大學(xué)物理剛體力學(xué)公開課一等獎(jiǎng)省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎(jiǎng)?wù)n件

返回第二章剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

本章將要介紹一個(gè)特殊質(zhì)點(diǎn)系—?jiǎng)傮w—所遵從力學(xué)規(guī)律。剛體能夠看成由許多質(zhì)點(diǎn)組成。在外力作用下各質(zhì)元之間相對(duì)位置保持不變。所以，剛體是固體物件理想化模型。音樂(lè)花徑不曾緣客掃，蓬門今始為君開。名句賞析

內(nèi)容提要

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)

轉(zhuǎn)動(dòng)定律

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)能定理，功效關(guān)系

角動(dòng)量原理角動(dòng)量守恒定律水平面剛體水平面剛體第一節(jié)剛體兩種基本運(yùn)動(dòng)形式剛體兩種基本運(yùn)動(dòng)形式一平動(dòng)

結(jié)論：剛體在平動(dòng)運(yùn)動(dòng)中，連接體內(nèi)直線在空間指向總保持不變，各點(diǎn)含有相同速度,相同加速度?？砂促|(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律處理。固定軸剛體二定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)：剛體上各點(diǎn)繞軸在與軸垂直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。各質(zhì)點(diǎn)速度，加速度普通不一樣,可按前面質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)處理.

三剛體更復(fù)雜運(yùn)動(dòng)形式：平面平行運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，舉例說(shuō)明（略講)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)力學(xué)欣賞木星環(huán)海水轉(zhuǎn)動(dòng)一剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程第二節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)固定軸剛體

如圖，一剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，怎樣確定該剛體位置。在固定軸上固結(jié)軸。與夾角不停構(gòu)想在剛體上有一直線，在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中，改變，是時(shí)間函數(shù)，一定，則剛體位置確定（或曰剛體上全部質(zhì)點(diǎn)位置確定），改變，說(shuō)明剛體位置改變。因而，用可確定剛體位置。為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程。如同質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動(dòng)時(shí)二角速度

設(shè)稱為角位移，代數(shù)量。則固定軸剛體平均角速度瞬時(shí)角速度即對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求一階導(dǎo)數(shù)。單位或矢量性角速度能夠定義為矢量，以表示，它方向要求為沿軸方向。其指向用右手法則確定。

在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，因?yàn)榻撬俣葍H有兩個(gè)方向，故可用代數(shù)量來(lái)表示其矢量性。詳細(xì)做法是：要求一轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍?dāng)角速度與其同向時(shí)，取正；反之取負(fù)，詳見后面例題分析。剛體三角加速度固定軸剛體加速轉(zhuǎn)動(dòng)減速轉(zhuǎn)動(dòng)

若是改變，同理得瞬時(shí)角加速度.單位或或由運(yùn)動(dòng)方程可得，均為代數(shù)量。矢量式為一樣，在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，角加速度僅兩個(gè)方向，當(dāng)角加速度與其同向時(shí)，取正；反之取負(fù)，詳見后面例題分析。對(duì)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)特殊情形恒量若則有質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律比較運(yùn)動(dòng)方程速度加速度其它關(guān)系式運(yùn)動(dòng)方程角速度角加速度其它關(guān)系式

固定軸四角量和線量關(guān)系

如圖示，剛體上一點(diǎn)繞軸在與剛體軸相垂直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，P半徑為。加速度法向加速度切向加速度例題該點(diǎn)速度為例2—1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為，求:1時(shí)和；2時(shí)，處，和。解：12時(shí)***矢量關(guān)系矢量式大小方向向內(nèi):剛體上一質(zhì)點(diǎn)速度沿方向.剛體上一質(zhì)點(diǎn)加速度第二節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律

問(wèn)題提出：

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)或剛體平動(dòng)時(shí)，是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變，原因是即協(xié)力是產(chǎn)生加速度原因。在剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變，角加速度產(chǎn)生原因是什么呢?本節(jié)回答此問(wèn)題。定軸一力矩力作用線在軸垂直平面內(nèi),力對(duì)水平軸力矩為剛體，力對(duì)水平軸力矩定軸分解力，則力矩可記為矢量式方向：沿軸，與和均垂直。

