2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市高一下期末考試數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

第第PAGE1915頁2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市高一下期末考試數(shù)學(xué)模擬試卷一．選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）1??﹣4

2??，則z﹣3??的虛部為（ 1???﹣4i1???

D．4i解：復(fù)數(shù)??=

2??==

2??(1+??)

=i﹣1，則z﹣3??=?1+i﹣3（﹣1﹣i）＝2+4i．所以z﹣3??的虛部為4．故選：C．已知非零向→

→|=→???)⊥

?? → ）??，??滿足??

，則5??

與??的夾角為（2??A．3解：非零向→

B．6→|=

6 D．3且→???)⊥

??，??滿足，則???

=0=0，????即→→=??2=→|2；??所以cosθ= 所以cosθ= →=|??|=→ → →

=1，2|??|×|??| 2|??|×|??|2又θ∈[0，π]，??

→ ??θ=與??的夾角為 θ=故選：A．已知一個(gè)球的體積則它的內(nèi)接正方體的表面積為（ ）A．4√3?? 4??

C．48 D．24解：因?yàn)榍虻捏w積是：3故球半徑R=√3，

R3=4√3??，根據(jù)正方體的外接球的性質(zhì)，正方體的中心即為外接球的球心，體對(duì)角線長(zhǎng)為外接球的直徑．a(chǎn)R=解得＝，所以S622（c2．故選：D．在天氣預(yù)報(bào)中“降水概率預(yù)報(bào)例如預(yù)“明天降水概率為85這是（ ）85%15%地區(qū)不降水明天該地區(qū)約有85%的時(shí)間降水，其他時(shí)間不降水C．氣象臺(tái)的專家中，有85%的人認(rèn)為會(huì)降水，另外15%D．明天該地區(qū)降水的可能性為85%解：在天氣預(yù)報(bào)中預(yù)報(bào)“明天降水概率為85對(duì)于A，由概率的定義得明天該地區(qū)降水的可能性為85%，并不是說其他15%地區(qū)不降水，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，明天該地的每個(gè)地區(qū)都有85%的降水的可能性，并不是說其他時(shí)間不降水，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由概率的定義得明天該地區(qū)降水的可能性為85%，85%15%CD，由概率的定義得明天該地區(qū)降水的可能性為85%D正確．故選：D．已知β是兩個(gè)不同的平面mn是兩條不同的直線下列四個(gè)命題中正確的（ ）m∥α，n∥αm∥nm⊥α，n∥αm⊥nm⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βm∥n，α∥βm與αn與β所成的角不相等Am∥α，n∥αm∥nmnmnA錯(cuò)誤；Bm⊥α，n∥αm⊥nB正確；Cm⊥n，m⊥α，n∥β，那么α∥βαβC錯(cuò)誤；Dm∥n，α∥βmαnβD錯(cuò)誤．魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成幾何體為“牟合方蓋方蓋”的體積之比應(yīng)為π：418，則正方體的棱長(zhǎng)為（A．18 B．6 C．3 D．2解：∵正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為π：4，“牟合方蓋”的體積為V

=??×18=9??，球4 24 3 9r，則3

=2??，2，32，在天氣預(yù)報(bào)中“降水概率預(yù)報(bào)例如預(yù)“明天降水概率為85這是（ ）85%15%地區(qū)不降水明天該地區(qū)約有85%的時(shí)間降水，其他時(shí)間不降水C．氣象臺(tái)的專家中，有85%的人認(rèn)為會(huì)降水，另外15%D．明天該地區(qū)降水的可能性為85%解：在天氣預(yù)報(bào)中預(yù)報(bào)“明天降水概率為85對(duì)于A，由概率的定義得明天該地區(qū)降水的可能性為85%，并不是說其他15%地區(qū)不降水，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，明天該地的每個(gè)地區(qū)都有85%的降水的可能性，并不是說其他時(shí)間不降水，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由概率的定義得明天該地區(qū)降水的可能性為85%，85%15%CD，由概率的定義得明天該地區(qū)降水的可能性為85%D正確．故選：D．ABDFA⊥BA＝，其體積為12，若將該“塹堵”放個(gè)球形容器中，則該球形容器表面積的最小值為（）A．100π B．108π D．120π解：設(shè)BC＝a，BF＝b，V＝S

