不定積分的幾何意義公開(kāi)課一等獎(jiǎng)省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎(jiǎng)?wù)n件

第五章不定積分1引言

積分學(xué)分為不定積分與定積分兩部分．不定積分是作為函數(shù)導(dǎo)數(shù)反問(wèn)題提出，而定積分是作為微分無(wú)限求和引進(jìn)，二者概念不相同，但在計(jì)算上卻有著緊密內(nèi)在聯(lián)絡(luò)．2

本章主要研究不定積分概念、性質(zhì)及基本積分方法，主要有湊微分法，變量置換法，以及分部積分法.3本章主要內(nèi)容：第一節(jié)原函數(shù)與不定積分第二節(jié)湊微分法第三節(jié)變量置換法第四節(jié)分部積分法45.1.1不定積分概念5.1.2不定積分基本公式和運(yùn)算法則第一節(jié)原函數(shù)與不定積分5在小學(xué)和中學(xué)我們學(xué)過(guò)逆運(yùn)算：如：加法逆運(yùn)算為減法乘法逆運(yùn)算為除法指數(shù)逆運(yùn)算為對(duì)數(shù)5.1.1不定積分概念問(wèn)題提出6微分法:積分法:互逆運(yùn)算設(shè)已知設(shè)已知反問(wèn)題呢？7定義若在某一區(qū)間上，F(xiàn)′(x)＝f(x)，則在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)F（x）叫做函數(shù)f(x)一個(gè)原函數(shù)（primitivefunction）8

一個(gè)函數(shù)原函數(shù)并不是唯一，而是有沒(méi)有窮多個(gè)．比如，(sinx)′＝cosx所以sinx是cosx一個(gè)原函數(shù)，而sinx＋C（C能夠取任意多常數(shù)）

是cosx無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)．9

普通，若F′(x)＝f(x),F(x)是f(x)一個(gè)原函數(shù)，則等式[F(x)+C]′＝F′(x)＝f(x)成立（其中C為任意常數(shù)），從而一簇曲線(xiàn)方程F(x)＋C是f(x)無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)．10問(wèn)題提出

假如一個(gè)函數(shù)f(x)在一個(gè)區(qū)間有一個(gè)原函數(shù)F(x)，那么f(x)就有沒(méi)有窮多個(gè)原函數(shù)存在，無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)是否都有一致表示式F(x)＋C呢？11定理若F(x)是f(x)一個(gè)原函數(shù)，則f(x)全部原函數(shù)都能夠表示成F(x)＋C（C為任意常數(shù)）．思索：怎樣證實(shí)？12x稱(chēng)為積分變量f(x)稱(chēng)為被積函數(shù)，f(x)dx稱(chēng)為被積表示式其中∫稱(chēng)為積分號(hào)，C稱(chēng)為積分常數(shù)定義若F(x)是f(x)一個(gè)原函數(shù)，則f(x)全部原函數(shù)F(x)＋C稱(chēng)為f(x)不定積分（indefiniteintegral）,記為∫f（x）dx＝F（x）＋C13

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)不定積分F(x)＋C中含有任意常數(shù)C，所以對(duì)于每一個(gè)給定C，都有一個(gè)確定原函數(shù)，在幾何上，對(duì)應(yīng)地就有一條確定曲線(xiàn)，稱(chēng)為f(x)積分曲線(xiàn)．因?yàn)镃能夠取任意值，所以不定積分表示f(x)一簇積分曲線(xiàn)，即F(x)＋C．二、不定積分幾何意義14

因?yàn)镕′(x)＝f(x)，這說(shuō)明，在積分曲線(xiàn)簇每一條曲線(xiàn)中，對(duì)應(yīng)于同一個(gè)橫坐標(biāo)x＝x０點(diǎn)處有相同斜率f(x０)，所以對(duì)應(yīng)于這些點(diǎn)處，它們切線(xiàn)相互平行，任意兩條曲線(xiàn)縱坐標(biāo)之間相差一個(gè)常數(shù)．所以，積分曲線(xiàn)簇y＝F(x)＋C中每一條曲線(xiàn)都能夠由曲線(xiàn)y＝F(x)沿y軸方向上、下移動(dòng)而得到二、不定積分幾何意義15二、不定積分幾何意義165.1.2不定積分基本公式和運(yùn)算法則一、不定積分基本公式

由不定積分定義可知，不定積分就是微分運(yùn)算逆運(yùn)算．所以，有一個(gè)導(dǎo)數(shù)或微分公式，就對(duì)應(yīng)地有一個(gè)不定積分公式．17基本積分表181920關(guān)于不定積分，還有以下等式成立：１［∫f(x)dx］′＝f(x)

