人教版選修4-5全套教案

秀教案記記一、課程目標(biāo)解讀選修系列4-5專題不等式選講，內(nèi)容包括：不等式的基本性質(zhì)、含有絕對值的不等式、不等式的證明、幾個著名的不等式、利用不等式求最大(小)值、數(shù)學(xué)歸納法與不等式。通過本專題的教學(xué)，使學(xué)生理解在自然界中存在著大量的不等量關(guān)系和等量關(guān)系，不等關(guān)系和相等關(guān)系都是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，它們在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)應(yīng)用中起著重要的作用；使學(xué)生了解不等式及其證明的幾何意義與背景，以加深對這些不等式的數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題解決問題的能力。二、教材內(nèi)容分析作為一個選修專題，雖然學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了高中必修課程的5個模塊和三個選修模塊，教第一講是“不等式和絕對值不等式”，為了保持專題內(nèi)容的完整性，教材回顧了已學(xué)過的不等式6個基本性質(zhì)，從“數(shù)與運算”的思想出發(fā)，強(qiáng)調(diào)了比較大小的基本方法。回顧了二元基本不等式，突出幾何背景和實際應(yīng)用，同時推廣到n個正數(shù)的情形，但教學(xué)中只要求理解掌握并會應(yīng)用二個和三個正數(shù)的均值不等式。對于絕對值不等式，借助幾何意義，從“運算”角度，探究歸納了絕對值三角不等式，并用代數(shù)方法給出證明。通過討論兩種特殊類型不等式的解法，學(xué)習(xí)解含有絕對值不等式的一般思想和方法，而不是系統(tǒng)研究。第二講是“證明不等式的基本方法”，教材通過一些簡單問題，回顧介紹了證明不等式的比較法、綜合法、分析法，反證法、放縮法。其中，用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標(biāo)準(zhǔn)才引入到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的內(nèi)容。這些方法大多在選修2-2“推理與證明”已經(jīng)學(xué)過，此處再現(xiàn)也是為了專題的完整性，對于新增的放縮法，應(yīng)通過實際實際例子，使學(xué)生明確不等式放縮的幾個簡單途徑和方法，比如舍掉或加進(jìn)一些項，在分式中放大或縮小分子或分母，應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮等(見分節(jié)教學(xué)設(shè)計)。本講內(nèi)容也是本專題的一個基礎(chǔ)內(nèi)第三講是“柯西不等式和排序不等式”。這兩個不等式也是本專題實質(zhì)上的新增內(nèi)容，教材主要介紹柯西不等式的幾種形式、幾何背景和實際應(yīng)用。其中柯西不等式及其在證明不等式和求某些特殊類型函數(shù)極值中的應(yīng)用是教材編寫和我們教學(xué)的重點。事實上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的簡單應(yīng)用，二者同樣重要，在某些問題中，異曲同工。比如猜想——證明——應(yīng)用”的研究過程，初步認(rèn)識排序不等式的有關(guān)知識。第四講是“數(shù)學(xué)歸納法證明不等式”．?dāng)?shù)學(xué)歸納法在選修2-2中也學(xué)過，建議放在第二講，結(jié)合放縮法的教學(xué)，進(jìn)一步理解“歸納遞推”的證明。同時了解貝努利不等式及其在數(shù)學(xué)估算方面的初步運用。三、教學(xué)目標(biāo)要求本性質(zhì)掌握不等式的基本性質(zhì)，會應(yīng)用基本性質(zhì)進(jìn)行簡單的不等式變形。2．含有絕對值的不等式理解絕對值的幾何意義，理解絕對值三角不等式，會解絕對值不等式。不等式的證明通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法記秀教案記4．幾個著名的不等式(1)認(rèn)識柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，會用二維三維柯西不等式進(jìn)行簡單的證明與求最值。(2)理解掌握兩個或三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式并應(yīng)用。5．利用不等式求最大(小)值會用兩個或三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值。6．?dāng)?shù)學(xué)歸納法與不等式了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍；會用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的不等式。會用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式。四、教學(xué)重點難點1、本專題的教學(xué)重點：不等式基本性質(zhì)、均值不等式及其應(yīng)用、絕對值不等式的解法及其應(yīng)用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式及其應(yīng)用、排序不等式；用反證法，放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式以及求最值等。