高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章解析幾何93圓方程學(xué)案理

(通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章分析幾何93圓的方程教案理!(通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章分析幾何93圓的方程教案理!(通用)2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章分析幾何93圓的方程教案理!§圓的方程考綱顯現(xiàn)?掌握確定圓的幾何要素．2．掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．考點(diǎn)1圓的方程圓的定義及方程答案：定點(diǎn)定長(zhǎng)(a，b)r2．點(diǎn)與圓的地址關(guān)系理論依照：________到________的距離與半徑的大小關(guān)系．三種情況：22200圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)＋(y－b)＝r，點(diǎn)M(x，y)．①(x22200②(x0－a)2＋(y0－b)2________r2?點(diǎn)在圓外；③(x0222－a)＋(y0－b)________r?點(diǎn)在圓內(nèi)．-1-答案：(1)點(diǎn)圓心(2)①＝②>③<(1)[教材習(xí)題改編]圓x2＋y2－2ax＋4ay＝0(a≠0)的圓心坐標(biāo)是________，半徑r＝________.答案：(a，－2a)5|a|剖析：依照?qǐng)A的一般方程的圓心公式和半徑公式，可得圓的圓心坐標(biāo)為(a，－2a)，半徑為5|a|.(2)[教材習(xí)題改編]以線段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)為直徑的圓的方程為_(kāi)_______．答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2剖析：線段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)的兩端點(diǎn)分別為(2,0)，(0,2)，因此圓心為(1,1)，圓的半徑為122＋22＝2，2因此圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.圓的一般方程：注意表示圓的條件．(1)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是________．2答案：－2<a<3剖析：∵方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，2解得－2<a<3.圓x2＋y2－2ax＋4y＋a＝0的半徑為2，則a＝________.答案：0或1剖析：由題意可知，142＋16－4＝a2－＋4＝2，解得＝0或1，2aaaa經(jīng)檢驗(yàn)都滿足題意，因此a＝0或1.[典題1](1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2,4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6的圓的方程．[解]設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，-2-將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得2D－4E－F＝20，①3D－E＋F＝－10.②又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④D＝－2，D＝－6，由①②④解得E＝－4，或E＝－8，F(xiàn)＝－8F＝0.故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.(2)圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為23，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解]解法一：由于圓C的圓心在直線－2＝0上，且與y軸的正半軸相切，xy因此設(shè)圓心C(2b，b)(b>0)，半徑r＝2b.又圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為23，圓心C到x軸的距離為，b因此由勾股定理b2－b2＝3，解得b＝1.因此圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.解法二：由于圓C的圓心在直線x－2y＝0上，設(shè)圓心C(2b，b)，因此圓C的方程為(x－2b)2＋(y－b)2＝r2，由于圓C與y軸正半軸相切，則r＝2>0.①b又圓C截x軸所得弦的長(zhǎng)為23，由勾股定理，得圓心C到x軸的距離為r2－b2＝3.②聯(lián)立①②，得b＝1，r＝2.因此圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.[點(diǎn)睛之筆]求圓的方程時(shí)，應(yīng)依照條件采用合適的圓的方程．一般來(lái)說(shuō)，求圓的方程有兩種方法：幾何法，經(jīng)過(guò)研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量．確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線．代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．考點(diǎn)2與圓有關(guān)的最值問(wèn)題-3-[考情聚焦]與圓有關(guān)的最值問(wèn)題也是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，它重視觀察數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)變思想．主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一斜率型最值問(wèn)題[典題2][2017·遼寧撫順模擬]已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程2＋2－4＋1＝0，求y的最大xyxx值和最小值．[解]原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，3為半徑的圓．yx的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，y因此設(shè)x＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)(如圖)，斜率k取最大值或最小值，|2k－0|3，此時(shí)＝k2＋1解得k＝±3.y因此x的最大值為3，最小值為－3.角度二截距型最值問(wèn)題[典題3]在[角度一]條件下求y－x的最大值和最小值．[解]y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，以下列圖，-4-|2－0＋b|當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b獲取最大值或最小值，此時(shí)＝3，2解得b＝－2±6.