④損傷本構(gòu)關(guān)系⑤其它本構(gòu)理論：粘彈性與粘塑性本構(gòu)關(guān)系、內(nèi)時理論一、本構(gòu)關(guān)系分類:typesofconstitutivelaws

各類本構(gòu)關(guān)系的理論基礎(chǔ)不同，表達(dá)形式多樣，計算結(jié)果差別較大。尚無通用的混凝土本構(gòu)模型。實際工程中應(yīng)用廣泛的還是源自試驗、滿足計算精度要求、形式簡明和使用方便的非線彈性本構(gòu)模型。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresNonlinearanalysisofconcretestructures①線彈性本構(gòu)關(guān)系：虎克定律一、本構(gòu)關(guān)系分類:types⑴用與工程結(jié)構(gòu)相同的混凝土，通過棱柱體試件試驗測定；⑵選定適合該結(jié)構(gòu)的本構(gòu)模型，其數(shù)學(xué)表達(dá)式中的參數(shù)由少量試驗標(biāo)定；⑶采用經(jīng)過試驗驗證或工程經(jīng)驗證明可行的具體本構(gòu)（數(shù)學(xué)）模型?；炷敛牧鲜┕すに嚭唾|(zhì)量控制不夠精細(xì)，混凝土力學(xué)試驗結(jié)果變異性和離散度較大。結(jié)構(gòu)分析的本構(gòu)關(guān)系應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)重要性、計算精度、試驗條件等慎重地選擇。

二、確定本構(gòu)關(guān)系的三種方法：NonlinearanalysisofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve⑴用與工程結(jié)構(gòu)相同的混凝土，通過棱柱體試件試驗測定；

三、常用鋼筋、混凝土本構(gòu)關(guān)系有：

（1）混凝土的單軸受壓和受拉應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；

（2）混凝土多軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；

（3）多種環(huán)境和受力條件下的混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，包括反復(fù)加卸載，多次重復(fù)荷載（疲勞），快速（毫秒或微秒級）加載和變形，高溫（＞l00oC）和低溫＜0oC）狀況下的加卸載，……；（4）與時間有關(guān)的混凝土受力性能，如徐變（松弛）、收縮、……；NonlinearanalysisofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve

（6）鋼筋和混凝土界面的粘結(jié)應(yīng)力-相對滑移（τ-s）關(guān)系，包括單調(diào)和反復(fù)荷載作用；（7）構(gòu)件（截面）單調(diào)加載下的彎矩-曲率關(guān)系，在（地震）反復(fù)荷載下的彎矩-曲率恢復(fù)力模型；（8）二維和三維鋼筋混凝土有限單元的各種本構(gòu)關(guān)系，如分離式、組合式或整體式模型，以及鋼筋和混凝土界面的聯(lián)結(jié)單元模型等。

（5）鋼材（筋）的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和反復(fù)應(yīng)力作用的Bauschinger效應(yīng)；

各種非線性本構(gòu)關(guān)系的理論概念、數(shù)學(xué)表達(dá)式和計算參數(shù)取值等差別較大，計算結(jié)果也不相同。進(jìn)行結(jié)構(gòu)非線性分析時，應(yīng)慎重選擇混凝土本構(gòu)模型，重要結(jié)構(gòu)應(yīng)進(jìn)行理論的或試驗的驗證。三、常用鋼筋、混凝土本構(gòu)關(guān)系有：（1）混凝土的單軸受NonlinearAnalysisofConcreteStructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurve3.1混凝土軸壓應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€(Stress-straincurve

of

concreteincompression)Innonlinearanalysisofreinforcedconcretestructures,constitutivelawofmaterialisaveryimportantphysicalrelationship.testingstress-straincurveofconcretecolumnundercompressionNonlinearAnalysisofConcreteStress-straincurveofconcreteincompressionisdescribedwithnon-dimentionalcoordinatesas(將混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€用無量綱坐標(biāo)表示)：Thecoordinateatpeakpoint(1,1)isplotedasleftcurve繪制峰點坐標(biāo)為（1，1）的標(biāo)準(zhǔn)曲線如圖Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.1混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€(Stress-straincurve

