空間纜索懸索橋的主纜線形分析

空間纜索懸索橋的主纜線形分析空間纜索懸索橋是由主纜和吊索形成的三維索系，其外形美觀，改善了結(jié)構(gòu)的橫向受力性能及動(dòng)力穩(wěn)定性，受到了設(shè)計(jì)者的青睞。目前空間纜索懸索橋多用于城市自錨式懸索橋，由于空間纜索體系有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)，將來(lái)大跨徑懸索橋也可能采用空間纜索體系。一、空間主纜成橋線形計(jì)算方法主纜線形的精確計(jì)算直接決定了主纜的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度、吊點(diǎn)位置及吊索的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度，進(jìn)而影響橋面線形及橋塔偏位，因此準(zhǔn)確計(jì)算主纜線形至關(guān)重要。目前主纜的計(jì)算理論按照假定不同分為傳統(tǒng)拋物線理論、分段拋物線理論、分段直線理論及分段懸鏈線理論。在忽略主纜抗彎剛度影響將其當(dāng)作柔性索處理時(shí)，分段懸鏈線理論的假定最符合實(shí)際情況，是最為精確的理論，本文即以空間分段懸鏈線理論為基礎(chǔ)建立空間主纜線形的計(jì)算方法?；诜侄螒益溇€理論的空間索段的狀態(tài)方程、分點(diǎn)力學(xué)平衡方程及幾何相容方程即構(gòu)成了空間纜分段懸鏈線理論的基本方程。只要各索段的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度和一個(gè)支點(diǎn)的三向分力確定，則可根據(jù)上述方程計(jì)算出懸索各分點(diǎn)的內(nèi)力和坐標(biāo)，本跨主纜的線形就完全確定了。對(duì)空間纜索體系懸索橋，當(dāng)?shù)跛髫Q向分力及主纜控制點(diǎn)坐標(biāo)給定時(shí)，主纜的線形便是唯一確定的。空間主纜的橫向矢跨比不能任意給定，即在一組確定的吊索豎向分力的作用下，其橫向矢跨比應(yīng)是一定值，對(duì)應(yīng)著一組唯一確定的吊索橫向分力。因空間主纜線形和吊索力是耦合的，所以空間主纜線形的計(jì)算必須同時(shí)考慮吊索的影響，不能將吊索和主纜分開來(lái)處理?？臻g纜索的吊索是傾斜的，和主纜一樣吊索也應(yīng)當(dāng)作懸鏈線來(lái)計(jì)算，這樣得到的吊索分力便是精確值。在主纜線形迭代計(jì)算中，根據(jù)吊索上、下吊點(diǎn)坐標(biāo)(上吊點(diǎn)由當(dāng)前主纜分點(diǎn)坐標(biāo)確定)、吊索下吊點(diǎn)豎向分力，采用Newton-Raphson法可迭代計(jì)算出吊索的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度及下吊點(diǎn)水平力分量。懸索橋成橋線形的計(jì)算順序總是先中跨，后邊跨最后錨跨。即先由中跨計(jì)算得出主纜縱橋向水平分力，根據(jù)塔頂兩側(cè)縱橋向水平分力相等的原則計(jì)算邊跨，再根據(jù)散索鞍的平衡條件計(jì)算錨跨。以中跨為例說(shuō)明空間主纜線形的迭代算法，其計(jì)算流程如圖1，具體計(jì)算方法如下:（1）按拋物線理論計(jì)算主纜始端(左鞍座IP點(diǎn))的三向分力FXL，F(xiàn)YL，F(xiàn)ZL作為迭代變量初值;（2）從左向右對(duì)各索段進(jìn)行計(jì)算，對(duì)第i索段由左端三向分力FXi，F(xiàn)Yi，F(xiàn)Zi及兩端縱橋向坐標(biāo)差LXi由索段狀態(tài)方程可計(jì)算出索段無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度Si0及LYi，LZi，同時(shí)得到索段右端坐標(biāo);（3）對(duì)第i號(hào)吊索，由2)計(jì)算出的上吊點(diǎn)坐標(biāo)及已知的下吊點(diǎn)坐標(biāo)、下吊點(diǎn)豎向分力，由假定成橋狀態(tài)吊索僅在橫向平面內(nèi)傾斜知下吊點(diǎn)處縱向水平分力為零，可計(jì)算出該吊索無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度及上吊點(diǎn)處的吊索力分量;（4）由力學(xué)平衡條件可得第i+1索段的左端三向分力，按相同的方法計(jì)算各索段的無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度、右端坐標(biāo)、吊索無(wú)應(yīng)力長(zhǎng)度及上吊點(diǎn)分力，直到第N索段;（5）以主纜末端(右鞍座IP點(diǎn))的Y，Z坐標(biāo)及跨內(nèi)指定點(diǎn)的Y向坐標(biāo)為目標(biāo)變量，利用修正的影響矩陣法獲得迭代變量的增量，反復(fù)迭代直到目標(biāo)變量誤差小于允許值為止。