五、教學(xué)總體建議1、回顧并重視學(xué)生已學(xué)知識學(xué)習(xí)本專題，學(xué)生已掌握的知識有：第一、初中課標(biāo)要求的不等式與不等式組(1)根據(jù)具體問題中的大小關(guān)系了解不等式的意義，并探索不等式的基本性質(zhì)。(2)解簡單的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集。解由兩個一元一次不等式組成的不等式組，并會用數(shù)軸確定解集。(3)根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式和一元一次不等式組，解決簡單的不等式(組)的實際背景。(3)二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題。(4)基本不等式及其應(yīng)用(求最值)。第三、高中選修2-2推理與證明中的比較法、綜合法、分析法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)恰當(dāng)?shù)牧?xí)題，采用題組教學(xué)的形式，達(dá)到復(fù)習(xí)鞏固系統(tǒng)化的效果，類似于高考第二輪的專題復(fù)習(xí)，構(gòu)建知識體系。2、控制難度不拓展于未知數(shù)的函數(shù)主要限于一次函數(shù)。解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來加以討論，把含有絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式；不等式證明的教學(xué)，主要使學(xué)生掌握比較法、綜合法、分析法，其它方法如反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法，應(yīng)用柯西不等式和排序不等式的證明，只要求了解。說，往往很難掌握這些技巧，教學(xué)中要盡力使學(xué)生理解這些不等式以及證明的數(shù)學(xué)思想，對一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教學(xué)陷在過于形式化的和復(fù)雜的技巧之中。秀教案記3、重視不等式的記問題主要是用二個或三個正數(shù)平均不等式、二維或三維柯西不等式求解。對于超過3個正數(shù)的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；貝努里不等式的應(yīng)用不作要求。4、重視展現(xiàn)著名不等式的背景幾個重要不等式大都有明確的幾何背景。教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生了解重要不等式的數(shù)學(xué)意義和幾何背景，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中把握這些幾何背景，力求直觀理解這些不等式的實質(zhì)。特別是對第一講不等式和絕對值不等式等式的基本性質(zhì)，并能加以證明；會用不等式的基本性質(zhì)判斷不等關(guān)系和用比較法，反證法證明簡單的不等式。教學(xué)重點：應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)推理判斷命題的真假；代數(shù)證明，特別是反證法。一、引入：日常生活中息息相關(guān)的問題，如“自來水管的直截面為什么做成圓的，而不做成方的呢?”、去多大的小正方形？”等，都屬于不等關(guān)系的問題，需要借助不等式的相關(guān)知識才能得到解決。而且，不等式在數(shù)學(xué)研究中也起著相當(dāng)重要的作用。本專題將介紹一些重要的不等式(含有絕對值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、排序不等式等)和它們的證明，數(shù)學(xué)歸納法和它的簡單應(yīng)用等。人與人的年齡大小、高矮胖瘦，物與物的形狀結(jié)構(gòu)，事與事成因與結(jié)果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關(guān)系，這表明現(xiàn)實世界中的量，不等是普遍的、絕對的，而相等則是局部的、相對的。還可從引言中實際問題出發(fā)，說明本章知識的地位和作用。分析：起初的糖水濃度為，加入m克糖后的糖水濃度為，只要證>即aa+ma+ma可。怎么證呢?二、不等式的基本性質(zhì)：軸上右邊的點表示的數(shù)總大于左邊的點所表示的數(shù)，從實數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可秀教案記得出結(jié)論：要記三、典型例題：0的大小關(guān)系，得出這兩個多項式的大小關(guān)系。abcdab>。dc課堂練習(xí)：2：已知a>b>0，c<d<0,求證：<。五、課后作業(yè)：9六、教學(xué)后記：推導(dǎo)并掌握均值不等式定理；2.能夠簡單應(yīng)用定理證明不等式并解決一些簡單的實際問題。