若力作用線不在與軸垂直平面內(nèi)，則把力沿軸與軸垂直方向分解：作用線沿軸分力對(duì)軸不產(chǎn)生力矩；而作用線在與軸垂直平面內(nèi)力力矩可用以上方法來(lái)分析與計(jì)算。平行轉(zhuǎn)動(dòng)軸分力力矩平行于轉(zhuǎn)動(dòng)軸，不會(huì)產(chǎn)生軸向力矩。二剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律設(shè)一剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，研究力矩與角加速度間定量關(guān)系。在剛體上取一小塊，質(zhì)量為，到軸垂直距離為。內(nèi)力外力據(jù)牛二律法向分量式：切向分量式：

為簡(jiǎn)單其見，設(shè)二力作用線在與軸垂直平面內(nèi)。

因?yàn)楸绢}討論中心是角加速度與力矩關(guān)系，而第二式含有，故僅討論第二式。得對(duì)整個(gè)剛體求和因解釋原因則令

例1—31如圖，體系開始靜止，當(dāng)擺線由水平擺到豎直時(shí)，車及球速度。光滑水平面車解：體系機(jī)械能守恒。體系水平方向動(dòng)量守恒。解得怎樣求物體抵達(dá)最低點(diǎn)時(shí)繩中得張力。

例1—32一質(zhì)量為木塊置于光滑水平面上，其上有二分之一徑為光滑圓弧，如圖示。當(dāng)質(zhì)量為小球沿圓弧由運(yùn)動(dòng)到圓弧底部時(shí)，二者速度。

解：本題特點(diǎn)是,作用中，體系沿水平方向動(dòng)量守恒，取向左為正方向。在最底點(diǎn)時(shí)，設(shè)大木塊及球?qū)Φ鼐蜃筮\(yùn)動(dòng)，則有解（略）過(guò)程中，對(duì)體系，僅重力作功，故機(jī)械能守恒，則***物體系在豎直方向動(dòng)量是否守恒，為何?動(dòng)能來(lái)自何方?哪些力對(duì)做功；與間一對(duì)內(nèi)力功之和為多少?結(jié)論式中稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。為剛體受外力矩代數(shù)和。上式表示內(nèi)容為轉(zhuǎn)動(dòng)定律。說(shuō)明：1該式含有瞬時(shí)性（解釋）。2矢量式為

詳細(xì)使用方法是：要求一轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，?dāng)力矩與要求正方向一致時(shí)，取正；反之取負(fù)；當(dāng)角加速度與要求正方向同向時(shí)，取正；反之取負(fù)；通常選擇轉(zhuǎn)動(dòng)方向（角速度方向）為要求正方向，這么得到了轉(zhuǎn)動(dòng)定律代數(shù)式。祥見后面例題分析。也為剛體受外力，但對(duì)軸力矩為零。如圖示，要求力力矩方向?yàn)檎较驎r(shí)，則有力矩與美三轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1物理意義牛二律知由轉(zhuǎn)動(dòng)定律

由比較知，當(dāng)合外力矩一定時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大，越小，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)即角速度越難以改變，即剛體維持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)能力強(qiáng)；反之則弱。所以，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性量度。在力一定時(shí)，越大，則加速度越小，表示物體維持原來(lái)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)能力越強(qiáng)；反之亦然。稱為物體平動(dòng)慣性量度。簡(jiǎn)言之，質(zhì)量越大，其狀態(tài)越難以改變。2計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，如圖所表示。定軸

其物理意義為：各質(zhì)元質(zhì)量與到軸垂直距離平方之積和。

考慮到剛體是質(zhì)量分布連續(xù)體，則1求均質(zhì)圓環(huán)對(duì)中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。o例2—2解：可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量大小相關(guān)。2求均質(zhì)圓盤對(duì)中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：利用上題結(jié)果為基礎(chǔ)，取一圓環(huán)。由上可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與質(zhì)量分布相關(guān)。此結(jié)果也適合圓柱體。

解：1軸過(guò)端點(diǎn)。

例2—3求均勻直桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。1軸過(guò)端點(diǎn)。2軸過(guò)質(zhì)心。2軸過(guò)質(zhì)心?？梢姡瑒傮w轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與軸位置相關(guān)。***

平行軸定理介紹解釋對(duì)過(guò)質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)與過(guò)質(zhì)心軸相平行軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量二軸間距離

