課標(biāo)版高考文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題4.4 解三角形（試題練）教學(xué)講練

數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)PAGEPAGE19學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕§4.4解三角形探考情悟真題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)正弦定理與余弦定理①理解正弦定理與余弦定理的推導(dǎo)過程;②掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形的度量問題2019課標(biāo)全國Ⅱ,15,5分正弦定理的應(yīng)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系★★☆2018課標(biāo)全國Ⅰ,16,5分正弦定理與余弦定理的應(yīng)用三角形的面積公式2017課標(biāo)全國Ⅰ,11,5分正弦定理的應(yīng)用誘導(dǎo)公式,兩角和的正弦公式2019課標(biāo)全國Ⅰ,11,5分正弦定理與余弦定理的應(yīng)用—解三角形及其應(yīng)用能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題2018課標(biāo)全國Ⅲ,11,5分解三角形及三角形的面積—★★★2019課標(biāo)全國Ⅲ,18,12分解三角形及三角形的面積二倍角公式及誘導(dǎo)公式2016課標(biāo)全國Ⅱ,15,5分解三角形同角三角函數(shù)基本關(guān)系分析解讀從近幾年的高考試題來看,本節(jié)內(nèi)容一直是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn),命題呈現(xiàn)出如下特點(diǎn):1.利用正、余弦定理解決平面圖形的計(jì)算問題時(shí),要能在平面圖形中構(gòu)造出三角形;2.解三角形時(shí),觀察圖形中的幾何條件,再利用數(shù)形結(jié)合法求解;3.正、余弦定理與三角形的面積公式、兩角和與差的三角公式、二倍角公式結(jié)合起來考查,注意公式之間的聯(lián)系,會(huì)用方程和函數(shù)思想解決三角形的最值問題,常以解答題的形式出現(xiàn),有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在選擇題或填空題中,分值為5分或12分.破考點(diǎn)練考向【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一正弦定理與余弦定理1.(2020屆四川成都摸底考試,7)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若向量m=(a,-cosA),n=(cosC,2b-c),且m·n=0,則角A的大小為()A.π6 B.π4 C.π3 答案B2.(2019河北衡水中學(xué)三調(diào),7)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且b2+c2=a2+bc,若sinBsinC=sin2A,則△ABC的形狀是()A.等腰非等邊三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形答案C3.(2018河南中原名校第三次聯(lián)考,7)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若B=2A,a=1,b=3,則c=()A.1 B.2 C.2 D.23答案C考點(diǎn)二解三角形及其應(yīng)用答案C2.(2016課標(biāo)全國Ⅲ,9,5分)在△ABC中,B=π4,BC邊上的高等于13BC,則sinA=(A.310 B.1010 C.55 答案D3.(2019廣西南寧二中高三第一次月考,17)在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,m=(cosB,2a-b),n=(cosC,c),且m∥n.(1)求角C的大小;(2)若c=1,當(dāng)△ABC的面積取得最大值時(shí),求△ABC內(nèi)切圓的半徑.答案(1)由m∥n得c·cosB=(2a-b)·cosC,由正弦定理得sinC·cosB=2sinA·cosC-sinB·cosC,(2分)得sin(B+C)=2sinA·cosC,在△ABC中,sin(B+C)=sinA,且sinA≠0,∴cosC=12,又C∈(0,π),∴C=π3.(4(2)由余弦定理知c2=1=a2+b2-2abcosπ3即1=a2+b2-ab,∵a2+b2-ab=1≥2ab-ab,∴ab≤1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立,(7分)S△ABC=12absinC=34ab≤34當(dāng)S△ABC=34時(shí),△ABC為等邊三角形設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r內(nèi),則S△ABC=12(a+b+c)r內(nèi)∴34=32r∴r內(nèi)=36,即當(dāng)△ABC的面積取得最大值34時(shí),△ABC內(nèi)切圓半徑為36煉技法提能力【方法集訓(xùn)】方法1利用正、余弦定理判斷三角形形狀的方法1.(2020屆皖南八校第一次聯(lián)考,6)在△ABC中,cos2B2=a+c2c(a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊),則△A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形答案B2.(2018千校聯(lián)盟12月模擬,10)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若c=b(cosA+cosB),則△ABC為()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形答案D3.給出下列命題:①若tanAtanB>1,則△ABC一定是鈍角三角形;②若sin2A+sin2B=sin2C,則△ABC一定是直角三角形;③若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,則△ABC一定是等邊三角形.以上正確命題的序號(hào)為.

