2023屆上海市上戲附中高三數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．2．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，則A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}3．已知的垂心為，且是的中點，則（）A．14 B．12 C．10 D．84．已知，且，則（）A． B． C． D．5．若的二項展開式中的系數(shù)是40，則正整數(shù)的值為（）A．4 B．5 C．6 D．76．定義在上的函數(shù)滿足，則（）A．-1 B．0 C．1 D．27．對于函數(shù)，若滿足，則稱為函數(shù)的一對“線性對稱點”．若實數(shù)與和與為函數(shù)的兩對“線性對稱點”，則的最大值為（）A． B． C． D．8．某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體中最長的棱長為（）．A． B． C．1 D．9．已知，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．閱讀下面的程序框圖，運行相應的程序，程序運行輸出的結果是（）A．1．1 B．1 C．2．9 D．2．811．若非零實數(shù)、滿足，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．12．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B．4C． D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，是圓的直徑，弦的延長線相交于點垂直的延長線于點．求證：14．已知，且，則__________．15．設函數(shù)，，其中．若存在唯一的整數(shù)使得，則實數(shù)的取值范圍是_____．16．若一組樣本數(shù)據(jù)7，9，，8，10的平均數(shù)為9，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知奇函數(shù)的定義域為，且當時，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，，且數(shù)列前項和為，求的取值范圍．19．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求B；（2）若，AD為BC邊上的中線，當?shù)拿娣e取得最大值時，求AD的長.20．（12分）已知函數(shù).（1）若曲線的切線方程為，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線：.過點的直線：（為參數(shù)）與曲線相交于，兩點.（1）求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若，求實數(shù)的值.22．（10分）如圖，是矩形，的頂點在邊上，點，分別是，上的動點（的長度滿足需求）.設，，，且滿足.（1）求；（2）若，，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

結合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個圓錐,下半部分是一個底面邊長為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運算求解能力,屬于中檔題.2、D【解析】

解一元二次不等式化簡集合,再由集合的交集運算可得選項.【詳解】因為集合，故選：D.【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于基礎題.3、A【解析】

由垂心的性質(zhì)，得到，可轉(zhuǎn)化，又即得解.【詳解】因為為的垂心，所以，所以，而，所以，因為是的中點，所以．故選：A【點睛】本題考查了利用向量的線性運算和向量的數(shù)量積的運算率，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.4、B【解析】分析：首先利用同角三角函數(shù)關系式，結合題中所給的角的范圍，求得的值，之后借助于倍角公式，將待求的式子轉(zhuǎn)化為關于的式子，代入從而求得結果.詳解：根據(jù)題中的條件，可得為銳角，根據(jù)，可求得，而，故選B.點睛：該題考查的是有關同角三角函數(shù)關系式以及倍角公式的應用，在解題的過程中，需要對已知真切求余弦的方法要明確，可以應用同角三角函數(shù)關系式求解，也可以結合三角函數(shù)的定義式求解.5、B【解析】

先化簡的二項展開式中第項，然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令，則，∴，∴（舍）或.【點睛】本題考查二項展開式問題，屬于基礎題6、C【解析】

推導出，由此能求出的值．【詳解】∵定義在上的函數(shù)滿足，∴，故選C．【點睛】本題主要考查函數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用，屬于中檔題.7、D【解析】

根據(jù)已知有，可得，只需求出的最小值，根據(jù)，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出結論.【詳解】依題意知，與為函數(shù)的“線性對稱點”，所以，故（當且僅當時取等號）.又與為函數(shù)的“線性對稱點，所以，所以，從而的最大值為.故選:D.【點睛】本題以新定義為背景，考查指數(shù)函數(shù)的運算和圖像性質(zhì)、基本不等式，理解新定義含義，正確求出的表達式是解題的關鍵，屬于中檔題.8、B【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進一步求出幾何體的棱長．【詳解】解：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，所以，該四棱錐體的最長的棱長為．故選：B．【點睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運算能力和推理能力，屬于基礎題．9、D【解析】

“是的充分不必要條件”等價于“是的充分不必要條件”，即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知：可化簡為，，所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集，所以.【點睛】利用原命題與其逆否命題的等價性，對是的充分不必要條件進行命題轉(zhuǎn)換，使問題易于求解.10、C【解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過程，寫出每執(zhí)行一次的運行結果，屬于基礎題.【詳解】初始值，第一次循環(huán)：，；第二次循環(huán)：，；第三次循環(huán)：，；第四次循環(huán)：，；第五次循環(huán)：，；第六次循環(huán)：，；第七次循環(huán)：，；第九次循環(huán)：，；第十次循環(huán)：，；所以輸出.故選：C【點睛】本題考查了循環(huán)結構的程序框圖的讀取以及運行結果，屬于基礎題.11、C【解析】