（證實(shí)略）

例均質(zhì)桿又剛體對(duì)軸和軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為***

平行軸定理證實(shí)取剛體上過(guò)剛體質(zhì)心為剛體質(zhì)心在同一水平面內(nèi)。它們剛體質(zhì)心所以***

垂直軸定理介紹薄板***

垂直軸定理介紹證實(shí)薄板對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則有結(jié)論：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2與質(zhì)量分布相關(guān),

1與質(zhì)量相關(guān),

3與軸位置相關(guān)。例2---4求由桿與球組成體系對(duì)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量含有疊加性。

例2—5如圖，半徑為，質(zhì)量為均質(zhì)圓盤可繞經(jīng)過(guò)質(zhì)心水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。盤上繞一段繩，繩兩端分別系二物體和，如圖所表示。求盤角加速度，二物加速度及繩內(nèi)張力。設(shè)物體運(yùn)動(dòng)中，繩與輪間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而且。

解：解題思緒：本題似曾相識(shí)。在高中階段怎樣求解此題?輪質(zhì)量不計(jì)。僅研究和二物體，繩僅為連接體。則有

然而，此處要考慮輪（因給出了質(zhì)量和半徑）-----剛體。此為一剛體和二質(zhì)點(diǎn)組成物體系。怎樣求解：用隔離體法，分析各物體受力。

此處，，因和質(zhì)量不等，二者會(huì)加速運(yùn)動(dòng)，它們加速度大小與輪邊緣處切向加速度大小同值，故按轉(zhuǎn)動(dòng)定律，輪所受合外力矩定不為零，故。轉(zhuǎn)動(dòng)正方向輪投影式：對(duì)輪，利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律，則對(duì)二物體和，利用牛二律，則（1）（2）（3）（4）聯(lián)立可得（略）。

例2—6如圖，半徑為，質(zhì)量為均質(zhì)圓盤可繞經(jīng)過(guò)質(zhì)心水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。盤上繞一長(zhǎng)繩，繩另一端系一質(zhì)量為物體，求繩中張力及.三式聯(lián)立求解得運(yùn)動(dòng)學(xué)聯(lián)絡(luò)解：力圖設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)正方向(略)本題轉(zhuǎn)動(dòng)定律又可寫為本題轉(zhuǎn)動(dòng)定律又可寫為討論1系統(tǒng)從靜止開時(shí)，經(jīng)時(shí)間t物體下落高度及輪轉(zhuǎn)過(guò)角度。

2若輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，軸處摩擦阻力矩為（恒力矩），結(jié)果怎樣?解：輪：物：轉(zhuǎn)動(dòng)正方向3若阻力矩為，為恒量，求輪角速度表示式。物：解：輪：二式聯(lián)立，消去，在利用分離變量法，積分求得。（略）例2—7在外力矩作用下，物體以速度上升，撤去外力矩后，物體上升多高時(shí)開始下落。并求輪角加速度。解：減速運(yùn)動(dòng)設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)正方向聯(lián)立求解，得聯(lián)立求解。解：減速運(yùn)動(dòng)設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)正方向聯(lián)立求解，得聯(lián)立求解。例2—8求解：例2---9如圖為一榔頭擊打物體時(shí)情形.相關(guān)說(shuō)明以下:分別為錘柄與錘頭質(zhì)量;為系統(tǒng)質(zhì)心;手握錘柄處;手握錘柄處與錘頭中心距離;手握錘柄處與質(zhì)心中心距離;錘柄長(zhǎng),即錘柄端到錘頭中心之距.被擊物對(duì)錘頭作用力.

求打擊時(shí)質(zhì)心加速度及錘柄對(duì)手切向力.解設(shè)打擊時(shí)手對(duì)柄切向力為,由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,有(1)以為軸,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律,有(2)由角量與線量關(guān)系,有(3)據(jù)質(zhì)心定義,有(4)(1)(2)(3)(4)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(5)以上五式聯(lián)立,解得(詳見教材討論,略)解：桿受力如圖。1

例2—9如圖示，一長(zhǎng)為質(zhì)量為均質(zhì)桿可繞過(guò)一端水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，開始時(shí)，桿水平。若桿突然釋放，求:1釋放后瞬時(shí)（桿仍水平），，，，2當(dāng)桿轉(zhuǎn)到與水平成時(shí)上述值。

