線性代數(shù)-第三章習(xí)題

定理1：設(shè)A

為m×n

矩陣，則A

rijr

E(i,

j)AA

rik

E(i(k))

AA

rikrj

E(i,

j(k))AA

cicj

AE(i,

j)TA

cik

AE(i(k))TA

cikcj

AE(i,

j(k))T定理2：方陣A可逆的充要條件是A可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積。（結(jié)果不唯一）怎樣把一個(gè)可逆矩陣表示為初等矩陣的乘積?將A用初等行變換化為單位矩陣，并記錄每一次所用的初等變換，這相當(dāng)于在A的左邊乘一系列相應(yīng)初等矩陣，即有：Ps

P2

P1A

EsA

P

1

P

1

1

2

P

12

表示成初等矩陣之積為:1.將A

1

2 5

A

1

25

2

r2

2r1

1 2

0

1r1

2r2

1

0

0

1

1E

010

r2

2r111 0

P

2

1

1E

01

0

r1

2r221

1

2

0

P1

1 0

P1

211

1 2

P2

01A

P

1

P

11

2

2

30

1

1

1

3

4

3

3

3

5

4 1

2

3

23

4

2三、把矩陣

化為行最簡形矩陣.

31

20

31

1

1

3

4

3

3

5

42

3

23

4

2r2

3r1r3

2r1r4

3r11134304880366

0

0

00

5

10

8

0

06

0838

r2

(4)2

0

r

(3)

0

01

1

3

4

30

1

2

20

1

20

5

1084r3

r202

02

1

1

3

4

30

4

80

3

60

5

101

1

3

40

1

20

0

00

0

0r

5r

2

0

010

02

1

1

0

2

30

1

20

0

00

0

0

0

01

23

r

3r

r4

2r1

3r3r2

2r3

00

r3

r41

1

0

2 0

0

1

20

0

00

0

0

01

00

31四、用初等變換求方陣A

2

4

1

2

2

1

的逆陣.134

1

2

1

0

0A

E2

2

111

00

10

1

0

r1

r3

20

1

31

0

1

1

0

12

1

0

11

1

0

00r3

3r104r2

2r1

1

0

1

1

0

1

213

2

1

22

3

0r2

r342

01

0

1

1

0

1

0

1

2

3

02

3

2

1

A1

5

3

1

5

2

8

.

4

16

02

01

0

1

1

0

1

122

3

03

2

134

r

2r

042

01

0

1

1

0

1

1

2

3

00

1

4

16

100

01

4

1

6

1

0

0

3

1

50

5

2

8r1

r3

r2

2r33r

(1)0

1

0

5

21

0

0

3

1

58

0

0

1

4

1

6(2)R(

A)

2.(3)R(

A)

3.

k3

(1)R(A)

1.五、設(shè)A

11

2

3k

2k

3

,問k取何值時(shí),

2A

1k3

1

2

3k

2k

3

23kr2

r1r3

kr12001

2

3k

2k

22k

233k233k

3

r

r

01

22(k

1)03(k

1)

0

3(k

1)(k

2)

3k

01

22(k

1)03(k

1)

0

3(k

1)(k

2)

11

2 3

00當(dāng)k

1時(shí),

A

~

0000R

A

1.2當(dāng)k

2時(shí),

A

~

01

2

6

6

90

00當(dāng)k

1且k

2時(shí),R

A

2.3R

A

3.六、用初等變換解下列方程組,并將解寫成參數(shù)表示式和向量表示式.

x1

x2

x3

x4

05x

10x

x

5x

0

1

2

3

41.

3x1

6x2

x3

3x4

0A31

1

1

16

1

35

10

150

0

1

1

1

10

3

440

5對系數(shù)矩陣A施行初等行變換：r2

3r1r3

5r1r3

r2r3

2x1

x4

0即得與原方程組同解的方程組：x1

x42x

0x

034(x

可任意取值).234

4x

0x

0x

x1

1

10

0

3

40

1

00

1

31

r

r0

01

0

140

r2

3r3

0

10

0

10

1

00

0

0

10

21

r

(4)

1

0

1

r2

r3

r1

r31

0

0

10

1

00

0

0

10

x1

c23x

0x

0x4

c,其中c為任意實(shí)數(shù).

x1

1

x

02

c

.

x

03

x4

1(x4

可任意取值).x1

x4x2

03x

0x4

x4令

x4

c,把解寫成參數(shù)表示式和向量表示式:2x

3y

z

4x

2

y

4z

52.4x

y

9z

6對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換:3x

8

y

2z

13B

(

A,b)

4

2

1

33

1

4

2

4

5

8

2 13

1

96

r1

r224

13

3

4

1

2

4

5

3

18

21

96

24

313

4

1

2

4

5

3

18

21

96

2

1r

2rr3

3r1r4

4r1

02457714

141428

7714

0

0

1r2

7r3

144r

7

02

02

0

1

2

4

51

11

11

11

2r

2rr3

r2r4

r2

02

1

0

2

11

10

00

0

00

2

00

即得與原方程組同解的方程組：x

2z

1y

z

2x

1

2zx

2z

1y

2

zy

z

2z

z令z

c,c為任意實(shí)數(shù).x

1

2cy

2

cz

c2

1

y

c

1

2

.

x

z

1

0

2x1

x2

x3

x4

11

2

3

42x1

x2

x3

3x4

4對增廣矩陣B進(jìn)行初等變換:3x

2x

2x

3x

25x

x

x1

2

3

4

2x

1七.的解的情況.1

1

3B

(A,b)

2

1

1

1

1

32

2

3

2

5

1

1

2

1

24

3

2

1

1

1

1

23r3

r2

1

1

32

3

22

23

5

34

r2

r1

1

2

234

2

1

1

1

1

3

3

43

3

51

1

31

21

r

r

2r2

2r1r3

2r1r4

2r1

0

05

02

1

3

3

4 1

7

7

99

9

135

5

51

3

2

24

1

3

3

4 1

1

1

13

3

51

1

3

0

0

02

1

3

3

4 1

2

2

44

4

85

5

51

r2

r4r3

r43r4

r37

r3

2r20

0

1

3

3

4 1

0

12

2

4

30

0

0

1

13 9

r2

2r4

1

3

3

4 1

00

0

10

21

0

0

10

0

0

1

13

9

r2

r4r3

r41

3

9

1

3

3

4 1

0

10

0

10

210

0

0

1