或

d∫f(x)dx＝f(x)dx

∫F′(x)dx＝F(x)＋C或∫dF(x)＝F(x)＋C21二、不定積分運(yùn)算法則１不為零常數(shù)因子，可移動(dòng)到積分號(hào)前∫af(x)dx＝a∫f(x)dx（a≠０）２兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和積分等于函數(shù)積分代數(shù)和∫[f(x)±g(x)］dx＝f(x)dx±∫g(x)dx22小結(jié):本節(jié)給出了不定積分定義、幾何意義和基本公式及運(yùn)算法則。23練習(xí)24課堂思索不對(duì)，比如乘法成立嗎除法呢25利用基本積分公式及不定積分性質(zhì)直接計(jì)算不定積分，有時(shí)很困難，所以，需要引進(jìn)一些方法和技巧。以下幾節(jié)介紹幾個(gè)慣用積分法.26

第二節(jié)湊微分法

有一些不定積分，將積分變量進(jìn)行一定變換后，積分表示式因?yàn)橐M(jìn)中間變量而變?yōu)樾滦问?，而新積分表示式和新積分變量可直接由基本積分公式求出不定積分來(lái).27比如想到基本積分公式若令u＝４x，把４x看成一個(gè)整體（新積分變量），這個(gè)積分可利用基本積分公式算出來(lái)28例u=2x29微分法湊則有換元公式設(shè)有原函數(shù)30例求解：原式=31例求解：原式=32例求解：原式=33類(lèi)似可得

34

第三節(jié)變量置換法湊微分方法，是把一個(gè)較復(fù)雜積分化成便于利用基本積分公式形式，不過(guò)，有時(shí)不易找出湊微分式，卻能夠設(shè)法作一個(gè)代換x＝φ(t)，而積分∫f(x)dx＝∫f［φ(t)］φ′(t)dt可用基本積分公式求解35定理設(shè)f(x)連續(xù)，x＝φ(t)是單調(diào)可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)，且其導(dǎo)數(shù)φ′(t)≠０，x＝φ(t)反函數(shù)t＝φ-1(x)存在且可導(dǎo)，而且∫f[φ(t)]φ′(t)dt＝F(t)＋C則∫f(x)dx＝F[φ-1(x)]＋C36例求解:令則∴原式37例求解:令則∴原式38例求解:令則∴原式39令于是40小結(jié)：被積函數(shù)含有時(shí),

或可采取三角代換消去根式

41

第四節(jié)分部積分法

假如u＝u(x)與v＝v(x)都有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則由函數(shù)乘積微分公式d(uv)＝vdu＋udv移項(xiàng)得udv＝d(uv)－vdu從而∫udv＝uv－∫vdu或∫udv＝uv－∫vu′dx這個(gè)公式叫作分部積分公式，當(dāng)積分∫udv不易計(jì)算，而積分∫vdu比較輕易計(jì)算時(shí)，就能夠使用這個(gè)公式．42例求解:令則∴原式在計(jì)算方法熟練后，分部積分法替換過(guò)程能夠省略43例求不定積分解：原式44例求解：原式45例求解:原式=思索：怎樣求46小結(jié):分部積分法主要處理被積函數(shù)是兩類(lèi)不一樣類(lèi)型函數(shù)乘積形式一類(lèi)積分問(wèn)題，比如這些形式：∫P(x)eaxdx∫P(x)lnmxdx∫P(x)cosmxdx∫P(x)sinmxdx∫sinmxeaxdx……其中m為正整數(shù)，a為常數(shù)，P（x）為多項(xiàng)式正確選取u(x)，v(x)，會(huì)使不定積分∫v(x)du(x)＝∫v(x)u′(x)dx變得愈加簡(jiǎn)單易求。47第五節(jié)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例這一節(jié)主要介紹不定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用，即已知邊際函數(shù)，求總經(jīng)濟(jì)量函數(shù)。5.5.1已知總產(chǎn)量改變率，求總產(chǎn)量函數(shù)

已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量關(guān)于時(shí)間改變率為即

則該產(chǎn)品總產(chǎn)量為：

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例某產(chǎn)品總產(chǎn)量改變率是時(shí)間函數(shù)：

求總產(chǎn)量函數(shù)。49解：因?yàn)榭偖a(chǎn)量函數(shù)是總產(chǎn)量改變率原函數(shù)，所以因?yàn)楫?dāng)初間

時(shí)，總產(chǎn)量

所以

于是總產(chǎn)量函數(shù)為

505.5.2已知邊際函數(shù)，求總經(jīng)計(jì)量函數(shù)（1）已知某產(chǎn)品邊際成本為

則該產(chǎn)品成本函數(shù)為51

（2）已知某產(chǎn)品邊際收益為

則銷(xiāo)售該產(chǎn)品總收益函數(shù)為52（3）已知某產(chǎn)品邊際需求為

則該產(chǎn)品需求量與價(jià)格關(guān)系函數(shù)為一樣方法還能夠求平均成本函數(shù)，總利潤(rùn)函數(shù)等。53例已知某產(chǎn)品邊際成本為

固定費(fèi)用為40萬(wàn)元，求總成本函數(shù)。54解:因?yàn)榭偝杀竞瘮?shù)與邊際成本關(guān)系為：

所以

由題意可知：當(dāng)

時(shí)，所以

55所以，總成本函數(shù)為

56例已知某產(chǎn)品邊際收益為

，且銷(xiāo)售量

為0時(shí)，

其收益為0.求：