質(zhì)心處.由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有解得2當(dāng)桿轉(zhuǎn)到與水平成某一角時(shí),由轉(zhuǎn)動(dòng)定律,有顯然,桿做變角加速度轉(zhuǎn)動(dòng).越來(lái)越小.結(jié)果可得。質(zhì)心求用積分轉(zhuǎn)動(dòng)定律。怎樣求桿轉(zhuǎn)到時(shí)角加速度與角速度.得或積分經(jīng)驗(yàn)談怎樣正確地利用轉(zhuǎn)動(dòng)定律7利用運(yùn)動(dòng)學(xué)條件。轉(zhuǎn)動(dòng)定律是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)規(guī)律。利用時(shí)：1選定剛體（盤，柱，桿等）及定軸；2分析剛體受力，并找出各力力矩；3求各力力矩代數(shù)和；4寫出詳細(xì)表述；5該式含有瞬時(shí)性，與剛體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（大小和方向）無(wú)關(guān);6利用隔離體法,對(duì)質(zhì)點(diǎn)利用牛二律;一力矩功

設(shè)一剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)。一力作用在點(diǎn),為簡(jiǎn)單起見，設(shè)力作用線在與軸垂直平面內(nèi)，如圖示。為點(diǎn)到軸垂直距離。

該力作用點(diǎn)軌跡為半徑為圓，故該力元功為第三節(jié)力矩功轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能功效關(guān)系則

由以上看出，功定義不變，只是用力矩來(lái)計(jì)算剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中力功簡(jiǎn)單，當(dāng)然，仍可用力功。若力矩是轉(zhuǎn)角函數(shù)，用上式積分；若是恒力矩。則上式為是轉(zhuǎn)角。二轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上取一質(zhì)量為質(zhì)元,其動(dòng)能為整個(gè)剛體動(dòng)能為其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能oo

若剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)僅有保守力(或保守力力矩)做功，則機(jī)械能守恒。

三動(dòng)能定理機(jī)械能守恒律即合外力矩功等與轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增量。2桿轉(zhuǎn)到與水平成時(shí)角加速度；例2—9如圖示。1桿水平時(shí)角加速度；3桿豎直時(shí)角速度；解：123利用動(dòng)能定理

例2—9如圖示,桿長(zhǎng)為,質(zhì)量為,求桿由水平位置(靜止)轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)角速度.水平位置(靜止)解法2用動(dòng)能定理求解.即解得豎直位置某瞬時(shí)位置解法3考慮到僅重力做功,用機(jī)械守恒律求解.水平位置(靜止)豎直位置零勢(shì)能面機(jī)械能得或利用機(jī)械能守恒定律。零勢(shì)能面怎樣求桿上各點(diǎn)速度和加速度?

例2---16如圖，求桿由水平釋放后（仍水平）時(shí),桿和及桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，。軸解：（學(xué)生自己做）。

例2----18求桿角加速度，及轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)角速度。解：（學(xué)生自己做）。例2---19推證轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理。第四節(jié)角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律一角動(dòng)量定理

轉(zhuǎn)動(dòng)定律瞬時(shí)性。則過(guò)程性。

該式物理意義是:瞬時(shí)力矩對(duì)微小時(shí)間累積

引發(fā)物理量改變。(與類比)在一段時(shí)間內(nèi)(與類比)定義沖量矩角動(dòng)量

角動(dòng)量定理：剛體所受合外力矩沖量矩等于剛體角動(dòng)量增量。實(shí)質(zhì)講力矩時(shí)間累積及效果間關(guān)系。若合外力矩是恒力矩，則上式簡(jiǎn)化為

說(shuō)明1角動(dòng)量是矢量，表示為，方向與同。

不過(guò)，在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，沿軸，僅有兩個(gè)方向，若要求一方向?yàn)檎?，則另一方向?yàn)樨?fù)，因而，在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，角動(dòng)量為代數(shù)量既可。角動(dòng)量定理矢量式:轉(zhuǎn)動(dòng)方向

物理意義：為質(zhì)元?jiǎng)恿颗c質(zhì)元到軸垂直距離積，稱為其動(dòng)量矩（與力矩比較）。L為組成剛體各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩代數(shù)和。故又稱動(dòng)量矩。角動(dòng)量定理又稱動(dòng)量矩定理。2動(dòng)量矩3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩(角動(dòng)量)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩(角動(dòng)量)普遍定義式大小矢量式動(dòng)量在矢徑垂直方向投影與矢徑大小積。方向右手螺旋法則。定點(diǎn)矢徑軌跡例求一沿直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量.大小:方向:垂直平面向外解（協(xié)力）