秀教案由上面的結(jié)論，我們又可得到記證明：∵(a)2＋(b)2≥2aba＋b2∴a＋b≥2ab，即≥ab2a＋b顯然，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，2＝aba＋b2說明：1)我們稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱ab為a，b的幾何平均數(shù)，因而，此2定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).a＋b22)a2＋b2≥2ab和≥ab24)幾何意義.4證明：因為證明：因為x，y都是正數(shù)，所以≥xyx＋y2 (1)積xy為定值P時，有≥P∴x＋y≥2P2S1241 (2)和x＋y為定值S時，有xy≤∴xy≤241說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個條件：ⅰ)函數(shù)式中各項必須都是正數(shù);)函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；ⅲ)等號成立條件必須存在。(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強(qiáng)對均值不等式定理的條件的認(rèn)識.ab＋cdac＋bd秀教案 (ab＋cd)(ac＋bd)4∴≥abcd4即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd記m低總造分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理.l16001600l＝240000＋720(x＋x)≥240000＋720×2x·x＝240000＋720×2×40＝2976001600xx元.評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件.1通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，五、課后作業(yè)1．能利用三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題；2．了解基本不等式的推廣形式。教學(xué)難點：利用三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題定理3：如果a,b,cR，那么>3abc。當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，等號成立。+3a+a+…+a推廣：12n≥naa…a。當(dāng)且僅當(dāng)a=a=…=a時，等號成立。n12n12n秀教案記思考：類比基本不等式，是否存在：如果a,b,cR，那么a3+b3+c3>3abc(當(dāng)且僅當(dāng)+a=b=c時，等號成立)呢？試證明。x31112解一：y=2x2+=2x2++>332x2..=334∴y=334xxxxxmin333312解二：y=2x2+>22x2.=26x當(dāng)2x2=即x=時xxx2∴y=26.=23312=26324min21變式訓(xùn)練1若a,bR且a>b,求a+的最小值。+(ab)b由此題，你覺得在利用不等式解決這類題目時關(guān)鍵是要_____________________例2：如下圖，把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿名著虛線折轉(zhuǎn)成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積變式訓(xùn)練2已知：長方體的全面積為定值S，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值．由例題，我們應(yīng)該更牢記一____二_____三________，三者缺一不可。另外，由不等號的方向也可以知道：積定____________，和定______________.三、鞏固練習(xí)1.函數(shù)y1.函數(shù)y=3x+(x>0)的最小值是()x2xABC.9D.122.函數(shù)y=4x3．函數(shù)y=x4(2x2)(0x2)的最大值是()秀教案A.0B.1C.D.D記通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，五、課后作業(yè)1：了解絕對值三角不等式的含義，理解絕對值三角不等式公式及推導(dǎo)方法，會進(jìn)行簡2：充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運用絕對值三角不等式公式進(jìn)行推理和證明。重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。。教學(xué)過程：關(guān)于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。本節(jié)課探討不等式證明這類問題。1．請同學(xué)們回憶一下絕對值的意義。(|x，如果x>0幾何意義：在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。要用到關(guān)于絕對值的和、差、積、商的性質(zhì)：abbb秀教案記abababab?記方法二：分析法，兩邊平方(略) (1)若把a(bǔ),b換為向量a,b情形又怎樣呢？ aab定理(絕對值三角形不等式)如果a,b是實數(shù)，則ab≤a士b≤a+b注：當(dāng)a,b為復(fù)數(shù)或向量時結(jié)論也成立.12n12n秀教案等號成立.記(設(shè)A，B，C為數(shù)軸上的3個點，分別表示數(shù)a，b，c，則線段ABAC+CB.當(dāng)且僅三、典型例題：例1、已知xa<c,yb<c，求證(x+y)(a+b)<c.22證明(x+y)(a+b)=(xa)+(yb)xa+ybccxa<,yb<，2cc∴xa+yb<+=c22 (2)46aaaa證明x<,y<，∴2x<,3y<，4622aa由例1及上式，2x3y2x+3y<+=a。22不等號方向相同的不等式。