答案②③方法2求解三角形實(shí)際問題的方法1.(2020屆吉林第一中學(xué)第一次調(diào)研考試,7)某船從A處向東偏北30°方向航行23千米到達(dá)B處,然后朝西偏南60°的方向航行6千米到達(dá)C處,則A處與C處之間的距離為()A.3千米 B.23千米 C.3千米 D.6千米答案B2.(2019寧夏頂級(jí)名校聯(lián)考,17)風(fēng)景秀美的寶湖畔有四棵高大的銀杏樹,記作A,B,P,Q,湖岸部分地方圍有鐵絲網(wǎng)不能靠近.欲測量P,Q兩棵樹和A,P兩棵樹之間的距離,現(xiàn)可測得A,B兩點(diǎn)間的距離為100m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如圖所示,求P,Q兩棵樹和A,P兩棵樹之間的距離各為多少.答案在△PAB中,∠APB=180°-(75°+60°)=45°,由正弦定理得APsin60°=100sin45°在△QAB中,∠ABQ=90°,AB=100,∠QAB=45°,∴AQ=1002,又知∠PAQ=75°-45°=30°,則由余弦定理得PQ2=(506)2+(1002)2-2×506×1002·cos30°=5000,∴PQ=502.因此,P,Q兩棵樹之間的距離為502m,A,P兩棵樹之間的距離為506m.3.(2018河南商丘九校12月聯(lián)考,20)如圖所示,某公路AB一側(cè)有一塊空地△OAB,其中OA=3km,OB=33km,∠AOB=90°,當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在中間開挖一個(gè)人工湖△OMN,其中M,N都在邊AB上(M,N不與A,B重合,M在A,N之間),且∠MON=30°.(1)若M在距離A點(diǎn)2km處,求點(diǎn)M,N之間的距離;(2)為節(jié)省投入資金,人工湖△OMN的面積要盡可能小,試確定M的位置,使△OMN的面積最小,并求出最小面積.答案(1)在△OAB中,因?yàn)镺A=3,OB=33,∠AOB=90°,所以∠A=60°.在△OAM中,由已知及余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO·AM·cosA=7,所以O(shè)M=7,所以cos∠AOM=OA2+在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)=sin(∠AOM+90°)=cos∠AOM=27在△OMN中,由MNsin30°=OMsin∠ONA得MN=7故點(diǎn)M,N之間的距離為74(2)設(shè)∠AOM=θ,0<θ<π3在△OAM中,由OMsin∠OAB=OAsin在△OAN中,由ONsin∠OAB=OAsin∠ONA所以S△OMN=12OM·ON·sin∠=12·332sinθ=2716sinθ=274sin2θ+4因?yàn)?<θ<π3,所以2θ+π3∈所以當(dāng)2θ+π3=π2,即θ=π12時(shí),S△OMN取最小值,所以設(shè)計(jì)∠AOM=π12時(shí),△OMN的面積最小最小面積是27(2-3【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組考點(diǎn)一正弦定理與余弦定理1.(2019課標(biāo)全國Ⅰ,11,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-14,則bc=(A.6 B.5 C.4 D.3答案A2.(2018課標(biāo)全國Ⅱ,7,5分)在△ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,則AB=(A.42 B.30 C.29 D.25答案A3.(2017課標(biāo)全國Ⅰ,11,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,則C=()A.π12 B.π6 C.π4 答案B4.(2016課標(biāo)全國Ⅰ,4,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,則b=(A.2 B.3 C.2 D.3答案D5.(2019課標(biāo)全國Ⅱ,15,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsinA+acosB=0,則B=.

答案346.(2018課標(biāo)全國Ⅰ,16,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為.