質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量改變率由質(zhì)點(diǎn)受協(xié)力決定。質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量改變率由什么決定呢？質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對(duì)時(shí)間改變率則式中稱為質(zhì)點(diǎn)所受協(xié)力對(duì)此固定點(diǎn)力矩。力矩為矢量:方向，右手螺旋法則。大小定點(diǎn)矢徑軌跡且式中為質(zhì)點(diǎn)受外力對(duì)定點(diǎn)力矩。為動(dòng)量矩或角動(dòng)量增量或稱為質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理.形式同剛體角動(dòng)量定理.

質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理形式同剛體角動(dòng)量定理,因剛體本身為質(zhì)點(diǎn)系.例2—10體系從靜止開時(shí)，經(jīng)秒后輪角速度。解：輪：物：動(dòng)量矩定理動(dòng)量定理二式聯(lián)立得結(jié)果或另一方法

例2—9二分之一徑為，質(zhì)量為均質(zhì)圓盤置于水平桌面上，設(shè)盤在桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)初角速度為，盤和桌面間摩擦系數(shù)為，盤經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間停頓轉(zhuǎn)動(dòng)。解：阻力矩為略去數(shù)值例題另一解法

二角動(dòng)量守恒定律稱為角動(dòng)量（或動(dòng)量矩）守恒律。對(duì)質(zhì)點(diǎn),因則三角動(dòng)量守恒應(yīng)用

即使角動(dòng)量守恒定律由單一剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)導(dǎo)出，然而確有更廣泛應(yīng)用范圍，歸納以下。對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體,因若質(zhì)點(diǎn)受合外力矩為零時(shí),即則稱為質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量（或動(dòng)量矩）守恒律。

1單一質(zhì)點(diǎn)

在很多情形下，一質(zhì)點(diǎn)繞一固定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)受協(xié)力作用線恒過(guò)此固定點(diǎn)，即協(xié)力力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)動(dòng)量矩(角動(dòng)量)守恒。如近日點(diǎn)遠(yuǎn)日點(diǎn)太陽(yáng)地球動(dòng)量不守恒!但機(jī)械能守恒。據(jù)動(dòng)量矩(角動(dòng)量)守恒定律,地球?qū)μ?yáng)處角動(dòng)量恒定;還有電子在原子核場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)等。因與共線,對(duì)即太陽(yáng)處力矩為零,即如在地球圍繞太陽(yáng)做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)近日點(diǎn)與遠(yuǎn)日點(diǎn),有而且,機(jī)械能守恒

例一倔強(qiáng)系數(shù)為，原長(zhǎng)為彈性繩一端固定，另一端系一質(zhì)量為小球，整個(gè)系統(tǒng)在光滑水平面上，如圖示。開始時(shí)，如圖。求物體與O點(diǎn)最近距離。

解：分析：物體繞O運(yùn)動(dòng)時(shí)，受協(xié)力恒指向O點(diǎn)，故對(duì)O點(diǎn)動(dòng)量矩守恒。當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，彈性繩恢復(fù)到原長(zhǎng)，但不是最近距離，今后，物體慣性運(yùn)動(dòng)，到C點(diǎn)時(shí)，為最近距離。BC2角動(dòng)量守恒1機(jī)械能守恒演示032角動(dòng)量守恒定律向下拉特點(diǎn)：小球在繩作用下運(yùn)動(dòng)，不停靠近繩穿過(guò)孔。此過(guò)程中，角動(dòng)量守恒，動(dòng)能不守恒，機(jī)械能不守恒，動(dòng)量不守恒。小孔2物體系如圖為一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，角動(dòng)量守恒。恒量

想象把此剛體分為若干塊，它們?yōu)橐晃矬w系（為一些剛體，或剛體與質(zhì)點(diǎn)組合），則體系受合外力矩仍為零，體系內(nèi)各物體間有內(nèi)力和內(nèi)力矩，但對(duì)體系總角動(dòng)量無(wú)影響。由此推出：當(dāng)一物體系在相互作用時(shí)（即有內(nèi)力和內(nèi)力矩），而體系所受合外力矩為零，則體系角動(dòng)量守恒。這么，把動(dòng)量矩守恒律推廣到物體系。內(nèi)力矩使體系內(nèi)各物體間角動(dòng)量交換。作用中，是否機(jī)械能守恒或動(dòng)量守恒，視是否滿足二者條件而定。（代數(shù)和）2剛體系