BF=1×6????=120，2整理，得ab＝40，2要使“塹堵”放入球形容器，則該球的半徑不小于“塹堵”的外接球半徑，設(shè)其外接球的半徑為R，∵在塹堵ABC﹣DFE中，BA，BC，BF兩兩垂直，ABC﹣DFE線，即2R=√????2+????2+????2=√36+??2+??2，∵a+22a＝80（當(dāng)且僅當(dāng)＝b時(shí)，取等號(hào)，∴外接球的表面積S＝4πR2≥116π，∴球形容器的表面積最小值為116π．故選：C．二．多選題（共4小題，每小題5分，共20分）設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)＝（+1+2，則下列命題正確的是（ ）za22z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)a122C．實(shí)數(shù)??=?1是z=??（??為z的共軛復(fù)數(shù)）的充要條件2D．若+z＝+5（R，則實(shí)數(shù)a的值為2解：復(fù)數(shù)＝（+1+2）＝a﹣+a+）；Aa＝2時(shí)，zA正確；{???a?B不對(duì)；2??+22C??2a+1＝﹣2a﹣1a1C正確；Dz+|z|＝x+5i2a+1＝5a＝2D正確；2故選：ACD．下列說法正確的是（ ）在ABC中，若→ =1??+1??，則點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)???? 2 2B??（﹣，??﹣1，若??2）??，則＝1

=(2????=1??M 2DABCD1M

=1??，則

?=4??M 2 ??M 31→ABCE則????2

1→ 12????=2

→ → → →(????+????)=????=????，則E點(diǎn)與點(diǎn)D重合，所以D是邊BC的中點(diǎn)．所以A正確．→?2??（+，→（﹣，??2??），所以=1．所以B不正對(duì)于B，??確．.對(duì)于=1則

3=??+?????=1??M為AB2C不正確．

??M 2對(duì)于 D

→

???=??+M??+??)=??2+?????+M???+M???1+1=4．所以DA．3 34000名考生的參賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的[45[560[670[78[890，說法中正確的是（）[70，80）的考生人數(shù)最多B．不及格的考生人數(shù)為1000C72.5D75分解：對(duì)于A，由頻率分布直方圖得成績(jī)?cè)赱70，80）的小矩形最高，∴成績(jī)?cè)赱70，80）的考生人數(shù)最多，故A正確；對(duì)于B，由頻率分布直方圖得不及格的頻率為：（0.005+0.015）×10＝0.2，4000×0.2＝800BC，考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約為：??=45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.020×10+75×0.030×10+85×0.020×10+95×0.010×10＝72.5分，故C正確；對(duì)于D，[470）（0.005+0.015+0.02）10.，[70，80）的頻率為：0.030×10＝0.3，∴考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為：70+0.5?0.4×10≈73.3分，故D錯(cuò)誤．故選：AC．12．如圖，在直三棱柱ABC﹣ABC中，CC=√6，????=????=2，????=2√2，點(diǎn)M是棱11 1 1AA1的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）BCB1M90°B1CDMDABCB1﹣AC﹣B60°D．B1M⊥CM解：選項(xiàng)A，連接MC1，由三棱柱的性質(zhì)可知，BC∥B1C1，∴∠MB1C1即為異面直線BC與B1M．∵AB＝BC＝2，AC=2√2，∴∠ABC＝∠A1B1C1＝90°，即A1B1⊥B1C1，由直三棱柱的性質(zhì)可知，BB1⊥平面A1B1C1，∵B1C1?平面A1B1C1，∴BB1⊥B1C1，又A1B1∩BB1＝B1，A1B1、BB1?平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MB1，即∠MB1C1＝90°，∴選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，連接BC1，交B1C于點(diǎn)D，連接MD，再取BC的中點(diǎn)E，連接DE、AE，則DE∥AM，DE＝AM，∴四邊形AMDE為平行四邊形，∴MD∥AE，∵M(jìn)D?ABC，AE?ABC，∴MDABCBCACNBN、B1N，∵BB1⊥平面ABC，∴∠BNB1即為二面角B1﹣AC﹣B的平面角．在

=√6B=√2A=

=??1=

＝60°，1 1 即選項(xiàng)C正確；

1 ???? 1

C2A+A=??