答案2考點(diǎn)二解三角形及其應(yīng)用1.(2016課標(biāo)全國Ⅱ,15,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,則b=答案212.(2019課標(biāo)全國Ⅲ,18,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知asinA+C2(1)求B;(2)若△ABC為銳角三角形,且c=1,求△ABC面積的取值范圍.答案本題考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面積公式以及學(xué)生對(duì)三角恒等變換的掌握情況;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;考查了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsinA+C2=sin因?yàn)閟inA≠0,所以sinA+C2由A+B+C=180°,可得sinA+C2故cosB2=2sinB2cos因?yàn)閏osB2≠0,故sinB2=12(2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC=34由已知及(1)利用正弦定理得a=csinAsinC=sin(由于△ABC為銳角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°.由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故12<a<2,從而38<S△ABC<因此,△ABC面積的取值范圍是383.(2015課標(biāo)Ⅰ,17,12分)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)設(shè)B=90°,且a=2,求△ABC的面積.答案(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB=a2+c2-(2)由(1)知b2=2ac.因?yàn)锽=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=2.所以△ABC的面積為1.(12分)4.(2015課標(biāo)Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sin∠(2)若∠BAC=60°,求∠B.答案(1)由正弦定理得ADsin∠B=BDsin∠因?yàn)锳D平分∠BAC,BD=2DC,所以sin∠Bsin∠C(2)因?yàn)椤螩=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=32cos∠B+12sin由(1)知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=33,即∠B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一正弦定理與余弦定理1.(2016山東,8,5分)△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA).則A=()A.3π4 B.π3 C.π4答案C2.(2019浙江,14,6分)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)D在線段AC上.若∠BDC=45°,則BD=,cos∠ABD=.

答案12253.(2019北京,15,13分)在△ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-12(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.答案本題主要考查余弦定理及其推論的應(yīng)用,旨在考查學(xué)生在解三角形中的運(yùn)算求解能力,以求三角形邊為背景考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)和方程思想.(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB及已知,得b2=32+c2-2×3×c×-1因?yàn)閎=c+2,所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×-1解得c=5.所以b=7.(2)由cosB=-12得sinB=3由正弦定理得sinA=absinB=3在△ABC中,B+C=π-A.所以sin(B+C)=sinA=334.(2017天津,15,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=5(a2-b2-c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2B-A)的值.答案(1)由asinA=4bsinB及asinA=bsin由ac=5(a2-b2-c2)及余弦定理,得cosA=b2+c2-(2)由(1),可得sinA=255,代入asinA=4bsin得sinB=asinA4由(1)知,A為鈍角,所以cosB=1-sin于是sin2B=2sinBcosB=45,cos2B=1-2sin2B=3故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=45×-55-35×考點(diǎn)二解三角形及其應(yīng)用1.(2018北京,14,5分)若△ABC的面積為34(a2+c2-b2),且∠C為鈍角,則∠B=;ca的取值范圍是答案π32.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則△BDC的面積是,cos∠BDC=.

答案152;3.(2019江蘇,15,14分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.(1)若a=3c,b=2,cosB=23,求c的值(2)若sinAa=cosB2b,答案本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力.(1)因?yàn)閍=3c,b=2,cosB=23由余弦定理的推論cosB=a2+c2-b即c2=13.所以c=3(2)因?yàn)閟inAa=由正弦定理asinA=bsinB,得所以cosB=2sinB.從而cos2B=(2sinB)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=45因?yàn)閟inB>0,所以cosB=2sinB>0,從而cosB=25因此sinB+π2=cos4.(2018天津,16,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bsinA=acosB-(1)求角B的大小;(2)設(shè)a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.答案(1)在△ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acosB-π6,得asinB=acosB-π6,即sinB=cosB-π6,可得(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7由bsinA=acosB-π6,可得sin因?yàn)閍<c,故cosA=27因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=437×12-17×5.(2017山東,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b=3,AB·AC=-6,S△ABC=3,求A和a.答案因?yàn)锳B·AC=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0<A<π,所以A=3π又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-2×3×22×-2所以a=29.C組教師專用題組考點(diǎn)一正弦定理與余弦定理1.(2015廣東,5,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=2,c=23,cosA=32且b<c,則b=(A.3 B.22 C.2 D.3答案C2.(2013課標(biāo)Ⅰ,10,5分)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,則b=()A.10 B.9 C.8 D.5答案D3.(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a=7,b=2,A=60°,則sinB=,c=.