例如圖示，若輪B沿軸移向A輪，當(dāng)二者接觸后，二者因摩擦最終以相同角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，求其值，設(shè)。

解：當(dāng)二輪接觸后，因有輪間內(nèi)摩擦力矩，A輪轉(zhuǎn)速減慢，而B輪加緊。

最終，二者以相同轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)。

作用過(guò)程中僅內(nèi)力矩做功，故體系角動(dòng)量守恒。作用前作用后

據(jù)此得到

作用過(guò)程中，機(jī)械能不守恒，為何?例2—12如圖示，質(zhì)量為半徑為均質(zhì)盤（砂輪）繞定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，某瞬時(shí)，其邊緣處爆列，一質(zhì)量為一小塊向上飛去，求余下盤角速度。

解：小塊飛出時(shí)，此小塊與余下盤部分為一物體系，體系合外力矩為零，故此過(guò)程中，體系角動(dòng)量守恒。作用前作用后是經(jīng)常犯錯(cuò)誤!3剛體與質(zhì)點(diǎn)系一均質(zhì)桿自由懸掛，處于靜止?fàn)顟B(tài)。一子彈水平射向桿。當(dāng)子彈擊中桿后，嵌入桿內(nèi)，使體系獲角速度。

作用中，系統(tǒng)外力矩為零（包含重力矩和軸處約束力）為零，體系角動(dòng)量守恒作用前作用后桿靜止子彈運(yùn)動(dòng)，對(duì)軸有動(dòng)量矩桿與子彈一起轉(zhuǎn)動(dòng)但作用中動(dòng)量不守恒，機(jī)械能也不守恒!今后怎樣運(yùn)動(dòng),恪守什麼守恒率.軸對(duì)桿有作用力子彈沖量矩定理動(dòng)量定理?xiàng)U角動(dòng)量原理

推導(dǎo)設(shè)子彈擊中桿后與桿共同角速度為設(shè)二者作用時(shí)間為內(nèi)力二式相加，整理得補(bǔ)：設(shè)軸處水平作用力為解釋：桿動(dòng)量定理

例如圖，均質(zhì)桿可繞過(guò)質(zhì)心自由轉(zhuǎn)動(dòng)軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。桿靜止。一剛球垂直射向桿，與桿做完全彈性碰撞。求作用后桿角速度。作用前解：角動(dòng)量守恒機(jī)械能守恒作用后動(dòng)量不守恒：作用中體系所受外力為軸對(duì)體系作用力解釋

作用中，體系機(jī)械能不守恒，動(dòng)量不守恒。在何處有外力，請(qǐng)考慮其計(jì)算。例

如圖所表示，均勻細(xì)棒OA可繞過(guò)端點(diǎn)軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始棒靜止，速率為V子彈從棒端穿過(guò)后速率為

，則該棒角速度為2V()A()B()D()COALMmmVr2Vr[]比如圖所示，均勻細(xì)棒AB長(zhǎng),質(zhì)量為可繞過(guò)質(zhì)心豎直軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，開始棒靜止，速度為子彈在棒端擊中桿,并嵌于其中,則桿角速度為.39演示角動(dòng)量守恒定律人相對(duì)盤靜止，隨盤一起轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，質(zhì)點(diǎn)系人相對(duì)盤沿盤緣跑動(dòng)過(guò)程中，體系角動(dòng)量守恒為人相對(duì)盤速度

解：設(shè)輪半徑為，

設(shè)人向上爬時(shí)，物對(duì)地速度為，體系受合外力矩為零，人對(duì)地速度為二者速度大小相同，故同時(shí)抵達(dá)。作用前，體系動(dòng)量矩為作用前，體系動(dòng)量矩為據(jù)動(dòng)量矩守恒定律則有

例2—14如圖，人與物同質(zhì)量，開始體系靜止。當(dāng)人以相對(duì)速度向上爬動(dòng)時(shí)，求二者對(duì)地速度及人與物誰(shuí)先抵達(dá)輪處。并討論計(jì)論半徑和質(zhì)量時(shí)，及二者質(zhì)量不一樣時(shí)情形。***計(jì)輪質(zhì)量時(shí)，由角動(dòng)量守恒律得***

