《用樣本估計(jì)總體》教學(xué)案（文理通用）

PAGE11一、知識(shí)梳理：1．作頻率分布直方圖的步驟：（1）求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）；（2）決定組距與組數(shù)；（3）將數(shù)據(jù)分組；（4）列頻率分布表；（5）畫頻率分布直方圖注：頻率分布直方圖中小正方形的面積=組距×=頻率2．頻率分布折線圖和總體密度曲線折線圖：連接頻率分布直方圖中小長方形上端中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖總體密度曲線：當(dāng)樣本容量足夠大，分組越多，折線越接近于一條光滑的曲線，此光滑曲線為總體密度曲線。3．用莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)的兩個(gè)優(yōu)點(diǎn),1所有數(shù)據(jù)都可以從數(shù)據(jù)中得到;2莖葉圖便于記錄和表示,能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況,但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)較大時(shí),莖葉圖的效果就不是很好了4平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差和方差（1）平均數(shù)：平均數(shù)是用來表示數(shù)據(jù)的平均水平。一般用x來表示，計(jì)算公式：

（2）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。（3）中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，若有奇數(shù)個(gè)數(shù)，則最中間的數(shù)是中位數(shù)。若有偶數(shù)個(gè)數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是中位數(shù)。（4）標(biāo)準(zhǔn)差：是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，用來刻畫數(shù)據(jù)的分散程度，一般用s來表示，計(jì)算公式：，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小。（5）方差：方差是標(biāo)準(zhǔn)差的平方，它也可以用來刻畫數(shù)據(jù)的分散程度，計(jì)算公式：。5．有樣本頻率分布估計(jì)總體分布通常分為兩種情況：（1）當(dāng)總體中的個(gè)體取不同值很少時(shí)，其頻率分布表由所取樣本的不同值及其相應(yīng)頻率表示，就是相應(yīng)的條形圖；（2）當(dāng)總體中的個(gè)體不同值很多時(shí)，就用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)的樣本的頻率分布。6、利用頻率分布直方圖來估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)的估計(jì)值是其中最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；中位數(shù)的左邊和右邊的直方圖面積相等；平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。二、題型探究[探究一]圖形信息題例1：為了解某小學(xué)五年級女生身高（單位：cm）情況，對五年級一部分女生的身高進(jìn)行了測量，所得數(shù)據(jù)整理后，列出頻率分布表（如下表）（1）、求表中m，n，M，N所表示的兩個(gè)數(shù)分別是多少（2）、畫出頻率分布直方圖，并利用它估計(jì)五年級全體女生身高的眾數(shù)、中位數(shù)、和平均數(shù)；

[探究二]用樣分布估計(jì)總體分布例2：為估計(jì)一次性木質(zhì)筷子的用量，1999年從某縣共600家高、中、低檔飯店抽取10家作樣本，這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為：1通過對樣本的計(jì)算，估計(jì)該縣1999年消耗了多少盒一次性筷子（每年按350個(gè)營業(yè)日計(jì)算）；22022年又對該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是10個(gè)樣本飯店，每個(gè)飯店平均每天使用一次性筷子盒．求該縣2000年、2022年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每年增長的百分率（2022年該縣飯店數(shù)、全年?duì)I業(yè)天數(shù)均與1999年相同）；3在2的條件下，若生產(chǎn)一套學(xué)生桌椅需木材0.07m3，求該縣2022年使用一次性筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學(xué)生桌椅。計(jì)算中需用的有關(guān)數(shù)據(jù)為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5g，所用木材的密度為×103kg4假如讓你統(tǒng)計(jì)你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)去做，簡要地用文字表述出來。解析：1所以,該縣1999年消耗一次性筷子為2×600×350=420000（盒）。2設(shè)平均每年增長的百分率為X，則2（1X）2=,解得X1==10%，X2=－（不合題意，舍去）。所以,平均每年增長的百分率為10%；3可以生產(chǎn)學(xué)生桌椅套數(shù)為（套）。[探究三]平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差（方差）的計(jì)算問題例3：在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評委為歌手甲、乙打出的分?jǐn)?shù)如下：甲：乙：根據(jù)以上數(shù)據(jù),判斷他們誰更優(yōu)秀解析：7個(gè)數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，余下的5個(gè)數(shù)為：甲:,,,,;乙:

甲的平均數(shù)為：，即。方差為：即乙的平均數(shù):乙的方差為:[探究四]綜合問題例4:對某校高一年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本，得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下：分組頻數(shù)頻率10252合計(jì)M1