在迭代計(jì)算中，首先要確定迭代變量(即主纜始端三向分力)的初值。如果初值選取不當(dāng)，可能造成收斂速度慢甚至不收斂，因此選取合理的迭代初值是確保迭代快速收斂的必要條件。假定空間主纜在橋軸線所在的豎平面及水平面的投影均為拋物線，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)假定橫橋向矢跨比為半橋?qū)挼?.65～0.80倍，將吊索當(dāng)作直桿處理，根據(jù)上、下吊點(diǎn)坐標(biāo)及吊索豎向分力來(lái)確定吊索橫向分力。則可根據(jù)拋物線理論計(jì)算迭代變量的初值，計(jì)算公式如下式中，l為跨徑;q為主纜自重荷載集度;w為沿跨長(zhǎng)的等效均布荷載;C為兩支點(diǎn)高差;f為跨中垂度;S為主纜形狀長(zhǎng)度;Yi，Zi，Ymi，Zmi為上、下吊點(diǎn)的豎向及橫向坐標(biāo);PYi，PZi為吊索的豎向分力和橫向分力。二、修正的影響矩陣法采用數(shù)值解析法計(jì)算主纜線形時(shí)，不管是成橋狀態(tài)還是空纜狀態(tài)，均存在一個(gè)非線性迭代的問(wèn)題，迭代方法的優(yōu)劣將直接關(guān)系到計(jì)算的斂散性及求解速度的快慢。迭代法的核心是根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)誤差確定下一輪迭代變量較上一輪的增量。目前用于平面纜索線形計(jì)算的迭代法主要有線形變化剛度矩陣法和影響矩陣法兩種。但在空間纜索線形計(jì)算中，這兩種方法可能面臨計(jì)算難以收斂的問(wèn)題，為此本文提出一種修正的影響矩陣法用于空間纜索線形的計(jì)算。影響矩陣法即逐一改變迭代變量，計(jì)算相應(yīng)的各目標(biāo)變量，最終可得到迭代變量的變化值與目標(biāo)變量的變化值之間的關(guān)系，也就是影響矩陣。然后根據(jù)目標(biāo)變量當(dāng)前的誤差，通過(guò)矩陣運(yùn)算即可得到迭代變量的修正值，修正迭代變量后即可進(jìn)入下一個(gè)循環(huán)。設(shè)迭代變量為{X}=(x1，x2，…，xn)T，目標(biāo)變量為{D}=(d1，d2，…，dn)T，目標(biāo)變量和迭代變量滿足以下關(guān)系:{D}=(f1(X)，f2(X)，…，fn(X))T。（1）計(jì)算當(dāng)前迭代變量{X}0對(duì)應(yīng)的目標(biāo)變量{D}0，得到誤差向量{E}={D}0－{D}。（2）令當(dāng)前迭代變量{X}0中第j個(gè)元素xj增加Δxj，得到對(duì)應(yīng)的目標(biāo)變量{D}j，則xj發(fā)生單位變化引起目標(biāo)變量的變化向量{C}j=({D}j－{D}0)Δxj，記為:{C}j=(C1j，C2j，…，Cnj)T。（3）n個(gè)迭代變量分別發(fā)生單位變化，引起的n個(gè)目標(biāo)變量的變化向量依次排列所形成的矩陣［C］n×n，即為影響矩陣，記為［C］=［{C}1{C}2…{C}j…{C}n］。（4）解方程組［C］{ΔX}=－{E}，則得到迭代變量的增量向量{ΔX}。對(duì)于幾何非線性影響較大的結(jié)構(gòu)，求得的迭代變量作用于結(jié)構(gòu)上，并不能使目標(biāo)變量達(dá)到期望值。需按步驟1)～步驟4)重復(fù)進(jìn)行迭代計(jì)算，直到目標(biāo)變量誤差向量的范數(shù)小于指定誤差為止。在計(jì)算主纜和吊索相互耦合的空間纜索線形時(shí)，采用上述影響矩陣法編制了程序，在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)踔灯x真實(shí)值較多時(shí)，計(jì)算無(wú)法收斂。為了解決這一問(wèn)題，提出了修正的影響矩陣法:即在計(jì)算影響矩陣的系數(shù)時(shí)，迭代變量的改變量根據(jù)上一輪計(jì)算的目標(biāo)變量的誤差值來(lái)確定，不再保持為恒定值。設(shè)第k輪的迭代變量為{X}K=(xk1，xk2，…，xkn)T，計(jì)算所得的目標(biāo)變量的誤差向量為{E}K=(ek1，ek2，…，ekn)T，則計(jì)算第k+1輪迭代變量增量向量{ΔX}k+1的影響矩陣按式(2)計(jì)算。對(duì)于修正的影響矩陣法，在計(jì)算影響矩陣時(shí)迭代變量的改變值根據(jù)上一輪誤差大小自動(dòng)調(diào)整，避免了整個(gè)迭代過(guò)程在計(jì)算影響矩陣時(shí)采用恒定的增量，使得迭代變量修正量的預(yù)測(cè)精度提高，從而使得整個(gè)算法的效率提高。采用修正的影響矩陣法編制的空間纜索線形程序SPCC應(yīng)用表明:對(duì)迭代初值的要求低，具有較高的計(jì)