若人質(zhì)量為，而物體為。

體系合外力矩為體系角動(dòng)量為由角動(dòng)量原理（或動(dòng)量矩定理)得或即注意到，得此時(shí)人和物作加速運(yùn)動(dòng)。

人向圓心跑動(dòng)中，體系角動(dòng)量守恒。4軸位置不變,轉(zhuǎn)動(dòng)中無(wú)外力矩作用,但質(zhì)量分布改變

當(dāng)體系在無(wú)外力矩情形下，對(duì)軸角動(dòng)量守恒，若體系質(zhì)量分布改變，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)應(yīng)改變，因而，角速度改變。如：花樣滑冰；跳水；跳馬；巴蕾舞等。（物體在無(wú)外力矩存在下，因內(nèi)力而使質(zhì)量分布改變)生物力學(xué)生熟雞蛋地判斷美的力學(xué)宇宙飛船中宇航員在空中翻轉(zhuǎn)身體。角動(dòng)量角動(dòng)量在廣泛領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用：

天體間，星體公轉(zhuǎn)與自轉(zhuǎn)動(dòng)量矩。以及微觀體系內(nèi)粒子角動(dòng)量，如電子軌道運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量，電子，中子及其它粒子自旋角動(dòng)量等。而且，據(jù)近代物理理論，微觀粒子角動(dòng)量是量子化，自旋及自旋角動(dòng)量是微觀粒子基本屬性。***用角動(dòng)量守恒律解釋科里奧利力當(dāng)球在光滑盤面由A向B運(yùn)動(dòng)時(shí)，其角動(dòng)量守恒。在A點(diǎn)時(shí)球在向外運(yùn)動(dòng)時(shí)，增大，故對(duì)地角速度減小，因而，球相對(duì)盤面有一與相反轉(zhuǎn)動(dòng)（球越向外運(yùn)動(dòng)，其值越大），球相對(duì)盤面軌跡為曲線。橫向力為科氏力。經(jīng)驗(yàn)談怎樣正確地利用角動(dòng)量守恒定律

關(guān)鍵分析出體系（或物體）在作用中，對(duì)軸（或一定點(diǎn)）合外力矩為零（而不是合外力為零）。注意動(dòng)量守恒律和角動(dòng)量守恒律區(qū)分。切無(wú)混同。動(dòng)力學(xué)內(nèi)容比較質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)牛一律牛二律轉(zhuǎn)動(dòng)定律力矩平衡功動(dòng)能定理動(dòng)能定理功動(dòng)量定理角動(dòng)量原理（沖量矩定理）對(duì)物體系守恒律條件第五節(jié)滾動(dòng)（略講)一剛體平面平行運(yùn)動(dòng):運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)一圓柱體在地面上滾動(dòng)

質(zhì)心對(duì)地速度:

輪上某點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心速度:輪上某點(diǎn)相對(duì)地面速度為輪純滾動(dòng):因?yàn)閳A柱體與平面間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。質(zhì)心平動(dòng)，而輪上各點(diǎn)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律

在輪純滾動(dòng)時(shí)，輪緣上一點(diǎn)P轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)，輪質(zhì)心C移動(dòng)距離為，輪質(zhì)心速度大小為二輪純滾動(dòng):運(yùn)動(dòng)學(xué)即為純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)條件。據(jù)速度疊加，輪緣上各點(diǎn)速度為

不難得出，輪緣上與地面接觸點(diǎn)速度為瞬心質(zhì)心平動(dòng)，而輪上各點(diǎn)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律該點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心。而輪上不一樣點(diǎn)速度各異。三動(dòng)力學(xué)規(guī)律靜摩擦力瞬心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)規(guī)律動(dòng)能如圖繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律

輪做純滾動(dòng)，與地接觸點(diǎn)速度為零，可取為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心，能夠此為瞬軸，寫出轉(zhuǎn)動(dòng)定律。推廣聯(lián)合解題。例討論圓柱體沿斜面純滾動(dòng)，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)規(guī)律解：為何有，無(wú)能否純滾動(dòng)。分量式：繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律聯(lián)立解得柱與斜面間最大靜摩擦力為若即或