=

??2+

M2=

??2=

??2+1????2=10，

2 1 1 1 1 2 1 11顯然??M2+M??21

≠??1??2，即B1M與CM不垂直，∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．三．填空題（共4小題，每小題5分，共20分）5=1．已知復(fù)數(shù)z滿足﹣2）（i為虛數(shù)單位，則z＝√5 解：∵（1﹣2i）z＝5，5=∴z=

5

5(1+2??)

=5(1+2??)=1+2i，故|z|=√1+4=√5，故答案為：√5．14．?dāng)?shù)據(jù)5，7，7，8，10，11的平均數(shù)是8 ，標(biāo)準(zhǔn)差是2 解：根據(jù)題意，對(duì)于數(shù)據(jù)5，7，7，8，10，11，6其平均數(shù)??=1（5+7+7+8+10+11）＝8，66s＝2；6故答案為：8，2．一個(gè)底面半徑為2的圓錐其內(nèi)部有一個(gè)底面半徑為1的內(nèi)接圓柱若其內(nèi)接圓柱的積√3π，則該圓錐的表面積為12π ．解：根據(jù)題意，作出如下所示的圖形：設(shè)圓錐的底面半徑為R＝2，內(nèi)接圓柱的底面半徑為r＝1，∵內(nèi)接圓柱的體積為√3π，∴V＝πr2?BC＝π?BC=√3π，∴BC=√3，????∵????

=??，∴??

????3????

1=2，解得AB=√3，AC=2√3，∴圓錐的母線長(zhǎng)AD=√????2 ??2=√=4．11245得到黑球或黃球概率是

1 1得到黃球或綠球概率是則任取一球得到黃球的概率為 ．12 2 6解：袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，1 得到紅球概率為，得到黑球或黃球概率是

1，得到黃球或綠球概率是，4 12 24∴袋中有紅球：12×1=3個(gè)，412有黑球或黃球：12×5=5個(gè)，122有黃球或綠球：12×1=6個(gè)，25+）﹣123）2，=126．∴任取一球得到黃球的概率為P=2 1=126．1故答案為：．6四．解答題（共6小題，第17小題10分，第18-22小題每題12分，共70分）xOy

=，???（1．????（1）求→與→夾角的余弦值；???? ????（2）設(shè)→=??，若BA，求實(shí)數(shù)λ的值．????（1）由→=4，?)??=3得，??=，??|=5??|=√，????∴→?=12+3=15，????→ → → →= =

