小學(xué)數(shù)學(xué)講義暑假五年級(jí)第12講分組與配對(duì)超常體系

講站牌五年級(jí)秋季何計(jì)數(shù)進(jìn)階春季情況考慮級(jí)春季級(jí)暑假與配對(duì)級(jí)秋季最優(yōu)化問(wèn)題中的分與配對(duì)釋義第9級(jí)上超常體系教師版1引入我國(guó)歷史上有許多以弱勝?gòu)?qiáng)的著名戰(zhàn)例，齊魏馬陵之戰(zhàn)就是其中之一．公元前344年，魏國(guó)大舉進(jìn)攻韓國(guó)，齊王派田忌和孫臏率兵救援韓國(guó)．孫臏并不直接出兵韓國(guó)，卻采取了“圍魏救趙”的策略，驅(qū)軍直逼魏國(guó)的都城．魏將龐涓不得不回師迎戰(zhàn)齊軍．魏軍一路追擊齊軍，龐涓看見(jiàn)齊軍宿營(yíng)地的灶一天天在減少，根據(jù)灶的數(shù)目可以推算出齊軍的數(shù)目，斷定齊軍已經(jīng)嚴(yán)重減員．便輕騎冒進(jìn)，猛打窮追．殊不知這原來(lái)是孫臏的“增兵減灶”之計(jì)，結(jié)果龐涓中了齊軍的埋伏，全軍覆滅．將茶具和茶葉放在一起，當(dāng)我們要使用這些東西的時(shí)候就會(huì)非常方便；而在數(shù)學(xué)中，我們習(xí)慣把1例子體現(xiàn)了我們數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的思想——分組與配對(duì)．利用了分組配對(duì)的思想快速解決了復(fù)雜的計(jì)算．目標(biāo)1.掌握分組與配對(duì)的思想2.靈活運(yùn)用分組與配對(duì)，解決計(jì)數(shù)，數(shù)論等問(wèn)題．精講1.計(jì)算中將一些和、差、積是整十、整百、整千……的數(shù)分成一組一組優(yōu)先計(jì)算可以提高我們計(jì)算的速度以及準(zhǔn)確度．2.在一些數(shù)論或者組合問(wèn)題中，將一些具有相同特征的對(duì)象分到一組一起考慮可以讓思路更加清晰．思路．2 第9級(jí)上超常體系教師版 1計(jì)算：(1)1000999-998-997996995-994-993

108107-106-105104103-102-101(2)（1351989）-（2461988）(3)100299298297296295294293242322212(4)100250299249298248251212(：1)【分析】(1)原式1002 99

42 22

=4100(4)法1：直接配公式 992 982 512 502 492 12 2 502 492

=3383500=252500法2：配對(duì)思想1002

992492

=(10099981)50505050252500法3：配對(duì)思想2 2

982-22

2 2

2

=100298100961009410021002500=(1009896942)1002500=255000－2500=2525002 1319 25313743495561 142026323844505662 152127333945515763410162228344046525864511172329354147535965(學(xué)案對(duì)應(yīng)：帶號(hào)1)較慢，這里不寫(xiě)具體過(guò)程）第9級(jí)上超常體系教師版3法2：先算出1到65的自然數(shù)和，再減去數(shù)列6，12，18，，60的和：法3：每一行或者每一列的和均構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，利用等差數(shù)列和中間項(xiàng)項(xiàng)數(shù)．⑵第3行為中間數(shù)列，求和再乘以項(xiàng)數(shù)：（39152127333945515763）5181533551815．3由數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？這些四位數(shù)的和是多少？【分析】9個(gè)數(shù)字共可構(gòu)成9×8×7×6=3024個(gè)不同的四位數(shù)．當(dāng)存在符合條件的四位數(shù)abcd時(shí)，因此所有符合條件的數(shù)之和為3024÷2×11110=16798320高斯的恩人在成長(zhǎng)過(guò)程中，幼年的高斯主要得力于母親和舅舅：高斯的母親羅捷雅和舅舅弗利德里希Friederich于紡織貿(mào)易頗有成就。他發(fā)現(xiàn)姐姐的兒子聰明伶俐，因此他就把一部分精力花在這位小天才身上，用生動(dòng)活潑的方式開(kāi)發(fā)高斯的智力。若干年后，已成年并成就顯赫的高斯回想起舅舅為他所做的一切，深感對(duì)他成才之重要。當(dāng)舅舅去世后，高斯不無(wú)傷感地說(shuō):“舅舅去世使我們失去了一位天才”。正是由于弗利德里?；垩圩R(shí)英才，經(jīng)常勸導(dǎo)姐夫讓孩子向?qū)W者方面發(fā)展，才使得高斯沒(méi)有成為園丁或泥瓦匠。4有多少種不同的選法．【分析】1+2+3+4+5+6=21，21是3的倍數(shù)．因此選出和為3的方法與選出和為18的方法相同；和4 第9級(jí)上超常體系教師版構(gòu)成(100-a)分．因此只需要考慮50以?xún)?nèi)不能構(gòu)成的幣值即可．49中間的所有奇數(shù)．因此50以?xún)?nèi)不能構(gòu)成的幣值為1，3分．50以上不能構(gòu)成的幣值為100-1=99和100-3=97分．共有4種不能構(gòu)成的幣值． 種不同選法.【分析】因?yàn)?239192945，所以這9個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)，因此，只需要剩①?gòu)?、6、9中任選2個(gè)有3種不同選法.種不同選法.5有四人的體重都是整千克數(shù)他們兩兩合稱(chēng)體重共稱(chēng)了五次稱(chēng)得的千克數(shù)分別99113、125130、144.其中有兩人沒(méi)有一起稱(chēng)過(guò)那么這兩人中較重的那個(gè)人的體重是多少千克(學(xué)案對(duì)應(yīng)：超常3)【分析】本題考查配對(duì)思想.設(shè)四個(gè)人的體重為a,b,c,d不妨設(shè)abcd，則(ab)(cd)(ac)(bd)(ad)(bc)注意到99144113130243，由于四人兩兩稱(chēng)重最多稱(chēng)出6個(gè)體重（前提是4人體重ab144acbd130 cd

