初中數(shù)學(xué)培優(yōu)競(jìng)賽講座第18講-乘法公式

--乘法公式

18講第十八講乘法公式乘法公式是在多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上，將多項(xiàng)式乘法該做到以下幾點(diǎn)：熟悉每個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特征，理解掌握公式；根據(jù)待求式的特點(diǎn)，模仿套用公式；對(duì)公式中字母的全面理解，靈活運(yùn)用公式；綜合運(yùn)用公式．例題【例1】(1)已知兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差為則這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)可以是 ．(江蘇省競(jìng)賽題)(2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ．重慶市競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥(1)建立兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的方程組；(2)(2000a)注：公式是怎樣得出來(lái)的?過(guò)推導(dǎo)，得到一些新的公式；另一種是從大量的特殊的數(shù)量關(guān)系入手，并用字母表示數(shù)來(lái)揭示一類數(shù)量關(guān)系的23PAGEPAGE134】(1)xyx2y2十5＝2x4數(shù)式xy 的值． (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)xyx，y

x2y212x2

，求x+y的值． (第14屆“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)同一價(jià)格的一種商品在三個(gè)商場(chǎng)都進(jìn)行了兩次價(jià)格調(diào)整．甲商場(chǎng)：第一次提價(jià)的百分率為a提價(jià)的百分率為b，乙商場(chǎng)：兩次提價(jià)的百分率都是ab(a>0，b>o)，丙商場(chǎng)：第一次提價(jià)的百分率為b，第2二次提價(jià)的百分率為a，則哪個(gè)商場(chǎng)提價(jià)最多?說(shuō)明理由．(河北省競(jìng)賽題)思路點(diǎn)拔對(duì)于兩個(gè)未知數(shù)一個(gè)等式或不等xy和想到完全平方公式及其逆用，解題的關(guān)鍵是拆項(xiàng)與重(3)把三個(gè)商場(chǎng)經(jīng)兩次提價(jià)后的價(jià)格用代數(shù)式表示，作差比較它們的大?。ⅲ河行﹩?wèn)題常常不能直接使用公式，而需要?jiǎng)?chuàng)造的方法是：分組、結(jié)合，拆添項(xiàng)、字母化等．完全平方公式逆用可得到兩個(gè)應(yīng)用廣泛的結(jié)論：(1)a22abb2(ab)20；揭示式子的非負(fù)性，利用非負(fù)數(shù)及其性質(zhì)解題．(2)a2b22題．(2)應(yīng)用于代數(shù)式的最值問(wèn)題．代數(shù)等式的證明有以下兩種基本方法：由繁到簡(jiǎn)，從一邊推向另一邊；(2)尋找代換的等量．a(chǎn)2 2 c【例5】已知a2 2 c證明：(1)bc(2)2(a+b+1)是完全平方數(shù)．思路點(diǎn)撥從a2

b2c2 a2c2b2

，運(yùn)用質(zhì)數(shù)、奇偶數(shù)性質(zhì)證明．

學(xué)力訓(xùn)練(x一1)(x+1)＝x2一l；(x1)(x2+x+1)=x3(x1)(x3x2+x+1)=x41．根據(jù)前面的規(guī)律可得(x 一1)(x +x+1)= ． 武漢市中考題)

n-1+…已知a

b2

4a5

，則ab= ． (杭ab州市中考題)計(jì)算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： (2)19492 一19502+19512 一19522+…+19972 一19982+19992= ；(3) 199919982 ．1999199721999199922中空白部分的面積的不同表示方法寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于a、b已知已知a 已知已知a a1，則a4a21=a2．(菏澤市中考題)的值為(A15abbc5，則代數(shù)式B．一2acbca2abC．一6)．D．6(揚(yáng)州市中考題)7．乘積

1

1)

