2017年全國高考理科數(shù)學(全國一卷)試題及答案

2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學滿分150分。考試用時120分鐘。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合A={xIxv1},B={xI3x<1}，貝yA.AB={xIxv0}B.AB=RC.AB={xIx>1}D.2.如圖，正方形abcd內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.I正方形內(nèi)切圓中的黑色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自概率是1A.—4B.1C.—2兀D.-4色部分和白黑色部分的3.設(shè)有下面四個命題pp1:若復數(shù)數(shù)滿足7eRP:若復數(shù)z滿足z2eR，則zeR；24.5.P3:若復數(shù)z1，z2滿足zz其中的真命題為12p:若復數(shù)zeR，則zeR.4A.p,p13記s為等差數(shù)列{a}的前n項和.若a+ann45B.p1,p4C.=24，p,p23S=486D.p,p24則{a}的公差為nA.1B.2C.4D.8函數(shù)f(x)在(s,)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)?若f(1)=-1，則滿足-1<f(x-2)<1的x的取值范圍是C.C.[0,4]A.[-2,2]B.[-1,1]D.[1,3]6.(1+丄)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為6.x2A.15B.20C.30D.35A.15B.20C.30D.35組成，正方組成，正方這些梯形的7.某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，面積之和為A.10B.12C.14D.168.右面程序框圖是為了求出滿尼n-2n>1000的最小偶數(shù)n，那么在和一兩個空白框中，可以分別填入123nA把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移6個單位長度，得到曲線C2B．一nB．把C上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移12個單位長度，得到曲線12C2把C上各點的橫坐標縮短到原來的1倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移;個單位長度，得到曲線C1262小1n把C上各點的橫坐標縮短到原來的-倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移12個單位長度，得到曲線212C2已知F為拋物線C:y2二4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l,l，直線l與C交于A、B兩點，直線l與1212C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A.16B.14C.12D.10設(shè)xyz為正數(shù)，且2x=3y=5z，貝A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z幾位大學生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8,16,…，其中第一項是20,接下來的兩項是2o,21，再接下來的三項是2o,21,22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數(shù)V:N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)幕。那么該款軟件的激活碼是A.440B.330C.220D.110A.440B.330C.220D.110、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=l,貝榔a+2b|=x+2y<1設(shè)x,y滿足約束條件<2x+y>~證明：平面PAB丄平面PAD；若PA=PD證明：平面PAB丄平面PAD；若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90，求二面角A-PB-C的余弦值.、x-y<0x2y2已知雙曲線C:-=1（a>0,b>0）的右頂點為A,以A為圓心，b為半徑做圓A,圓A與雙曲線C的一條a2b2漸近線交于M、N兩點。若ZMAN二60，則C的離心率為。如圖，圓形紙片的圓心為0,半徑為5cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為0。D、E、F為圓0上的點，△DBC,AECA,AFAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC,CA,AB為折痕折起ADBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合，得到三棱錐。當厶ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。（12分）AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為害丁3sinA（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1,a=3，求△ABC的周長.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,且ZBAP二ZCDP=90.19．(12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(卩Q2).假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(卩-36卩+3d)之外的零件數(shù)，求P(X>1)及X的數(shù)學期望；—天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(卩-36卩+3d)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得x二蘭x二9.97，s二1藝(x—X)2二：(藝x2-16X2)2u0.212，其中x為抽取的第i個16IV16i*16iii=1i=11i=1零件的尺寸，'=1,2,…，16?用樣本平均數(shù)X作為卩的估計值“，用樣本標準差s作為d的估計值k,利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(a-3d，a+3d)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計卩和0(精確到o.oi).附：若隨機變量z服從正態(tài)分布n(a,d2)，則p(a—3d<z<a+3d)=0.9974，0.997416=0.9592，<0.008沁0.09.(12分)x2y2石43已知橢圓C：—+~~=1(a〉b〉0),四點P(1,1)，P(0,1)，P(-1,帀-),P(1,帀-)中恰有三點在橢a2b2123242圓C上.求C的方程；設(shè)直線l不經(jīng)過P點且與C相交于A,B兩點。若直線PA與直線PB的斜率的和為-1,證明：l過定點.222(12分)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a—2)ex—x討論f(x)的單調(diào)性；若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。［選修4一4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$=3CO'°(0為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為［X=a+組'(t為參數(shù)).［y=sin°,［y=1一t,(1，若a=1，求C與l的交點坐標；(2)若C上的點到l的距離的最大值為*17，求a.