，還剩ad與bc的取值，由前面的方程組得，

ad31為奇數(shù)，所以ad125，解得a78,d47，從而b66,c52，兩人沒(méi)一起稱(chēng)過(guò)，顯然是和為118的兩人，這只能是b,c，所以，這兩人中較重的那人的體重是66千克.6某大型活動(dòng)共發(fā)行了100萬(wàn)張彩票，編號(hào)分別從000000至999999，如果彩票的前三位數(shù)字之和與和是13的倍數(shù)．(學(xué)案對(duì)應(yīng)：帶號(hào)3)是13第9級(jí)上超常體系教師版57【分析 a為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)時(shí)，328

也是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)．而這兩個(gè)數(shù)之和為1.因此此題變?yōu)橄惹蟪龇肿优c328互質(zhì)的數(shù)有多少個(gè)，再除以2即可．3282341,與328互質(zhì)且小于328的數(shù) 2

個(gè)．所以和為160÷2=808最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)可以寫(xiě)成

，試說(shuō)明m是質(zhì)數(shù)137的倍數(shù).【分析】我們要湊到137.于是我們想到

7130

131!m137nM，其中M是自然數(shù).由于137是一個(gè)質(zhì)數(shù)，且(131!,137)1，所以m是137斯智斷瓶中線卡爾?弗利德里希?高斯（1777－1855年）是德國(guó)19世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。的幾個(gè)小伙子很不服氣，決心要為難他一下。一個(gè)陽(yáng)光明媚的中午，小伙子們聚到一起冥思苦想，終于想出了一道難題。他們用一根細(xì)棉線系上一塊銀幣，然后再找來(lái)一個(gè)非常薄的玻璃瓶，把銀幣懸空垂放在瓶中，瓶口用瓶塞塞住，棉線的另一頭也系在瓶塞上。準(zhǔn)備捧著書(shū)本，拿著放大鏡東游西逛，一副蠻有學(xué)問(wèn)的樣子，你那么有本事，能不碰破瓶子，不去掉瓶塞，把瓶中的棉線弄斷嗎？”你知道高斯是怎么弄到瓶中線嗎？答案：高斯無(wú)意地看到明媚的陽(yáng)光，又望了望那個(gè)瓶子，從口袋里拿出一面放大鏡，瓶底，大家發(fā)現(xiàn)棉線被燒斷了。6 第9級(jí)上超常體系教師版點(diǎn)總結(jié)1.計(jì)算中將一些和、差、積是整十、整百、整千……的數(shù)分成一組一組優(yōu)先計(jì)算可以提高我們計(jì)算的速度以及準(zhǔn)確度．2.在一些數(shù)論或者組合問(wèn)題中，將一些具有相同特征的對(duì)象分到一組一起考慮可以讓思路更加清晰．作業(yè)1.100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和是8450,取其中第1個(gè),第3個(gè),第5個(gè),…,第99個(gè)(按從小到大的順序取),再把這50個(gè)數(shù)相加,和是多少？12.下列數(shù)陣中有100個(gè)數(shù)，它們的和是多少？111213121314131415

