4-4-變上限積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

模塊基本信息一級(jí)模塊名稱積分學(xué)二級(jí)模塊名稱基礎(chǔ)模塊三級(jí)模塊名稱變上限積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)模塊編號(hào)4-4先行知識(shí)1、定積分的概念模塊編號(hào)4-22、定積分的性質(zhì)模塊編號(hào)4-3知識(shí)內(nèi)容教學(xué)要求掌握程度1、變上限積分函數(shù)及原函數(shù)的概念1、理解變上限積分函數(shù)及原函數(shù)的概念一般掌握2、變上限積分函數(shù)的求導(dǎo)2、掌握變上限積分函數(shù)的求導(dǎo)能力目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)類比、遷移的能力時(shí)間分配45分鐘編撰王明校對(duì)熊文婷審核危子青修訂人張?jiān)葡级徫Ｗ忧嘁?、正文編?xiě)思路及特點(diǎn)思路：先復(fù)習(xí)定積分的概念和性質(zhì)，給出變上限積分函數(shù)的定義，通過(guò)兩個(gè)定理來(lái)展示變上限積分函數(shù)的性質(zhì).特點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已學(xué)過(guò)的相關(guān)知識(shí)理解新知識(shí)二、授課部分（一）新課講授前面我們利用定積分的概念計(jì)算了定積分的值，從中我們可以看到利用定義來(lái)求定積分是一件十分麻煩而困難的事，因此我們必須尋找一種計(jì)算定積分的新方法，即后面要學(xué)習(xí)的微積分基本定理。為了學(xué)習(xí)微積分基本定理，我們先來(lái)研究變上限積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，為微積分基本定理的證明做準(zhǔn)備.1、變上限積分函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),并且設(shè)x為[a,b]上的一點(diǎn)，考察定積分，如果上限在區(qū)間上任意變動(dòng)，則對(duì)于每一個(gè)取定的，定積分都有一個(gè)相應(yīng)的積分值與之對(duì)應(yīng).因此它在上定義了一個(gè)函數(shù)，稱為變上限積分函數(shù)，記作(x),為明確起見(jiàn)，常記作(x)。說(shuō)明：當(dāng)，利用定積分的幾何意義可以直觀地看到積分上限的函數(shù)所表示的意義：積分表示圖1中陰影部分的面積.y=f(x)y=f(x)(x)圖1下面討論這個(gè)函數(shù)的可導(dǎo)性定理1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則函數(shù)(x)在[a,b]上具有導(dǎo)數(shù),并且它的導(dǎo)數(shù)為(x)(ax<b).(選講)證明：若x(a,b),取x使xx(a,b).(xx)(x),應(yīng)用積分中值定理,有f()x,其中在x與xx之間,x0時(shí),x.于是(x).若xa,取x>0,則同理可證(x)f(a);若xb,取x<0,則同理可證(x)f(b).注：(1)變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)其結(jié)果為被積函數(shù)本身（2）若，則稱函數(shù)(x)為f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù).此定理說(shuō)明連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)，它其中的一個(gè)原函數(shù)就是一個(gè)變上限積分函數(shù).2、例題例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（一級(jí)）（一級(jí)）（二級(jí)）（4）（二級(jí)）解：（1）直接利用積分上限函數(shù)的求導(dǎo)法則，.（2）,則.(3)可視為與構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，則由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式可得.說(shuō)明：利用此方法，可推出一般公式（4）則說(shuō)明：一般的，若，有例2求極限.（二級(jí)）解：此極限是型的未定式，利用洛必達(dá)法則和變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式得原式=例3求極限.（二級(jí)）解：此極限是型的未定式，利用洛必達(dá)法則和變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式有三、能力反饋部分/r