因此y－x的最大值為－2＋6，最小值為－2－6.角度三距離型最值問(wèn)題[典題4]在[角度一]條件下求x2＋y2的最大值和最小值．[解]以下列圖，x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處獲取最大值和最小值．又圓心到原點(diǎn)的距離為－2＋－2＝2，因此x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.角度四建立目標(biāo)函數(shù)求最值問(wèn)題[典題5]已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m,0)，B(m,0)(m＞0)．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為()A．7B．6C．5D．4[答案]B[剖析]由(x－3)2＋(y－4)x0＝3＋cosθ，2＝1知，圓上點(diǎn)P(x0，y0)可化為y0＝4＋sinθ.→→∵∠APB＝90°，即AP·BP＝0，∴(x0＋)(x0－)＋20＝0，mmy222θ00326＋10sin(θ＋φ)≤36其中tanφ＝4，∴0＜m≤6，即m的最大值為6.[點(diǎn)睛之筆]求解與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的兩大規(guī)律-5-借助幾何性質(zhì)求最值辦理與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并依照代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解．建立函數(shù)關(guān)系式求最值依照題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，爾后依照關(guān)系式的特色采用參數(shù)法、配方法、鑒識(shí)式法等，利用基本不等式求最值是比較常用的．考點(diǎn)3與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題1(1)[教材習(xí)題改編]已知點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)O(0,0)，A(－3,3)的距離之比為2，則點(diǎn)P的軌跡方程是________．答案：x2＋y2－2x＋2y－6＝0||1剖析：依題意，得PO＝.|PA|2設(shè)P(x，y)，則x2＋y21x＋2＋y－2＝2，整理得x2＋y2－2x＋2y－6＝0.(2)[教材習(xí)題改編]若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：(－1,1)剖析：由于點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)22＝4的內(nèi)部，因此222＋(y＋a)(1－a)＋(1＋a)<4，即a<1，故－1<a<1.求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：幾何法．經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(4,0)，B(0,2)，C(1,3)的圓的方程為_(kāi)_______．答案：(x－2)2＋(y－1)2＝53－23－0剖析：由于kBC·kAC＝1－0·1－4＝－1，因此AC⊥BC，因此△ABC是直角三角形，AB是斜邊，-6-1122因此所求圓的圓心坐標(biāo)為(2,1)，半徑r＝2|AB|＝24＋2＝5，因此所求圓的方程為(x－2)2＋(－1)2＝5.y2．求圓的一般方程：待定系數(shù)法．△ABC的三個(gè)極點(diǎn)分別為A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，其外接圓的方程為_(kāi)_______．答案：x2＋y2－4－2－20＝0xy剖析：解法一：設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.－D＋5E＋F＋26＝0，由題意有－2D－2E＋F＋8＝0，5D＋5E＋F＋50＝0，D＝－4，解得E＝－2，F(xiàn)＝－20.故所求圓的方程為x2＋y2－4x－2y－20＝0.解法二：由題意可求得線段AC的中垂線方程為x＝2，線段BC的中垂線方程為x＋y－3＝0，則圓心是兩中垂線的交點(diǎn)(2,1)，半徑r＝＋2＋－2＝5.故所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝25.[典題6]設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡．[解]以下列圖，設(shè)(，)，(0，0)，PxyNxyy則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為2，2，0－3y0＋4線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為2，2.由于平行四邊形的對(duì)角線互相均分，x0－3yy0＋4故2＝2，2＝2.-7-x0＝x＋3，進(jìn)而y0＝y(tǒng)－4.又N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求軌跡為圓(x＋3)2＋(y－4)2＝4，9122128但應(yīng)除去兩點(diǎn)－5，5和－5，5(點(diǎn)P在直線OM上時(shí)的情況)．[點(diǎn)睛之筆]求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，依照題設(shè)條件的不同樣常采用以下方法：直接法：直接依照題目供應(yīng)的條件列出方程．定義法：依照?qǐng)A、直線等定義列方程．幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．(4)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等.已知圓x2＋y2＝4上必然點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．解：(1)設(shè)的中點(diǎn)為(，)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x－2,2y)．APMxy由于點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，因此(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，因此|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，因此x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.[方法技巧]1.求圓的方程時(shí)，應(yīng)依照條件采用合適的圓的方程．一般來(lái)說(shuō)，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法，經(jīng)過(guò)研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量．(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解．