192020212122 2021222829慢，這里不再寫(xiě)具體過(guò)程）法2：每一行或者每一列的和均構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和計(jì)算．2040，所以這100個(gè)數(shù)的平均數(shù)是20，這100個(gè)數(shù)之和201002000．3.將自然數(shù)1，2，3，…，100依次無(wú)間隔地寫(xiě)成一個(gè)多位數(shù)：12345…99100，求這個(gè)多位數(shù)的所有數(shù)字之和．950)，(99)，(100)．這樣前50組每組的數(shù)字和均為18，最后一組和為1，數(shù)字之和為50×18+1=9014.從1，2，3，4，5，6中選取若干個(gè)數(shù)（至少選一個(gè)），使得它們的和是3的倍數(shù)，但不是5的倍數(shù)．那么共有 【分析】1+2+3+4+5+6=21，21是3的倍數(shù)．因此選出和為3的方法與選出和為18的方法相同；和第9級(jí)上超常體系教師版7共2(2+5)+4+1=19種不同的選法．5.有五個(gè)重量都互不相同的箱子，每個(gè)的重量都小于100kg，將這些箱子兩兩組合一起稱(chēng)重，得到的結(jié)果分別為113,116,110,117,112,118,114,121,120與115kg.請(qǐng)問(wèn)最重的箱子的重量為多少kg？【分析】設(shè)五個(gè)箱子的重量分別為a,b,c,d,e，且abcde．因?yàn)槊總€(gè)箱子都被算了4次，因此 另外，由題意可知de121

62kg6.某大型活動(dòng)共發(fā)行了9999張彩票，編號(hào)分別從0001至

.因此所以“幸運(yùn)的”彩票編號(hào)之和為(50+1)×9999=5099497.分母為1996的所有最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)之和是多少？【分析 a為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)時(shí)，1996】當(dāng)1996

÷2=498.8.已知有一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)可以寫(xiě)成

，試說(shuō)明m是質(zhì)數(shù)2011的倍數(shù).

1

201112010

201122009

201132008

201110051006是一個(gè)質(zhì)數(shù)，且(2010!,2011)1，所以m是2011的倍數(shù).班學(xué)案【超常班學(xué)案1】定義如下運(yùn)算：

ab

baba

,

baba

，那么8 第9級(jí)上超常體系教師版

ba baba ba

序，我們將所要求的算式中形如(ab)，(ab)的配成一對(duì)，先相乘，可以得到1【超常班學(xué)案2】將自然數(shù)1，2，3，…，369依次無(wú)間隔地寫(xiě)成一個(gè)多位數(shù)：12345…368369，求這個(gè)多位數(shù)的所有數(shù)字之和.【分析】求數(shù)字和時(shí)，湊“9”是個(gè)關(guān)鍵的想法．此題中可將數(shù)分成兩部分，—29單獨(dú)計(jì)算，分組如下(，282，27，26)，…，(1529)；30--分組如下：(，369(3136832，367，20015×11+21170=3735所有可能．AB,AC,AD,BC,BD,CD 88187121154275.不妨設(shè)ABCD,則有：AB88CD187AC121BD154從上面可發(fā)現(xiàn)C-B=121-88=33,所以C+B必為奇數(shù)．進(jìn)而可知129,143中必有一個(gè)是C+B綜上所述,一共有兩種可能：40、48、81、106或33、55、88、99.【超常班學(xué)案4】試說(shuō)明：將和1

m時(shí)，m不會(huì)是5的倍數(shù).5

25A

，其他的分?jǐn)?shù)的分子都是數(shù).

1 2 25A 25A

5x26 25A

.

5的倍數(shù).進(jìn)而有原式

5BA25A

，其中B是一個(gè)自然數(shù).而A是不能被5整除的自然數(shù)，所以5BA化簡(jiǎn)之后的m也不能被5整除.第9級(jí)上超常體系教師版9123班學(xué)案190119021903190419021903190419051903190419051906

52 194819491950195119491950195119529798【分析】法1：我們不難看出，每一行、每一列都是一個(gè)等差數(shù)列，通過(guò)觀察，每一列的相鄰兩個(gè)列，那么最后一行的和為：9627550（491）98675，所以，方陣中所有數(shù)的總和為（9627598675）4924776275．13個(gè)數(shù)，…，9個(gè)數(shù)，先求每次取出數(shù)的和，再求出所有和的總和．則這個(gè)總和是多少？,(0,9,(1,8(2,7(3,6,4,5次．總和為512÷2×45=11520運(yùn)的”彩票編號(hào)之和．的情況．因此所有“幸運(yùn)的”編號(hào)之和為999999的倍數(shù)．a(chǎn)bc可以從00