2022年秋高中數學第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量在立體幾何中的應用1.2.4二面角課件新人教B版選擇性必修第一冊

1.2.4二面角第一章課標要求1.掌握二面角的概念;2.理解二面角的平面角的含義;3.能用向量法解決二面角的計算問題.內容索引0102基礎落實?必備知識全過關重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學以致用?隨堂檢測全達標基礎落實?必備知識全過關知識點1

二面角及其度量

半平面

二面角棱面二面角的平面角過關自診1.

如圖,AB是圓的直徑,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圓上一點(不同于A,B),且PA=AC,則二面角P-BC-A的平面角為(

)A.∠PAC B.∠CPAC.∠PCA D.∠CAB答案C

提示∵C是圓上一點(不同于A,B),AB是圓的直徑,∴AC⊥BC.又PA⊥BC,AC∩PA=A,AC,PA?平面PAC,∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC,∴BC⊥PC.又平面ABC∩平面PBC=BC,PC∩AC=C,∴由二面角的定義知∠PCA為二面角P-BC-A的平面角.故選C.2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA與平面BCDA所形成的平面角大小為

.

答案

45°知識點2

用空間向量求二面角的大小(1)如果n1,n2分別是平面α1,α2的一個法向量,設α1與α2所成角的大小為θ,則有θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特別地,sinθ=

.

(2)設二面角α-l-β為θ,平面α,β的法向量分別為n1,n2,有|cosθ|=|cos<n1,n2>|=

成立.

sin<n1,n2>名師點睛利用公式cos<n1,n2>=

(n1,n2分別為兩平面的法向量)進行求解,注意<n1,n2>與二面角大小的關系,是相等還是互補,需結合圖形進行判斷.如圖②④中<n1,n2>就是二面角α

-l-β的平面角的補角;如圖①③中<n1,n2>就是二面角α

-l-β的平面角.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)二面角的大小就是該二面角兩個半平面的法向量的夾角.(

)(2)若二面角兩個半平面的法向量的夾角為120°,則該二面角的大小等于60°或120°.(

)×√2.

如圖,在三棱錐B-ACD中,正三角形ACB與正三角形ACD所在平面互相垂直,則二面角B-CD-A的余弦值是(

)答案D

提示

如圖所示,取AC中點E,連接BE,DE.在正三角形ACB與正三角形ACD中,BE⊥AC,DE⊥AC.因為平面ACB⊥平面ACD,平面ACB∩平面ACD=AC,重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點一二面角的平面角問題如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值.解∵PC⊥平面ABC,PC?平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC,交線為AC.作BD⊥AC于點D(圖略),可得BD⊥平面PAC.作DE⊥PA于點E,連接BE(圖略),據三垂線定理,則BE⊥PA,從而∠BED是二面角B-PA-C的平面角.設PC=a,依題意知△ABC是邊長為a的正三角形,規(guī)律方法

1.本題解法使用了三垂線定理來作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法來求解.2.二面角的求法變式訓練1

如圖,已知二面角α-a-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小.解設平面PAOB∩α=OA,平面PAOB∩β=OB.∵PA⊥α,a?α,∴PA⊥a.同理PB⊥a,∴a⊥平面PAOB.又OA?平面PAOB,∴a⊥OA.同理a⊥OB,∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角.在四邊形PAOB中,∠AOB=120°,∠PAO=∠PBO=90°,所以∠APB=60°.探究點二利用空間向量求二面角【例2】如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明:O1O⊥底面ABCD;(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.(1)證明因為四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD.又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD.因為AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD.(2)解因為四棱柱的所有棱長都相等,所以四邊形ABCD為菱形,AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1兩兩垂直.如圖,以O為原點,OB,OC,OO1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系.設棱長為2.因為∠CBA=60°,

規(guī)律方法

利用向量方法求二面角的大小時,多采用求法向量的方法,即求出兩個面的法向量,然后通過法向量的夾角來得到二面角的大小,但利用這種方法求解時,要注意結合圖形觀察分析,不能將兩個法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來.變式探究如果本例條件不變,求二面角B-A1C-D的余弦值.變式訓練2如圖所示,在幾何體S-ABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD=DC=2,BC=1,且SD=2,∠SDC=120°,求平面SAD與平面SAB所成角的余弦值.解如圖,過點D作DC的垂線交SC于E.以D為原點,以DC,DE,DA所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.∵∠SDC=120°,∴∠SDE=30°.又SD=2,∴點S到y(tǒng)軸的距離為1,到x軸學以致用?隨堂檢測全達標1.已知平面α內有一個以AB為直徑的圓,PA⊥α,點C在圓周上(異于點A,B),點D,E分別是點A在PC,PB上的射影,則(

)A.∠ADE是二面角A-PC-B的平面角B.∠AED是二面角A-PB-C的平面角C.∠DAE是二面角B-PA-C的平面角D.∠ACB是二面角A-PC-B的平面角答案

B答案C

解析

由于二面角的范圍是[0,π],而二面角的兩個半平面α與β的法向量都有兩個方向,因此二面角α-l-β的大小為

.故選C.3.

如圖所示,點A,B,C分別在空間直角坐標系Oxyz的三條坐標軸上,

=(0,0,2),平面ABC的一個法向量為n=(2,1,2).設二面角C-AB-O的大