of

concreteincompression)Stress-straincurveofconcre下降段曲線可無限延長，收斂于橫坐標(biāo)軸，但不相交Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures下降段曲線可無限延長，收斂于橫坐標(biāo)軸，但不相交Chapter清華大學(xué)教授過鎮(zhèn)海建議分段式曲線方程：上升段⑴式滿足條件1、2、3、7，下降段⑵式滿足條件3～7。⑴⑵將條件1和3中的三個邊界條件代入⑴式，可解得：式中的獨立參數(shù)a1可從式⑴知，當(dāng)x=0時，dy/dx=a1，從各符號的定義可得：Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures清華大學(xué)教授過鎮(zhèn)海建議分段式曲線方程：上升段⑴式滿足條件1、式中：混凝土的初始切線彈性模量（N/mm2）。棱柱體抗壓強度和峰值應(yīng)變的比值，即峰值割線模量N/mm2αa=a1，規(guī)范稱之為曲線上升段參數(shù)。物理意義：混凝土的初始切線模量與峰值割線模量之比E0/Ep上升段曲線方程為：上升段曲線方程，滿足條件7，由條件2的不等式，可得αa值的范圍：⑶Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures式中：混凝土的初始切線彈性模量（N/mm2）。棱柱體抗壓強度上升段理論曲線隨參數(shù)αa的變化：αa＞3，曲線局部y＞1，顯然違背試驗結(jié)果；1.1＜αa＜1.5，曲線的初始段（x＜0.3）內(nèi)有拐點，單曲度不明顯，在y≤0.5～0.6范圍內(nèi)接近一直線；αa＜1.1，上升段曲線上拐點inflexion明顯，與混凝土材性不符。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures上升段理論曲線隨參數(shù)αa的變化：αa＞3，1.1＜αa＜1.⑴⑵下降段曲線方程含三個參數(shù)，將條件3的兩個邊界條件代入，可解得：式中b0為獨立參數(shù)，規(guī)范稱其為下降段參數(shù)，即αd=b0將其代入⑵式，并簡化可得：⑷Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures⑴⑵下降段曲線方程含三個參數(shù)，將條件3的兩個邊界條件代入，上式滿足條件6、7。⑷上式滿足條件6、7。⑷可解得拐點inflexion位置xD（＞1.0）此外，由數(shù)學(xué)條件4滿足：同理，由數(shù)學(xué)條件5滿足：可解得最大曲率點pointofthemaximumcurvature的位置xE＞xDChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures可解得拐點inflexion位置xD（＞1.0）此外，由數(shù)學(xué)下降段曲線上兩個特征點D、E的位置隨參數(shù)αd值而變化，按式計算結(jié)果如圖，與試驗數(shù)據(jù)一致Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures下降段曲線上兩個特征點D、E的位置隨參數(shù)αd值而變化，按式se0.5fc5~10次εceεcp初始彈性模量測定方法testingmethodofelasticmodulusChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresse0.5fc5~10次εceεcp初始彈性模量測定方對參數(shù)取αa和αd賦予不等的數(shù)值，可得變化的理論曲線。對不同強度等級的結(jié)構(gòu)混凝土或約束混凝土，選用合適的參數(shù)值，可得到與試驗結(jié)果相符的理論曲線。過鎮(zhèn)海等建議的參數(shù)值見上表。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures對參數(shù)取αa和αd賦予不等的數(shù)值，可得變化的理論曲線。對混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變試驗曲線的數(shù)學(xué)函數(shù)曲線有：多項式、指數(shù)式、三角函數(shù)、有理分式、分段式等Compressivestress-strainrelationofconcrete混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變試驗曲線的數(shù)學(xué)函數(shù)曲線有：多項式、指數(shù)式對于曲線的上升段和下降段，有的用統(tǒng)一方程，有的則給出分段公式。其中比較簡單、實用的曲線形式如圖。Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures對于曲線的上升段和下降段，有的用統(tǒng)一方程，有的則給出分段公式3.2.1用于非線性分析的曲線方程Curveequationfornonlinearanalysis混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范建議的混凝土單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€方程：式中的縱、橫坐標(biāo)改為：式中：fc＊—混凝土的單軸（即軸心）抗壓強度（N/mm2），應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)分析方法和極限狀態(tài)驗算的需要，分別取為標(biāo)準(zhǔn)值fck、設(shè)計值fc或平均值fcm；