2．解答圓的問(wèn)題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算．3．圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線上．4．圓心在任一弦的中垂線上．-8-5．兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線．[易錯(cuò)防范]求軌跡方程和求軌跡是有區(qū)其余，求軌跡方程得出方程即可，而求軌跡在得出方程后還要指明軌跡表示什么曲線．真題演練集訓(xùn)1．[2015·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ]一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓x2y2x軸的正＋＝1的三個(gè)極點(diǎn)，且圓心在164半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．32225答案：x－2＋y＝4剖析：由題意知，a＝4，＝2，上、下極點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，－2)，右極點(diǎn)的坐b標(biāo)為(4,0)．由圓心在x軸的正半軸上知，圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，(0，－2)，(4,0)三點(diǎn)．設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，22＝3，m＋4＝r，2則－m2＝r2，解得25r2＝4.－32225因此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y＝4.2．[2014·陜西卷]若圓C的半徑為1，其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．答案：x2＋(y－1)2＝1剖析：由于點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)，因此所求圓的圓心為(0,1)，半徑為1，于是圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝1.3．[2016·江蘇卷]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以為圓心的圓：2＋2－12MMxyx14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2,4)．設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)平行于OA的直線l與圓M訂交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程；→→設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得TA＋TP＝TQ，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．解：圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25，-9-因此圓心M(6,7)，半徑為5.由圓心N在直線x＝6上，可設(shè)N(6，y0)．由于圓N與x軸相切，與圓M外切，因此0<y0<7，于是圓N的半徑為y0，進(jìn)而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1.4－0由于直線l∥OA，因此直線l的斜率為2－0＝2.設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，則圓心到直線l的距離M|2×6－7＋||＋5|d＝＝5.5由于BC＝OA＝22＋42＝25，22BC2而MC＝d＋2，m＋2因此25＝＋5，解得＝5或＝－15.5mm故直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)．→→由于A(2,4)，T(t,0)，TA＋TP＝TQ，x2＝x1＋2－t，因此①y2＝y(tǒng)1＋4.由于點(diǎn)Q在圓M上，因此(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②將①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.于是點(diǎn)P(x1，y1)既在圓M上，又在圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，進(jìn)而圓(x－6)2＋(y－7)2＝25與圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共點(diǎn)，因此5－5≤t＋－6]2＋－2≤5＋5，解得2－221≤t≤2＋221.因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是[2－221，2＋221]．課外拓展閱讀-10-圓中防范求“交點(diǎn)”的幾種策略有關(guān)圓錐曲線與圓的交點(diǎn)問(wèn)題，若用解方程組的方法求出交點(diǎn)坐標(biāo)，經(jīng)常比較繁瑣，有些甚至沒(méi)有必要，下面舉例介紹如何防范求“交點(diǎn)”的幾種策略：1．整體代入法[典例1]已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交于兩點(diǎn)A，B，則公共弦AB所在的直線方程為_(kāi)_______．[剖析]設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0任一交點(diǎn)的坐標(biāo)是(x0，y0)，2則x0＋y0＋D1x0＋E1y0＋F1＝0，①220＋y0＋D2x0＋E2y0＋F2＝0.②①－②，得(D1－D2)x0＋(E1－E2)y0＋(F1－F2)＝0，由于A，B的坐標(biāo)都滿足方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，③因此③是過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線方程．而過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線是唯一的，故方程③就是公共弦AB所在的直線方程．[答案](D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝02．?dāng)?shù)形結(jié)合法[典例2]已知曲線xy＝1與圓M：x2＋y2－4x－4y＋3＝0訂交于A，B兩點(diǎn)，則AB的中垂線方程為_(kāi)_______．[剖析]曲線xy＝1是反比率函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)，而圓M的圓心(2,2)在直線y＝x上，就是說(shuō)圓M也關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)，故AB的中垂線方程為y＝x.[答案]y＝x方法點(diǎn)睛數(shù)形結(jié)合思想，經(jīng)過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”