令，則，，將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后，然后取絕對值作差比較可得．【詳解】令，則，，，，，因此，.故選：C.【點睛】本題考查了利用作差法比較大小，同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題．12、B【解析】

還原幾何體的直觀圖，可將此三棱錐放入長方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖，三棱錐的直觀圖為，體積.故選:B.【點睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計算能力,屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、證明見解析．【解析】試題分析：四點共圓，所以，又△∽△，所以，即，得證．試題解析：A．連接，因為為圓的直徑，所以，又，則四點共圓，所以．又△∽△，所以，即，∴．14、【解析】試題分析：因,故,所以，,應填.考點：三角變換及運用．15、【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出圖像,再根據(jù)存在唯一的整數(shù)使得數(shù)形結合列出臨界條件滿足的關系式求解即可.【詳解】解：函數(shù),且畫出的圖象如下：因為,且存在唯一的整數(shù)使得,故與在時無交點,,得；又,過定點又由圖像可知,若存在唯一的整數(shù)使得時,所以,存在唯一的整數(shù)使得所以.根據(jù)圖像可知,當時,恒成立.綜上所述,存在唯一的整數(shù)使得,此時故答案為：【點睛】本題主要考查了數(shù)形結合分析參數(shù)范圍的問題,需要根據(jù)題意分別分析定點右邊的整數(shù)點中為滿足條件的唯一整數(shù),再數(shù)形結合列出時的不等式求的范圍.屬于難題.16、1【解析】

根據(jù)題意，由平均數(shù)公式可得，解得的值，進而由方差公式計算，可得答案．【詳解】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)7，9，，8，10的平均數(shù)為9，則，解得：，則其方差.故答案為：1．【點睛】本題考平均數(shù)、方差的計算，考查運算求解能力，求解時注意求出的值，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)定義，可知；令則，結合奇函數(shù)定義即可求得時的解析式，進而得函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)零點定義，可得，由函數(shù)圖像分析可知曲線與直線在第三象限必1個交點，因而需在第一象限有2個交點，將與聯(lián)立，由判別式及兩根之和大于0，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，且，故；當時，，，則；故.（2）令，解得，畫出函數(shù)關系如下圖所示，要使曲線與直線有3個交點，則2個交點在第一象限，1個交點在第三象限，聯(lián)立，化簡可得，令，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式，分段函數(shù)圖像畫法，由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍應用，數(shù)形結合的應用，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

（1）由，可求，然后由時，可得，根據(jù)等比數(shù)列的通項可求（2）由，而，利用裂項相消法可求.【詳解】（1）當時，，解得，當時，①②②①得，即，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，；（2）∴，∴，，.【點睛】本題考查遞推公式在數(shù)列的通項求解中的應用，等比數(shù)列的通項公式、裂項求和方法，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力．19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理及可得，從而得到；（2）在中，利用余弦定可得，，而，故當時，的面積取得最大值，此時，，在中，再利用余弦定理即可解決.【詳解】（1）由正弦定理及已知得，結合，得，因為，所以，由，得.（2）在中，由余弦定得，因為，所以，當且僅當時，的面積取得最大值，此時.在中，由余弦定理得.即.【點睛】本題考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查學生的計算能力，是一道容易題.20、（1）；（2）或【解析】

（1）根據(jù)解析式求得導函數(shù)，設切點坐標為，結合導數(shù)的幾何意義可得方程，構造函數(shù)，并求得，由導函數(shù)求得有最小值，進而可知由唯一零點，即可代入求得的值；（2）將解析式代入，結合零點定義化簡并分離參數(shù)得，構造函數(shù)，根據(jù)題意可知直線與曲線有兩個交點；求得并令求得極值點，列出表格判斷的單調(diào)性與極值，即可確定與有兩個交點時的取值范圍.【詳解】（1）依題意，，，設切點為，，故，故，則；令，，故當時，，當時，，故當時，函數(shù)有最小值，由于，故有唯一實數(shù)根0，即，則；（2）由，得.所以“在區(qū)間上有兩個零點”等價于“直線與曲線在有兩個交點”；由于.由，解得，.當變化時，與的變化情況如下表所示：30+0極小值極大值所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又因為，，，，故當或時，直線與曲線在上有兩個交點，即當或時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義應用，由切線方程求參數(shù)值，構造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)零點的意義及綜合應用，屬于難題.21、（1），；（2）.【解析】