2022年秋高中數(shù)學(xué)第三章排列組合與二項(xiàng)式定理3.1排列與組合3.1.2排列與排列數(shù)課件新人教B版選擇性必修第二冊

3.1.2排列與排列數(shù)第三章內(nèi)容索引0102基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)重難探究?能力素養(yǎng)全提升03學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)課標(biāo)要求1.正確理解排列的意義,掌握寫出簡單排列的方法,加深對(duì)分類討論方法的理解,發(fā)展學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力.2.掌握有關(guān)排列綜合題的基本解法,提高分析問題和解決問題的能力,學(xué)會(huì)用分類討論思想解決問題.基礎(chǔ)落實(shí)?必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)一排列的定義一般地,從n個(gè)不同對(duì)象中,任取m(m≤n)個(gè)對(duì)象,按照一定的順序排成一列,稱為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的一個(gè)排列.特別地,m=n時(shí)的排列(即取出所有對(duì)象的排列)稱為全排列.名師點(diǎn)睛

理解排列的定義應(yīng)注意的問題(1)排列的定義中包括兩個(gè)基本內(nèi)容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”.(2)只有當(dāng)對(duì)象完全相同,并且對(duì)象的排列順序也完全相同時(shí),兩個(gè)排列才是同一個(gè)排列.(3)定義中的“一定順序”說明了排列的本質(zhì):有序.(4)判斷一個(gè)具體問題是不是排列問題,就看從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象后,在安排這m個(gè)對(duì)象時(shí)是有序還是無序,有序就是排列問題,無序就不是排列問題.(5)寫出一個(gè)問題中的所有排列的基本方法有:字典排序法、樹形圖法、框圖法.過關(guān)自診下列問題是排列問題的是

.

(1)從1到10十個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)不同數(shù)組成平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo);(2)從10名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)去學(xué)校參加座談會(huì);(3)某商場有四個(gè)大門,從一個(gè)門進(jìn)去,購買物品后再從另一個(gè)門出來的不同的出入方式.答案

(1)(3)

解析

(1)由于取出的兩個(gè)數(shù)組成的點(diǎn)的坐標(biāo),與哪一個(gè)數(shù)作為橫坐標(biāo),哪一個(gè)數(shù)作為縱坐標(biāo)的順序有關(guān),所以這是排列問題.(2)抽取2人參加座談會(huì)不用考慮2人的順序,所以不是排列問題.(3)因?yàn)閺囊婚T進(jìn),從另一門出是有順序的,所以是排列問題.知識(shí)點(diǎn)二排列數(shù)的定義從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的所有排列的個(gè)數(shù),稱為從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的排列數(shù),用符號(hào)

表示.名師點(diǎn)睛

“排列”和“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念.排列是指“從n個(gè)不同對(duì)象中,任取m個(gè)對(duì)象,按照一定順序排成一列”,它不是一個(gè)數(shù),而是具體的一個(gè)排列(也就是具體的一件事);排列數(shù)是指“從n個(gè)不同的對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的所有排列的個(gè)數(shù)”,是一個(gè)數(shù).過關(guān)自診寫出從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字組成兩位數(shù)的所有排列數(shù)為

.

答案

12

解析

所有兩位數(shù)是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12個(gè)不同的兩位數(shù).知識(shí)點(diǎn)三排列數(shù)公式1.排列數(shù)公式名師點(diǎn)睛

(1)這個(gè)公式只有在m,n∈N+,m≤n的情況下才成立.(2)公式右邊是m個(gè)數(shù)的連乘積,它的第一個(gè)因數(shù)是n,后面的每一個(gè)因數(shù)都比它前面的因數(shù)少1,最后一個(gè)因數(shù)為(n-m+1).過關(guān)自診

答案

1重難探究?能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一排列數(shù)公式的應(yīng)用【例1】

(1)給出下列四個(gè)關(guān)系式:其中正確的個(gè)數(shù)為(

)

A.1 B.2 C.3 D.4個(gè)(2)用排列數(shù)表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N+,且n<55).規(guī)律方法

排列數(shù)的計(jì)算方法(1)排列數(shù)的計(jì)算主要是利用排列數(shù)公式進(jìn)行.應(yīng)用時(shí)注意:連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個(gè)排列數(shù),其中最大的數(shù)是排列元素的總個(gè)數(shù),而正整數(shù)(因式)的個(gè)數(shù)是選取元素的個(gè)數(shù),這是排列數(shù)公式的逆用.(2)應(yīng)用排列數(shù)公式的階乘形式時(shí),一般寫出它們的式子后再提取公因式,然后計(jì)算,這樣往往會(huì)減少運(yùn)算量.探究點(diǎn)二無限制條件的排列問題【例2】(1)有5本不同的書,從中選3本送給3名同學(xué),每人各1本,共有多少種不同的送法?(2)有5種不同的書(每種不少于3本),要買3本送給3名同學(xué),每人各1本,共有多少種不同的送法?解