答案2174.(2015重慶,13,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=2,cosC=-14,3sinA=2sinB,則c=答案45.(2015福建,14,4分)若△ABC中,AC=3,A=45°,C=75°,則BC=.

答案26.(2015陜西,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.向量m=(a,3b)與n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求△ABC的面積.(1)因?yàn)閙∥n,所以asinB-3bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-3sinBcosA=0,又sinB≠0,從而tanA=3,由于0<A<π,所以A=π3(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,而a=7,b=2,A=π3得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因?yàn)閏>0,所以c=3.故△ABC的面積為12bcsinA=3解法二:由正弦定理,得7sinπ從而sinB=217又由a>b,知A>B,所以cosB=27故sinC=sin(A+B)=sinB=sinBcosπ3+cosBsinπ3=所以△ABC的面積為12absinC=37.(2015天津,16,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為315,b-c=2,cosA=-14(1)求a和sinC的值;(2)求cos2A+答案(1)在△ABC中,由cosA=-14,可得sinA=15由S△ABC=12bcsinA=315,得bc=24,又由解得b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccosA,可得a=8.由asinA=csinC,得sin(2)cos2A+π6=cos2A·cosπ6-sin=32(2cos2A-1)-12×2sinA·cosA=8.(2012課標(biāo)全國,17,12分)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,c=3asinC-ccosA.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面積為3,求b,c.答案(1)由c=3asinC-c·cosA及正弦定理得3·sinA·sinC-cosA·sinC-sinC=0.由于sinC≠0,所以sinA-π6又0<A<π,故A=π3(2)△ABC的面積S=12bcsinA=3,故而a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8.解得b=c=2.9.(2011全國,18,12分)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,asinA+csinC-2asinC=bsinB.(1)求B;(2)若A=75°,b=2,求a,c.答案(1)由正弦定理得a2+c2-2ac=b2.又b2=a2+c2-2accosB.故cosB=22,又因此B=45°.(2)sinA=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=2+故a=b×sinAsinB=2c=b×sinCsinB=2×sin6010.(2010全國Ⅰ,18,12分)已知△ABC的內(nèi)角A,B及其對(duì)邊a,b滿足a+b=acotA+bcotB,求內(nèi)角C.答案由a+b=acotA+bcotB及正弦定理得sinA+sinB=cosA+cosB,sinA-cosA=cosB-sinB,從而sinAcosπ4-cosAsinπ4=cosBsinπ4-sinBcossinA-π4又0<A+B<π,故A-π4=π4-B,A+B=π2,所以考點(diǎn)二解三角形及其應(yīng)用1.(2013課標(biāo)Ⅱ,4,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,則△ABC的面積為(A.23+2 B.3+1 C.23-2 D.3-1答案B2.(2015湖北,15,5分)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=m.

答案10063.(2014課標(biāo)Ⅰ,16,5分)如圖,為測量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn).從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°,C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點(diǎn)測得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,則山高M(jìn)N=m.