［選修4—5：不等式選講］(10分，已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=1x+11+Ix-11當a=1時，求不等式f(x)2g(x)的解集；若不等式f(x)2g(x)的解集包含［-1,1］,求a的取值范圍.2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A,2B,3B,4C,5D,6C,7B,8D,9D,10A,11D,12A.、填空題：本題共4小題，每小題5、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.2污14．-516.4\；'15em3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。一）必考題：共60分。17.(1217.(12分)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為ab，c，已知AABC的面積為僉(1)求sinBsinC;(2)若(2)若6cosBcosC=1,a=3,求厶ABC的周長.解：（1）由題設(shè)得解：（1）由題設(shè)得2aesinB=a2，即1esinB二3sinA23sinAsinA2由正弦定理得一sinCsinB=，故sinBsinC=一3sinA3(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC-sinBsinC二—sinA2由正弦定理得一sinCsinB=，故sinBsinC=一3sinA3(2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC-sinBsinC二—1，即cos(B+C)二—1a22兀兀1所以B+C二，故A二〒.由題設(shè)得怎besinA=，即be=83323smA由余弦定理得b2+c2-be二9，即（b+c）2一3bc二9，得b+c二故AABC的周長為3+、；3318.（12分）解：1）由已知ZBAP=ACDP=90，得AB丄AP，由于AB//CD，故AB丄PD，從而AB丄平面PAD又ABu平面PAB，所以平面PAB丄平面PAD（2）在平面PAD內(nèi)作PF丄AD，垂足為F.由（1）可知，AB丄CD丄PD平面PAD，故AB丄PF，可得PF丄平面ABCD?以F為坐標原點，F(xiàn)A的方向為x軸正方向，IABI為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系F-xyz.由（1）及已知可得A（￥，0,0）,P（0,0,2所以PC=(—￥，1廠蘋)，CB=(72,0,0),PA=(￡,0,—斗,AB=(0,1,0)2222設(shè)n=(x,y,z)是平面PCB的法向量，則n-PCn-PC=0,n-CB=0可取n=(0,-l,r；2)y=0設(shè)m=(x,y,z)是平面PAB的法向量，則m-PA=0,W2x—旦z=0即｛22'可取m=(1,0,1)m-AB=0〔y=0貝ycos<n貝ycos<n,m>=n-mInIIml所以二面角A-PB-C的余弦值為<33(12分)解：(1)抽取的一個零件的尺寸在(P-36卩+30)之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在(卩一36卩+3°)之外的概率為0.0026，故X?B(16,0.0026)，因此P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.997416?0.0408X的數(shù)學期望為EX=16x0.0026=0.0416(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(P-3°,卩+3°)之外的概率只有0.0026,—天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(卩-36,卩+3°)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小。因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的。(ii)由x=9.97,s二0.212，得卩的估計值為卩=9.97,°的估計值為°=0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(a-3°,卩+3°)之外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查。剔除(a-3°,a+3°)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為丄(16x9.97-9.22)=10.02，因此a的估計值為10.02.蘭x2=16x0.2122+16x9.972沁1591.134ii=1剔除(a-3°,a+3°)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為￡(1591.134-9.222-15x10.022)沁0.008.因此°的估計值為J0碩沁0.09.22(12分)解：(1)由于P,P兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過P,P兩點.343413+知，C不經(jīng)過點P，所以點P在C上1211—+—>a2b2I1—=1,b213111—+—>a2b2I1—=1,b2131la24b2a24b2因此又由Ia2=4=1解得lb2二1x2故C的方程為才+y2=1-22124—124—12如果l與x軸垂直，設(shè)/:x二t，由題設(shè)知t豐0，且111<2，可得A,B的坐標分別為(t,2)，(t，—2)4—t2—2x'4—t2+2則k+k=一=一1，得t=2，不符合題設(shè).從而可設(shè)l:y=kx從而可設(shè)l:y=kx+m(m豐1)，x2將y=kx+m代入—+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2一4=0.由題設(shè)可知A=16(4k2—m2+1)>0設(shè)A(x,y),B(x,y設(shè)A(x,y),B(x,y)，1122則x+x=—,xx=124k2+1124k2+1y—1y—1kx+m—1kx+m—12kxx+(m—1)(x+x)而k+k=—+2—=—1+——2=1-^12—12xxxxxx121212由題設(shè)k+k=—1，故(2k+1)xx+(m一1)(x+x)=0,121212即(2k+1)4m即(2k+1)4m2—44k2+1+(m—1)—8km4k2+1m+12m+1當且僅當m>—1時，A>0，于是l:y=——x+m，所以l過定點(2,—1)21.(12分)解：(1)f(x)的定義域為(—g,+8),f'(x)=2ae2x+(a—2)ex—1=(aex—l)(2ex+1)若a<0，則f'(x)<0，所以f(x)在(—8,+8)單調(diào)遞減若a>0，則由f'(x)=0的x=—lna.當xe(—g,—lna)時，f'(x)<0；當xe(—lna,+8)時，f'(x)>0所以f(x)在(—g,—lna)單調(diào)遞減，在(—lna,+g)單調(diào)遞增。(2)(i)若a<0，由(1)知，f(x)至多有一個零點1(ii)若a>0，由(1)知，當x=—lna時，f(x)取得最小值，最小值為f(—lna)=1—+lnaa當a=1時，由于f(—lna)=0，故f(x)只有一個零點；1當ae(1,+8)時，由于1一+lna>0，即f(—lna)>0，故f(x)沒有零點；a1當ae(0,1)時，1—+lna<0，即f(—lna)<0又a又f(—2)=ae-4+(a一2)e-2+2>—2e-2+2>0，故f(x)在(—g,—lna)有一個零點。3設(shè)正整數(shù)n滿足n>ln(—-1)，00a則f(n)=en0(aen0+a—2)—n>en0—n>2n0—n>0.00003由于ln(——1)>—lna，因此f(x)在(—lna,+g)有一個零點.a綜上，a的取值范圍為(0,1).22.解：(1)曲線c的普通方程為寺+y2=1，當a=—1時，直線l的普通方程為x+4y—3=0x+4y—x+4y—3/r