例3兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工,這兩個地點分別位于公路路每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次,要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小,生活區(qū)應(yīng)該建于何處?解：如果生活區(qū)建于公路路碑的第xkm處，兩施工隊每天往返的路程之和為S(x)km那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)··x·課堂練習(xí)：1.(課本P習(xí)題1.2第1題)求證:202記秀教案記46五、課堂小結(jié)：1．實數(shù)a的絕對值的意義:⑵a的幾何意義:2．定理(絕對值三角形不等式)如果a,b是實數(shù)，則a-b≤a士b≤a+b注意取等的條件。2：充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運用絕對值三角不等式公式進(jìn)行推理和證明。重點：絕對值三角不等式的含義，絕對值三角不等式的理解和運用。。一、復(fù)習(xí)引入：在初中課程的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)對不等式和絕對值的一些基本知識有了一定的了解。請同學(xué)們回憶一下絕對值的意義。在數(shù)軸上，一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。即在此基礎(chǔ)上，本節(jié)討論含有絕對值的不等式。二、新課學(xué)習(xí)：關(guān)于含有絕對值的不等式的問題，主要包括兩類：一類是解不等式，另一類是證明不等式。下面分別就這兩類問題展開探討。1、解在絕對值符號內(nèi)含有未知數(shù)的不等式(也稱絕對值不等式)，關(guān)鍵在于去掉絕對值秀教案符號，化成普通的不等式。主要的依據(jù)是絕對值的幾何意義.記{x|a<x<a}，它的幾何意義就是數(shù)軸上到原點的距離小于a的點的集合是開區(qū)間(－a，如果給定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的結(jié)果來解。xaa同樣，如果給定的不等式符合這種類型，就可以直接利用它的結(jié)果來解。三、典型例題：解：本題可以按照例3的方法解，但更簡單的解法是利用幾何意義。原不等式即數(shù)軸上秀教案記記第二講證明不等式的基本方法。一、新課學(xué)習(xí)：要比較兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差的符號即可，即利用不等式的性質(zhì)：二、典型例題：秀教案242424x制條件，要求證的結(jié)論如何變換？本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進(jìn)行。2)商值比較法：設(shè)a>b>0,babbab例4、甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果mn，問甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點。分析：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是S，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為t,t。要回答題目中的問題，只要比較t,t的大小就可以了。1212解：設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程是S，甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為ttSS2SS(m+n)t,t，根據(jù)題意有1m+1n=S，+=t，可得t=，t=，12222m2n21m+n22mn秀教案1212從而知甲比乙首先到達(dá)指定地點。三、課堂練習(xí)：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差(或作商)、變形、判斷符號?！白冃巍笔墙忸}的關(guān)鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。課題：第02課時不等式的證明方法之二：綜合法與分析法1、結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法。教學(xué)難點：根據(jù)問題的特點，結(jié)合綜合法的思考過程、特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法。一、引入：綜合法和分析法是數(shù)學(xué)中常用的兩種直接證明方法，也是不等式證明中的基本方法。由于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性，這里將其放在一起加以認(rèn)識、學(xué)習(xí)，以便于對比研究兩種思路方法的特點。所謂綜合法，即從已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)或已知的不等式，逐步推導(dǎo)出要證秀教案記的不等式。而分析法，則是由結(jié)果開始，倒過來尋找原因，直至原因成為明顯的或者在已知記這是“分析法”。二、典型例題：證法一分析法ab證法二綜合法a+ma(1)例3、已知a，b，m都是正數(shù)，并且a<b.求證：>(1)b+mb證法一要證(1)，只需證b(a+m)>a(b+m)()2要證(2)，只需證bm>am()3要證(3)，只需證b>a()4已知(4)成立，所以(1)成立。