答案1504.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)證明:A=2B;(2)若cosB=23,求cosC的值答案(1)證明:由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由cosB=23得sinB=5cos2B=2cos2B-1=-19故cosA=-19,sinA=4cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=22275.(2016天津,15,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知asin2B=3bsinA.(1)求B;(2)若cosA=13,求sinC的值答案(1)在△ABC中,由asinA=bsinB,可得asinB=bsinA,又由asin2B=3bsinA,得2asinBcosB=3bsinA=3asinB,所以cosB=32(2)由cosA=13,可得sinA=2則sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinA=32sinA+12cosA=6.(2015山東,17,12分)△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知cosB=33,sin(A+B)=69,ac=23,求sinA和c答案在△ABC中,由cosB=33,得sinB=6因?yàn)锳+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)=69因?yàn)閟inC<sinB,所以C<B,可知C為銳角,所以cosC=53因此sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=63×539+33×由asinA=csinC,可得a=csin又ac=23,所以c=1.7.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知tanπ4(1)求sin2Asin2(2)若B=π4,a=3,求△ABC的面積答案(1)由tanπ4+A=2,得tan所以sin2Asin2A+co(2)由tanA=13,A∈(0,π),sinA=1010,cosA=3又由a=3,B=π4及正弦定理asinA=bsinB由sinC=sin(A+B)=sinA+π4得sin設(shè)△ABC的面積為S,則S=12absin8.(2015四川,19,12分)已知A,B,C為△ABC的內(nèi)角,tanA,tanB是關(guān)于x的方程x2+3px-p+1=0(p∈R)的兩個(gè)實(shí)根.(1)求C的大小;(2)若AB=3,AC=6,求p的值.答案(1)由已知得,方程x2+3px-p+1=0的根的判別式Δ=(3p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4≥0.所以p≤-2,或p≥23由根與系數(shù)關(guān)系,得tanA+tanB=-3p,tanAtanB=1-p.于是1-tanAtanB=1-(1-p)=p≠0,從而tan(A+B)=tanA+tanB1-所以tanC=-tan(A+B)=3,所以C=60°.(2)由正弦定理,得sinB=ACsinCAB=6解得B=45°,或B=135°(舍去).于是A=180°-B-C=75°.則tanA=tan75°=tan(45°+30°)=tan45=1+331所以p=-13(tanA+tanB)=-13(2+3+1)=-1-9.(2014課標(biāo)Ⅱ,17,12分)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ),AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四邊形ABCD的面積.答案(1)由題設(shè)及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC,①BD2=AB2+DA2-2AB·DAcosA=5+4cosC.②由①②得cosC=12,故C=60°,BD=7(2)∵四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ),C=60°,∴A=120°.四邊形ABCD的面積S=12AB·DAsinA+12BC·CDsin=12×1×2×sin120°+12×3×2×sin60°=2【三年模擬】時(shí)間:50分鐘分值:80分一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2020屆河南、河北重點(diǎn)中學(xué)摸底考試,8)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(a+b)2=c2+ab,B=30°,a=4,則△ABC的面積為()A.4 B.33 C.43 D.63答案C2.(2020屆西南地區(qū)名師聯(lián)盟8月聯(lián)考,8)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若角C>π3,ab=sinAsin2C,則關(guān)于△ABC的兩個(gè)結(jié)論:①一定是銳角三角形;②一定是等腰三角形A.①錯(cuò)誤,②正確 B.①正確,②錯(cuò)誤C.①②都正確 D.①②都錯(cuò)誤答案C3.(2019湖南懷化一模,7)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,△ABC的面積為S,若2S=(a+b)2-c2,則tanC的值是()A.43 B.34 C.-43 答案C4.(2020屆廣東佛山實(shí)驗(yàn)中學(xué)第一次聯(lián)考,9)如圖,在△ABC中,D為BC上一點(diǎn),AB=15,BD=10,∠ADC=120°,則cos∠BAD=()A.33 B.223 C.-63或6答案D5.(2019江西臨川、南康九校聯(lián)考,10)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若acosC+ccosA=2bcosB,且cos2B+2sinAsinC=1,則a-2b+c=()A.22 B.2 C.2 答案D6.(2018山西晉城一模,9)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且csinB+π3=32a,CA·CB=20,c=7,則△ABCA.2 B.1 C.3 D.3答案D7.(2020屆河北棗強(qiáng)中學(xué)9月月考,12)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b=1,c=3,且2sin(B+C)cosC=1-2cosAsinC,則△ABC的面積是()A.34 B.12 C.34或32 答案C二、填空題(每小題5分,共10分)8.(2020屆山西康杰中學(xué)等四校9月聯(lián)考,16)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積,sin(A+C)=2Sb2-c2,且A,B,C成等差數(shù)列答案π9.(2018豫北、豫南精英對(duì)抗賽,16)已知銳角△ABC的內(nèi)