1 1

等于( )．22 32

19992

20002A．1999 B．

C．1999

D2001 重2000 2000 4000 4000的值是( 的值是( 8．若xy2,x8．若

y

，則4 x

y20029．若x213x10，則9．若x213x10，則x41 的個(gè)位數(shù)字是(x4)．A．1B．3C．5D．710ab的小正方形(a>b)(如圖②)，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，驗(yàn)證了一等式，則這個(gè)等式是( )．A．a(chǎn)2b2(ab)(aA．C．

(ab)2a22abb2D． (ab)2

a22abb2 (a2b)(ab)a

ab2b2西省中考題)x+2z＝3z，判斷x29y2+4z2+4xz的值是不是定值?如果是定值，求出它的值；否則請(qǐng)說(shuō)明理由．x22x=2，將下式先化簡(jiǎn)，再求值：(x—1)2+(x+3)(x3)+(x3)(x1)．(上海市中考題)45數(shù)加上44后仍是一個(gè)完全平方數(shù)，試求這個(gè)自然數(shù)．13．觀察：12341522345111234561192……請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)具有普遍性的結(jié)論，并給出證明；(2)根據(jù)(1)，計(jì)算2000×2001×2002×2003+1的結(jié)果(用一個(gè)最簡(jiǎn)式子表示)． (黃岡市競(jìng)賽題)14．你能很快算出19952嗎?5自然數(shù)的平方，任意一個(gè)個(gè)位數(shù)為5的自然數(shù)可寫(xiě)成l0n+5(n為自然數(shù))，即求(10n+5)2的值，試分析n=2，n＝3……這些簡(jiǎn)單情形，從中探索其規(guī)律，并歸納猜想出結(jié)論．通過(guò)計(jì)算，探索規(guī)律．15225可寫(xiě)成10××(1+1)+225=625可寫(xiě)成100×2×(2+1)+25；352=1225100×可寫(xiě)成10××(4+1)+2……75＝5625可寫(xiě)成 852＝7225可寫(xiě)成 ．從第(1) 題的結(jié)果，歸納、猜想得(10n+5)2= ．＝ ． (福建省三明市中者題)

19952． 已 知 15 x2y2z22x4y6z140 ． 已 知 xyz= ． 天津市選拔賽試題)16．(1)若x+y＝10，x3+y3=100，則x2+y2＝ ．(2)若a-b=3，則a3-b3-9ab＝ ．共98個(gè)自然數(shù)中，能夠表示兩整數(shù)的平方差的個(gè)數(shù)是 ．(初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)18．已知?jiǎng)ta+b=( )． B．0 C．2 D219．方程x2-y2=1991，共( )組整數(shù)解． B．7 C．8 D．920．已知a、b滿足等大小關(guān)系是( )．

xa

b

20,y4(2ba)

x、y的A．x≤y B．x≥y C．x<y D．x>y(大原市競(jìng)賽題)21a=1999x+2000b＝1999x+2001c＝1999x+2002，則多項(xiàng)式a2+b2+c2ab—bc-ac的值為( )．A．0 B．1 C．2 D．3 (初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)22．設(shè)a+b=1，a2+b2=2，求a7+b7的值． (西市競(jìng)賽題)．已知a 滿足等式a2-a-1=0，求代數(shù)式a87a4值． 河北省競(jìng)賽題)．若

，且 ，求證xyab x2y2a2，且 ，求證． 北京市競(jìng)賽題x1997y1997a1997． 北京市競(jìng)賽題x y 25l0位乒乓球選手進(jìn)行單循環(huán)賽場(chǎng))，用xl，y1x y ，順次表示第二號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù)用 、2 2 10y10順次表示十號(hào)選手勝與負(fù)的場(chǎng)數(shù)．求證：x21

x2

x 10

y1

y2

y 2．1026）請(qǐng)觀察：255212253521122253352112222533352寫(xiě)出表示一般規(guī)律的等式，并加以證明．(2)2＝52+253=72+226×53=1371378=372+2．2653兩個(gè)平方數(shù)的和，把這兩個(gè)數(shù)相