εc—

與fc＊相應(yīng)的峰值壓應(yīng)變。⑶⑷3.2混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中的曲線方程和參數(shù)CurveequationandparameterindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.2.1用于非線性分析的曲線方程Curveequatεc按下式計算：Ascendingcurveanddescendingcurve：Fordescendingcurveofstress-strain,whenstressreducedto0.5fc＊，thecompressivestrainissolvedfromfunction(4):

在應(yīng)力-應(yīng)變曲線的下降段上，當(dāng)應(yīng)力（殘余強度）減至0.5fc＊時，所對應(yīng)的壓應(yīng)變?yōu)棣舥。其值可由解得：分析或驗算結(jié)構(gòu)構(gòu)件時，混凝土的單軸壓應(yīng)變不宜超過值εu。⑷3.2混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中的曲線方程和參數(shù)值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresεc按下式計算：Ascendingcurveandde

按上述公式計算隨混凝土抗壓強度而變化的各項參數(shù)值，經(jīng)整理后如表將這些參數(shù)帶入式⑶、⑷即得混凝土單軸（軸心）受壓應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€。1.81.81.91.92.02.12.32.63.04.23.002.742.482.211.941.651.361.060.740.411.651.711.781.841.901.962.032.092.152.21203019801920185017901720164015601470137060555045403530252015混凝土單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線的參數(shù)值混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范附錄C明確指出，公式的適用條件是：C15～C80，質(zhì)量密度（2200～2400）kg/m3，正常溫、濕度環(huán)境和加載速度等。當(dāng)結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的受力狀態(tài)或環(huán)境條件不符合此要求時，例如混凝土受有橫向和縱向應(yīng)變梯度、箍筋約束作用、重復(fù)加卸載、持續(xù)荷載或快速加載，高溫作用、……等因素的影響時，應(yīng)力-應(yīng)變曲線方程的各參數(shù)值應(yīng)適當(dāng)修正。3.2混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中的曲線方程和參數(shù)值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures按上述公式計算隨混凝土抗壓強度而變化的各項參數(shù)值，經(jīng)3.2.2compressivestress-straincurveofconcreteforultimatecapacityanalysisofbendingmember受彎構(gòu)件、偏心受壓構(gòu)件和大偏心受拉構(gòu)件，正截面混凝土將出現(xiàn)不均勻壓應(yīng)力。計算正截面極限承載力時，中國規(guī)范采用的混凝土受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線方程為：上升段：下降段：取曲線方程可改寫為3.2混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中的曲線方程和參數(shù)值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.2.2compressivestress-strai《規(guī)范》混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線參數(shù)fcu≤C50C60C70C80n21.8331.6671.5e00.0020.002050.00210.00215eu0.00330.00320.00310.003上升段：下降段：Factorsofstress-straincurvesofcompressiveconcretefromChinesecode≯2.0≮0.002≯0.0033NonlinearAnalysisofConcreteStructures《規(guī)范》混凝土應(yīng)力-應(yīng)變曲線參數(shù)fcu≤C50C60C70CDifferenceoftwotypesofstress-straincurves：00.0020.0033

fcsee0ecu3.2混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中的曲線方程和參數(shù)值CurveequationandparametervaluesindesigncodeofconcretestructuresChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructuresDifferenceoftwotypesofstr3.3.1.stress-straincurvebyHognestadChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3其它受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線othercompressivestress-straincurves3.3.1.stress-straincurvebyH3.3.2.CEB-FIPmodelcodesuggested——混凝土抗壓強度平均值--為初始彈模Ec--為相應(yīng)于峰值點的割線模量式中，

式中，Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3其它受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線othercompressivestress-straincurves3.3.2.CEB-FIPmodelcodesugg3.3.3SaenzfunctionandmodifyedfunctionSaenzfunctionModifyedElwiandMurrayfunction，由邊界條件：：3.3其它受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線方程Curveequationofothercompressivestress-strainrelationshipChapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitutivelawcurveNonlinearAnalysisofConcreteStructures3.3.3Saenzfunctionandmodif3.3.4Simulationofstress-straincurvewithcubicpolynomialfunctionCoefficients

C0,C1,C2,C3

aresolvedbyboundarycondition用邊界條件確定系數(shù)Chapter3

Constitutivelaw—mathematicaldescriptionofconstitu