上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。abbamabmbbm(1)。例4、證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。分析：當(dāng)水的流速相同時，水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設(shè)截面的周長為秀教案L(L)2L教學(xué)禮記L，則周長為L的圓的半徑為2"，截面積為"|(L(L)2L教學(xué)禮記 (4 (4)(2")(4)證明：設(shè)截面的周長為L，則截面是圓的水管的截面面積為"|(證明：設(shè)截面的周長為L，則截面是圓的水管的截面面積為"|(2")|，截面是正方形的 (4)(2")(4)"L2L2為了證明上式成立，只需證明>。"L2L2為了證明上式成立，只需證明>。L2"4 (2" (2")(4)這就證明了：通過水管放水，當(dāng)流速相同時，如果水管橫截面的周長相等，那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。c兩邊同時除以2即得(1)。222所以(1)成立。秀教案bcad記(5)顯然成立。因此(1)成立。分析：本題可以考慮利用因式分解公式2三、課堂小結(jié)：解不等式時，在不等式的兩邊分別作恒等變形，在不等式的兩邊同時加上(或減去)一個數(shù)或代數(shù)式，移項，在不等式的兩邊同時乘以(或除以)一個正數(shù)或一個正的代數(shù)式，得到的不等式都和原來的不等式等價。這些方法，也是利用綜合法和分析法證明不等式時常常課堂練習(xí)：1x114xyx+y(1)>ab+cd;(2)>4abcd.4記通過實例，體會反證法的含義、過程與方法，了解反證法的基本步驟，會用反證法證明教學(xué)重點：體會反證法證明命題的思路方法，會用反證法證明簡單的命題。教學(xué)過程:一、引入：前面所講的幾種方法，屬于不等式的直接證法。也就是說，直接從題設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列的邏輯推理，證明不等式成立。但對于一些較復(fù)雜的不等式，有時很難直接入手求證，這時可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性，而是證明它的反論題為假，或轉(zhuǎn)而證明它的等價命題為真，以間接地達(dá)到目的。其中，反證法是間接證明的一種基本方法。反證法在于表明：若肯定命題的條件而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾。具體地說，反證法理的邏輯推理，而得到矛盾，從而斷定原來的結(jié)論是正確的。利用反證法證明不等式，一般有下面幾個步驟：第一步第二步第三步第四步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；作出與所證不等式相反的假定；從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；二、典型例題：秀教案2設(shè)f(1),f(2),f(3)都小于1，則2另一方面，由絕對值不等式的性質(zhì)，有(1)(2)(1)、(2)兩式的結(jié)果矛盾，所以假設(shè)不成立，原來的結(jié)論正確。注意：諸如本例中的問題，當(dāng)要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個滿足某個不等式時，通行。議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結(jié)果，通常是指所推出的結(jié)果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。根據(jù)上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？1例3、設(shè)0<a,b,c<1，求證：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同時大于41證：設(shè)(1a)b>,(141b)c>,41(1c)a>,41b)c?(1c)a<64①41與①矛盾∴原式成立三、課堂練習(xí)：3、若x,y>0，且x+y>2，則和中至少有一個小于2。xy秀教案提示：反設(shè)≥2，≥2xy記：第一步第二步第三步第四步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論；作出與所證不等式相反的假定；從條件和假定出發(fā)，應(yīng)用證確的推理方法，推出矛盾結(jié)果；1．感受在什么情況下，需要用放縮法證明不等式。2．探索用放縮法證明不等式的理論依據(jù)和技巧。1．掌握證明不等式的兩種放縮技巧。2．體會用放縮法證明不等式時放大或縮小的“度”。一、引入：系后，再應(yīng)用不等量大、小的傳遞性，從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法，尤其在今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時用處更為廣泛。下面我們通過一些簡單例證體會這種方法的基本思想。二、典型例題：例1、若n是自然數(shù)，求證+++…+2.122232n211k2k(k1)k1kk2k(k1)k1k11111111：+++…++++…+11223n1n12.n111111222232n一112n一12abcdnnnn「logn2]2想|n|=1L2」nn三、課堂練習(xí)：nnnnn!