則圓柱體不可能在斜面純滾動(dòng)了。所以，圓柱體在斜面上純滾動(dòng)條件為功效關(guān)系為不做功，為什麼﹖演示012圓柱形剛體靜摩擦力純滾動(dòng)純滾動(dòng)為質(zhì)心平動(dòng)和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)合運(yùn)動(dòng)靜摩擦力產(chǎn)生對(duì)質(zhì)心力矩重力分力對(duì)瞬心產(chǎn)生力矩o質(zhì)心軌跡第六節(jié)進(jìn)動(dòng)

類比法是學(xué)習(xí)和研究物理一個(gè)基本方法。

質(zhì)點(diǎn)

與平行，物體做直線運(yùn)動(dòng),被加速或減速；動(dòng)量方向不變，僅改變大小。與垂直時(shí)，此時(shí)，力僅改變動(dòng)量方向，而大小不變，如勻速率圓周運(yùn)動(dòng)。協(xié)力與動(dòng)量垂直，動(dòng)量繞點(diǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，而動(dòng)量增量與力同向。

剛體

在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，和皆沿軸，角動(dòng)量增量與力矩方向相同。當(dāng)與方向一致時(shí)，剛體加速轉(zhuǎn)動(dòng)；反之減速轉(zhuǎn)動(dòng)。

若與垂直，剛體做何種運(yùn)動(dòng)呢?此時(shí)剛體不可能再做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。由物理規(guī)律表示式可知，角動(dòng)量增量仍是與力矩方向相同，但與角動(dòng)量本身方向垂直，此時(shí)，力矩只會(huì)改變角動(dòng)量方向，而不改變其大小。結(jié)果，使角動(dòng)量在空間轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體繞一點(diǎn)進(jìn)動(dòng)。如同勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中動(dòng)量在空中轉(zhuǎn)動(dòng)一樣。解釋+垂直于!增量與力矩同方向陀螺陀螺角動(dòng)量繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。即進(jìn)動(dòng)。應(yīng)用炮彈運(yùn)行飛機(jī)，艦艇急轉(zhuǎn)彎自行車轉(zhuǎn)彎陀螺定向進(jìn)動(dòng)應(yīng)用1飛機(jī)，軍艦行進(jìn)中快速轉(zhuǎn)動(dòng)。軸承壓力形成。2定向。子彈運(yùn)行。3電子軌道在外磁場(chǎng)中進(jìn)動(dòng)。4雙原子分子軌道角動(dòng)量在繞核間軸進(jìn)動(dòng)。5自行車進(jìn)動(dòng)。飛行子彈進(jìn)動(dòng)圖（阻力）（磁矩）電子軌道運(yùn)動(dòng)在外磁場(chǎng)中進(jìn)動(dòng)示意圖本章重點(diǎn)與難點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)定律角動(dòng)量原理角動(dòng)量守恒律一運(yùn)動(dòng)學(xué)1運(yùn)動(dòng)方程（運(yùn)動(dòng)規(guī)律）2角速度3角加速度勻變速時(shí)4角量和線量關(guān)系二轉(zhuǎn)動(dòng)定律瞬時(shí)性。代數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量意義三功與能力矩功恒力矩功12轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能3功效關(guān)系

如圖示，系統(tǒng)靜止，彈簧處于原優(yōu)點(diǎn)，不計(jì)摩擦，求物體下滑速度。光滑零勢(shì)能面4若僅保守力力矩做功，則機(jī)械能守恒。四角動(dòng)量原理角動(dòng)量守恒定律

1角動(dòng)量原理

2角動(dòng)量守恒定律

體系角動(dòng)量守恒。

這個(gè)定律應(yīng)用有一定難度，關(guān)健是有哪些物體組成物體系，作用過(guò)程中，系統(tǒng)外力矩為零。該過(guò)程中，協(xié)力可能不為零，動(dòng)量不守恒；機(jī)械能也可不守恒。角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)剛體下一章返回清明清明時(shí)節(jié)雨紛紛，路上行人欲斷魂。借問(wèn)酒家何處有，牧童遙指杏花村。（唐）杜牧

例1—31如圖，體系開始靜止，當(dāng)擺線由水平擺到豎直時(shí)，車及球速度。光滑水平面車解：體系機(jī)械能守恒。體系水平方向動(dòng)量守恒。解得怎樣求物體抵達(dá)最低點(diǎn)時(shí)繩中得張力。

例1—32一質(zhì)量為木塊置于光滑水平面上，其上有二分之一徑為光滑圓弧，如圖示。當(dāng)質(zhì)量為