（1）求出表中、及圖中的值；（2）（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率

解析：【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到頻率分布表、頻率分布直方圖以及概率的初步應(yīng)用【試題解析】解：（1）由題可知，，，又，解得，，， 則組的頻率與組距之比為 5分（2）參加在社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為人 8分（3）在樣本中，處于內(nèi)的人數(shù)為3，可分別記為，處于內(nèi)的人數(shù)為2，可分別記為從該5名同學(xué)中取出2人的取法有共10種；至多一人在 內(nèi)的情況有共7種，所以至多一人 參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率為 三、方法提升1．統(tǒng)計(jì)是為了從數(shù)據(jù)中提取信息，學(xué)習(xí)時(shí)根據(jù)實(shí)際問題的需求選擇不同的方法合理地選取樣本，并從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征。不應(yīng)把統(tǒng)計(jì)處理成數(shù)字運(yùn)算和畫圖表。對統(tǒng)計(jì)中的概念（如"總體"、"樣本"等）應(yīng)結(jié)合具體問題進(jìn)行描述性說明，不應(yīng)追求嚴(yán)格的形式化定義2．當(dāng)總體中個(gè)體取不同值很少時(shí)，我們黨用樣本的頻率分布標(biāo)記頻率分布梯形圖取估計(jì)總體體分布,總體分布排除了抽樣造成的錯(cuò)誤，精確反映了總體取值的概率分布規(guī)律。對于所取不同數(shù)值較多或可以在實(shí)數(shù)區(qū)間范圍內(nèi)取值的總體，需用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)的頻率分布。當(dāng)樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小時(shí)，頻率分布直方圖無限接近一條光滑曲線——總體密度曲線．由于總體分布通常不易知道，往往是用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布。樣本容量越大，估計(jì)就越精確四、反思感悟：

五、課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后，組別與頻數(shù)如下：組別10,20]20,30]30,40]40,50]50,60]60,70]頻數(shù)234542則樣本在20,50]上的頻率為A．12%B．40%C．60%D．70%解析：本題考查樣本的頻率運(yùn)算．據(jù)表知樣本分布在20,50]的頻數(shù)3＋4＋5＝12，故其頻率為eq\f12,20＝答案：C2．甲、乙兩名同學(xué)在五次《數(shù)學(xué)基本能力》測試中，成績統(tǒng)計(jì)用莖葉圖表示如下，若甲、乙兩人的平均成績分別是X甲、X乙，則下列結(jié)論正確的是

A．X甲＞X乙，甲比乙成績穩(wěn)定B．X甲＞X乙，乙比甲成績穩(wěn)定C．X甲＜X乙，甲比乙成績穩(wěn)定D．X甲＜X乙，乙比甲成績穩(wěn)定解析：由莖葉圖知識(shí)，可知道甲的成績?yōu)?8、69、70、71、72，平均成績?yōu)?0；乙的成績?yōu)?3、68、69、69、71，平均成績?yōu)?8；再比較標(biāo)準(zhǔn)差：甲的標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r\f1,5[68－702＋69－702＋70－702＋71－702＋72－702]＝eq\r2，乙的標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r\f1,5[63－682＋68－682＋69－682＋69－682＋71－682]＝eq\f6\r5,5＞eq\r2，故甲比乙的成績穩(wěn)定．答案：A3．甲、乙兩射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行比賽，射擊相同的次數(shù)，已知兩運(yùn)動(dòng)員射擊的環(huán)數(shù)穩(wěn)定在7,8,9,10環(huán)，他們的成績頻率分布條形圖如下：

由乙擊中8環(huán)及甲擊中10環(huán)的概率與甲擊中環(huán)數(shù)的平均值都正確的一組數(shù)據(jù)依次是A．．C．．解析：乙擊中8環(huán)的概率為1－－－＝；甲擊中10環(huán)的概率為1－－－＝；甲擊中環(huán)數(shù)的平均值為7×＋8×＋9×＋10×＝答案：D4．設(shè)矩形的長為a，寬為b，其比滿足b：a＝eq\f\r5－1,2≈，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形．黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中．下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本：甲批次：乙批次：根據(jù)上述兩個(gè)樣本來估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值比較，正確結(jié)論是A．甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近B．乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近C．兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同D．兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定解析：＝eq\f＋＋＋＋,5＝，＝eq\f＋＋＋＋,5＝，∴與更接近．答案：A5．已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為2,3,3,7，a，b,12,,,20，且總體的中位數(shù)6．若要使該總體的方差最小，則a、b的取值分別是____________．解析：這10個(gè)數(shù)的中位數(shù)為eq\fa＋b,2＝這10個(gè)數(shù)的平均數(shù)為10要使總體方差最小，即a－102＋b－102最?。帧遖－102＋b－102＝21－b－102＋b－102＝11－b2＋b－102＝2b2－42b＋221，∴當(dāng)b＝時(shí)，a－102＋b－102取得最小值．又∵a＋b＝21，∴a＝，b＝答案：,7．某地教育部門為了解學(xué)生在數(shù)學(xué)答卷中的有關(guān)信息