常用的兩種放縮技巧：對于分子分母均取正值的分式，(Ⅰ)如果分子不變，分母縮小(分母仍為正數(shù))，則分式的值放大；(Ⅱ)如果分子不變，分母放大，則分式的值縮小。秀教案第三講柯西不等式與排序不等式教學(xué)禮記01課時二維形式的柯西不等式(一)式及向量形式.教學(xué)重點：會證明二維柯西不等式及三角不等式.教學(xué)難點：理解幾何意義.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：2方法？即柯西不等式的向量形式(由向量法提出)→討論：上面時候等號成立？(b是零向量，或者a,b共線)秀教案證法：(分析法)平方→應(yīng)用柯西不等式→討論：其幾何意義？(構(gòu)造三角形)記112211221212分析其幾何意義→如何利用柯西不等式證明112233說明：在證明不等式時，聯(lián)系經(jīng)典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡化運算。所分析：利用不等式解決最值問題，通常設(shè)法在不等式的一邊得到一個常數(shù)，并尋找不等式取等號的條件。這個函數(shù)的解析式是兩部分的和，若能化為ac+bd的形式就能用柯西不等式求52+(2)2(x1)2+(5x)2當(dāng)且僅當(dāng)2x1=55x時，等號成立，即x=時，函數(shù)取最大值63ababab1.練習(xí)：試寫出三維形式的柯西不等式和三角不等式二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；三角不等式的兩種形式(兩點、三點)秀教案記二維形式的柯西不等式(二)教學(xué)目標(biāo)：會利用二維柯西不等式及三角不等式解決問題，體會運用經(jīng)典不等式的一般方法教學(xué)重點：利用二維柯西不等式解決問題.教學(xué)難點：如何變形，套用已知不等式的形式.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：意義？12212122.討論：如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式，拓廣到三維、四維？3.如何利用二維柯西不等式求函數(shù)y=x1+2x的最大值?acbdab2.c2+d2.1.最大(小)值：→構(gòu)造柯西不等式的形式+解答要點：(湊配法)x2+y2=1(x2+y2)(32+22)>1(3x+2y)2=1.131313討論：其它方法(數(shù)形結(jié)合法)11①出示例2：若x,yR，x+y=2，求證：+>2.+xy秀教案分析：如何變形后利用柯西不等式？(注意對比→構(gòu)造)教學(xué)禮記xyxy…xy2xy2xy討論：其它證法(利用基本不等式)+ab三、應(yīng)用舉例：例1已知a,a,…,a都是實數(shù)，求證：(a+a+…+a)2a2+a2+…+a212nn12n12nn式的形式。分析：上式兩邊都是由a,b,c,d這四個數(shù)組成的式子，特別是右邊式子的字母排列順序啟發(fā)我們，可以用柯西不等式進(jìn)行證明。1.練習(xí)：教材P8、9題3749xyzxyz+的最小值。xyzabc五、布置作業(yè)：教材P1、6、7題37xy要點：x+y=(a+b)(x+y)=….→其它證法xy+變式：若x,y,zR，且x+y+z=1，求x+y+z的最大值.+秀教案比較柯西不等式的形式，將目標(biāo)式進(jìn)行變形，注意湊配、構(gòu)造等技巧.記1.認(rèn)識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義；2.通過運用這種不等式分析解決一些問題，體會運用經(jīng)典不等式的一般方法教學(xué)重點：一般形式柯西不等式的證明思路，運用這個不等式證明不等式。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：定理1：(柯西不等式的代數(shù)形式)設(shè)a,b,c,d均為實數(shù)，則其中等號當(dāng)且僅當(dāng)兩個向量方向相同或相反(即兩個向量共線)時成立。112233(xx)2+(yy)2+(xx)2+(yy)2>(xx)2+(yy)2121223231313可得到(a2+a2+a2)(b2+b2+b2)>(ab+ab+ab)2當(dāng)且僅當(dāng)α，β共線時，123123112233ii這就是三維形式的柯西不等式.對比二維形式和三維形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式嗎？ii秀教案n12n1122ab)nn記即iiiiaaaii=1i=1i=112ni122nniiiii=1i=1i=1iiiii=1i=1i=1iiiiii=1i=1xb1122nniiaaii12ni三、應(yīng)用舉例：用n乘要證的式子兩邊，能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。da分析：上式兩邊都是由a,b,c,d這四個數(shù)組成的式子，特別是右邊式子的字母排列順序啟發(fā)我們，可以用柯西不等式進(jìn)行證明。xyz(12+22+32)作為一個因式而解決問題。練習(xí)：1．設(shè)x，y，z為正實數(shù)，且x+y+z=1，求xyz秀教案記記111abc五、課堂小結(jié)：重點掌握三維柯西不等式的運用。1.了解排序不等式的基本形式，會運用排序不等式分析解決一些簡單問題;2.體會運用經(jīng)典不等式的一般思想方法教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：2.舉例：說說兩類經(jīng)典不等式的應(yīng)用實例.12nOB邊依次取取n個點B,B,,B，在OA邊取某個點A與OB邊12ni某個點B連接，得到AOB，這樣一一搭配，一共可得到j(luò)ijn個三角形。