(1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué),對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列,因此不同送法的種數(shù)是

=5×4×3=60,所以共有60種不同的送法.(2)由于有5種不同的書,送給每個(gè)同學(xué)的每本書都有5種不同的選購方法,因此送給3名同學(xué),每人各1本書的不同方法種數(shù)是5×5×5=125,所以共有125種不同的送法.規(guī)律方法

無限制條件的排列問題的求解策略沒有限制條件的排列問題,即對(duì)所排列的元素或所排列的位置沒有特別的限制,這一類問題相對(duì)簡單,分清元素和位置即可.變式訓(xùn)練2將3張電影票分給10人中的3人,每人1張,共有

種不同的分法.

答案

720解析

問題相當(dāng)于從10人中選出3人,然后進(jìn)行全排列,這是一個(gè)排列問題.故不同分法的種數(shù)為

=10×9×8=720.探究點(diǎn)三有限制條件的排列問題【例3】有3名男生、4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法種數(shù).(1)全體排成一行,其中甲只能在中間或者兩邊;(2)全體排成一行,其中甲不在最左邊,乙不在最右邊;(3)全體排成一行,其中男生必須排在一起;(4)全體排成一行,男、女各不相鄰;(5)全體排成一行,其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變;(6)排成前后兩排,前排3人,后排4人.規(guī)律方法

1.

排列問題中的限制條件主要是某人在或不在某位置,可采用位置分析法或元素分析法進(jìn)行排列.應(yīng)記住相鄰、相間、定序、分排等常見問題的解法.2.元素相鄰和不相鄰問題的解題策略限制條件解題策略元素相鄰?fù)ǔ２捎谩袄墶狈?即把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素的排列元素不相鄰?fù)ǔ２捎谩安蹇铡狈?即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰元素插在前面元素排列的空中變式訓(xùn)練

3用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有(

)A.144個(gè) B.120個(gè) C.96個(gè)

D.72個(gè)

例4用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的(1)六位奇數(shù)?(2)個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)?(3)不大于4310的四位偶數(shù)?規(guī)律方法數(shù)字排列排數(shù)字問題常見的解題方法(1)兩優(yōu)先排法:特殊元素優(yōu)先排列,特殊位置優(yōu)先填充.如“0”不排首位.(2)分類討論法:按照某一標(biāo)準(zhǔn)將排列分成幾類,然后按照分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.要注意兩點(diǎn):一是分類標(biāo)準(zhǔn)必須恰當(dāng);二是分類過程要做到不重不漏.(3)排除法:全排列數(shù)減去不符合條件的排列數(shù).(4)位置分析法:按位置逐步討論.變式探究

本例條件不變,可以組成多少個(gè)能被5整除的五位數(shù)?

素養(yǎng)培優(yōu)分類討論思想在排列中的應(yīng)用分類的要求:(1)類與類之間要互斥(保證不重復(fù));(2)總數(shù)要完備(保證不遺漏).【典例】從數(shù)字0,1,3,5,7中取出三個(gè)不同的數(shù)作系數(shù),可以組成多少個(gè)不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有實(shí)根的方程有幾個(gè)?方法點(diǎn)睛

該題的限制條件較隱蔽,需仔細(xì)分析.一元二次方程中a≠0需要考慮到,而對(duì)于有實(shí)根的一元二次方程,需要考慮兩點(diǎn):一是a不為0;二是b2-4ac≥0.解決排列問題時(shí),既要搞清哪些是特殊元素、特殊位置,又要根據(jù)問題進(jìn)行合理地分類、分步,選擇合適的解法.學(xué)以致用?隨堂檢測全達(dá)標(biāo)1.4×5×6×…×(n-1)×n等于(

)答案

D解析

原式可寫成n×(n-1)×…×6×5×4,故選D.2.已知下列問題:①從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)小組;②從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加一項(xiàng)活動(dòng);③從a,b,c,d四個(gè)字母中取出2個(gè)字母;④從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù).其中是排列問題的有(

)A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)答案

B解析

①是排列問題,因?yàn)閮擅瑢W(xué)參加的學(xué)習(xí)小組與順序有關(guān);②不是排列問題,因?yàn)閮擅瑢W(xué)參加的活動(dòng)與順序無關(guān);③不是排列問題,因?yàn)槿〕龅膬蓚€(gè)字母與順序無關(guān);④是排列問題,因?yàn)槿〕龅膬蓚€(gè)數(shù)字還需要按順序排列.3.由數(shù)字1,2,3,4,5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A.8 B.24 C.48 D.120答案

C解析

從2,4中取一個(gè)數(shù)作為個(gè)位數(shù)字,有2種取法;再從其余四個(gè)數(shù)中