?????????→ →|????||????|

= 155√

3√1010（2）→

=+=(?1，?2)，????∴→==(???，?=+=(4??2??)，????→∵BP⊥AC，∴

4??2(32??)=0，解得λ＝2．????某學(xué)校就學(xué)生對(duì)端午節(jié)文化習(xí)俗的了解情況，進(jìn)行了一次2012個(gè)，乙同學(xué)答對(duì)了16個(gè)．假設(shè)答對(duì)每道題都是等可能的，試求：任選一道題目，甲乙都沒有答對(duì)的概率；任選一道題目，恰有一人答對(duì)的概率．（）設(shè)＝“任選一道題目，甲答對(duì)B＝“任選一道題目，乙答對(duì)根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，得：20 5 20 P（A）=12=3，P（B）=16=4，20 5 20 ∴P（??）=2，P（??）=1，5 5∴任選一道題目，甲乙都沒有答對(duì)的概率為：P（????）＝P（??）P（??）=2×1=2．5 5 25（2）任選一道題目，恰有一人答對(duì)的概率為：P（????∪????）＝P（????）+P（A??）＝P（??）P（B）+P（A）P（??）=2×4+3×15 5 5 5= = 25①z＜0，②z已知復(fù)數(shù)：z＝（m2﹣2m﹣8）+（m2﹣4）i．，求實(shí)數(shù)m的值；z﹣m2（1+i）+82√5m的值．（）①0{??2????8，解得＝．??2?4=0選擇②z為虛數(shù)，則m2﹣4≠0，解得m≠±2．選擇③z為純虛數(shù)，則m2﹣2m﹣8＝0，m2﹣4≠0，解得m＝4．（2）z＝（m2﹣2m﹣8）+（m2﹣4）i可知復(fù)數(shù)z﹣m2（1+i）+8＝（m2﹣2m﹣8）+（m2﹣4）i﹣m2（1+i）+8＝﹣2m﹣4i，依題意√(?2??)2+16=2√5，m＝±1，m＝±1．工廠質(zhì)檢員從生產(chǎn)線上每半個(gè)小時(shí)抽取一件產(chǎn)品并對(duì)其某個(gè)質(zhì)量指標(biāo)Y進(jìn)行檢測(cè)，一共抽取了36Y有關(guān)，具體見表．質(zhì)量指標(biāo)Y頻數(shù)年內(nèi)所需維護(hù)次數(shù)

62

180

[0.6，11.0]121Y（；用分層抽樣的方法從上述樣本中先抽取662件2[10.2，10.6）內(nèi)的概率；已知該廠產(chǎn)品的維護(hù)費(fèi)用為200元廠產(chǎn)品時(shí)每件多加5036（）該廠產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)Y的平均值為：??=10×6+10.4×18+10.8×12≈10.47．由分層抽樣方法知：先抽取的6件產(chǎn)品中，指標(biāo)Y在[9.8，10.2）的有1件，記為A，在[10.2，10.6）3B1，B2，B3，在2C1，C2，6215個(gè)基本事件分別為：（，1，23（，1ACB2（，3（B1，C1，（1C2B2C2C3C1C，12個(gè)，分別為：（，1，23（12（1311，（1C2B2C2C3C，∴這2件產(chǎn)品的指標(biāo)至少有一個(gè)在[10.2，10.6）內(nèi)的概率為：15 P=12=4．15 x元，36則平均每件產(chǎn)品的消費(fèi)費(fèi)用為：1 400=6（36+6400+1×20）+ 3（元，假設(shè)這36件產(chǎn)品每件都購(gòu)買該服務(wù)，則平均每件產(chǎn)品的消費(fèi)費(fèi)用為：1 250=6[3（+5）+×200＝+ 3（元，∴該服務(wù)值得消費(fèi)者購(gòu)買．ABCM中，AB＝AC＝4，∠ACM＝90ACMDAB⊥DA．ACDABC；4DAQADBCBP＝4DAABP的體積．ABCM，∴AB∥CM，∴∠BAC＝∠ACM＝90°，即AB⊥AC，∵AB⊥DA，AC∩AD＝A，AC、AD?平面ACD，∴AB⊥平面ACD，∵AB?平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．QQE⊥ACEQE∥DC，4∵DQ=14

??E

=????=3DA，∴????

???? 4，∵DC＝CM＝AB＝4，∴QE＝3，∵∠ACM＝90°，△ACD由△ACM翻折而來，∴DC⊥CA，由（1）知，平面ACD⊥平面ABC，且平面ACD∩平面ABC＝AC，∴DC⊥平面ABC，∴QE⊥平面ABC，即點(diǎn)Q到平面ABC的距離為QE，4∵BP=1BC，AB＝AC＝4，且AB⊥AC，4∴S =

=1×1

=1×1×4×4＝2，△ABP

4△ABC

2?AB?AC 4 2Q﹣ABP

=1?S

QE=1×2×3＝2．Q﹣ABP

3 △ABP 3A，B20到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下：A地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73