顯然，不同的搭配方法，得到的AOBij面積和最大(或最小)？秀教案記設(shè)OA=a,OB=b(i,j=1,2,,n)，由已知條件，得iijjaaaa,bbbb123n123n因為AOB的面積是，而是常數(shù)，于是，上面的幾何問題就可以歸結(jié)為ijcccbbbSacac+ac12n12n1122nn何時取最大(或最小)值？bbb1122nn12n12n11n2n13n2n12112233nn12n12n12n12n的任一排列,則有1122nn1122nn1n2n1n112n12n(要點：理解其思想，記住其形式)三、應(yīng)用舉例：2n1+1+1+...+1a+a2+a3+...+an.23n12232n2bbn12n12n12n12n又1>1>1>...>1，由排序不等式，得n2秀教案記a+a2+a3+...+an>b+b2+b3+...+bn>記12232n212232n2小結(jié)：分析目標(biāo)，構(gòu)造有序排列.5解答要點：由對稱性，假設(shè)abc，則a2b2c2，兩式相加即得.五、課堂小結(jié)：排序不等式的基本形式.5第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；2.進(jìn)一步發(fā)展猜想歸納能力和創(chuàng)新能力，經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程,體會類比的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)重點：數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析和對數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟的掌握。一、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題(1)不完全歸納法：今天早上，我曾疑惑，怎么一中(永昌一中)只招男生嗎？因為清晨我在學(xué)校門口看到第一個進(jìn)校園的是男同學(xué)，第二個進(jìn)校園的也是男同學(xué)，第三個進(jìn)校園的還是男同學(xué)。于是得出結(jié)論：學(xué)校里全部都是男同學(xué)，同學(xué)們說我的結(jié)論對嗎？(2)完全歸納法：一個火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是紅色的，抽出第二根也是紅色的，請問怎秀教案記記(將火柴盒打開，取出剩下的火柴，逐一進(jìn)行驗證。)注：對于以上二例的結(jié)果是非常明顯的，教學(xué)中主要用以上二題引出數(shù)學(xué)歸納法。結(jié)論：不完全歸納法→結(jié)論不可靠；完全歸納法→結(jié)論可靠。問題：以上問題都是與正整數(shù)有關(guān)的問題，從上例可以看出，要想正確的解決一個與此有關(guān)的問題，就可靠性而言，應(yīng)該選用第幾種方法？(完全歸納法)探究一：讓所有的多米諾骨牌全部倒下，必須具備什么條件？倒下；條件二：任意相鄰的兩張骨牌，前一張倒下一定導(dǎo)致后一張倒下。探究二：同學(xué)們在看完多米諾骨牌視頻后，是否對怎樣證明6(1)證明當(dāng)n=1時，命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k>1,kN*)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n(nN*)時命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(k>n,kN*)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時，命題也0只要完成以上兩個步驟，就可以判定命題對從n開始的所有正整數(shù)n都成立。0上述方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。秀教案記記2根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何nN*都成立。根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何nN*都成立。注：上例可讓學(xué)生獨立完成，教師板書寫現(xiàn)完整過程，以突出數(shù)學(xué)歸納法證題的一般步驟。問：今天我們學(xué)習(xí)了一種很重要的數(shù)學(xué)證明方法，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？(學(xué)生總結(jié)，教師整理)1、數(shù)學(xué)來源于生活，生活中有許多形如“數(shù)學(xué)歸納法”這樣的方法等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。秀教案記驗證n=n時命題成0立歸納奠基0歸納遞推命題對從n開始所有的正整數(shù)n都成立04、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法要注意以下幾點：(1)第一步是基礎(chǔ)，沒有第一步，只有第二步就如空中樓閣，是不可靠的；(2)第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒有第二步，只能是不完全歸納法；(3)n是使命題成立的最小正整數(shù)，n不一定取1，也可取其它一些正整數(shù)；0(4)第二步的證明必須利用歸納假設(shè)，否則不能稱作數(shù)學(xué)歸納法。二)1.掌