近五年2017～2021高考數(shù)學真題分類匯編13坐標系與參數(shù)方程【含答案】

十三、坐標系與參數(shù)方程一、單選題1．（·北京（理））已知直線l的參數(shù)方程為x=1+3t,y=2+4t（t為參數(shù)），則點（1,0）到直線lA．15 B．25 C．45二、解答題2．（全國（文））在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=22（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設點A的直角坐標為1,0，M為C上的動點，點P滿足AP=2AM，寫出Р的軌跡C1的參數(shù)方程，并判斷3．（全國（理））在直角坐標系xOy中，⊙C的圓心為，半徑為1．（1）寫出⊙C的一個參數(shù)方程（2）過點F4,1作⊙C的兩條切線．以坐標原點為極點，4．（江蘇）在極坐標系中，已知點A(ρ1,π3)在直線l:ρcosθ=2（1）求ρ1，ρ（2）求出直線l與圓C的公共點的極坐標．5．（全國（文））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=2-t-t2，y=2-3t+t2(t（1）求|AB|：（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求直線AB的極坐標方程.6．（全國（理））在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為4ρ（1）當k=1時，C1（2）當k=4時，求C1與C7．（全國（理））已知曲線C1，C2的參數(shù)方程分別為C1：（θ為參數(shù)），C2：x=t+1t,y=t-（1）將C1，C2的參數(shù)方程化為普通方程；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系.設C1，C2的交點為P，求圓心在極軸上，且經(jīng)過極點和P的圓的極坐標方程.8．（·江蘇）在極坐標系中，已知兩點A3,π4,B2（1）求A，B兩點間的距離；（2）求點B到直線l的距離.9．（·全國（理））如圖，在極坐標系Ox中，A(2,0)，B(2,π4)，C(2,3π4)，D(2,π)，弧AB，BC，CD所在圓的圓心分別是(1,0)，(1,π2)，(1,π)（1）分別寫出M1，M2，（2）曲線M由M1，M2，M3構成，若點P在M上，且|OP|=310．（·全國（文））在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲線C:ρ=4（1）當θ0=π3時，求（2）當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程.11．（·全國（文））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=1-t21+t2，y=4t1+t（1）求C和l的直角坐標方程；（2）求C上的點到l距離的最小值．12．（江蘇）在極坐標系中，直線l的方程為ρsin(π6-θ)=2，曲線C的方程為ρ=413．（全國（文））在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y=kx+2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C（1）求C2（2）若C1與C2有且僅有三個公共點，求C14．（全國（理））在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為x=cosθ，y=sinθ（θ為參數(shù)），過點0?，??-2（1）求α的取值范圍；（2）求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程．15．（全國（文））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθy=4sinθ（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為x=1+tcosαy=2+tsinα（t（1）求C和l的直角坐標方程；（2）若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為1,2，求l的斜率．16．（2017·全國（理））在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=3cosθ,y=sinx=a+4t,y=1（1）若a=-1，求C與（2）若C上的點到l的距離的最大值為，求a．17．（2017·全國（理））在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為x=2+t,y=kt,（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為x=-2+m,y=mk,（m為參數(shù)）.設l1與l（1）寫出C的普通方程；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3:ρcosθ+sinθ-2=0，18．（2017·全國（理））在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρ（1）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足OM?OP=16，求點（2）設點A的極坐標為2,π3，點B在曲線C219．（2017·全國（理））在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρ（1）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足OM?OP=16，求點（2）設點A的極坐標為2,π3，點B在曲線C220．（2017·江蘇）已知直線l的參考方程為x=-8+ty=t2（t為參數(shù)）,曲線C的參數(shù)方程為x=2s2,y=22s（s三、填空題21．（·天津（理））設a∈R，直線ax-y+2=0和圓x=2+2cosθ,y=1+2sinθ22．（北京（理））在極坐標系中，直線ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)23．（天津（理））已知圓x2+y2-2x=0的圓心為C，直線x=-1+22t,y=3-224．（2017·天津（理））在極坐標系中，直線y=-14與圓ρ=225．（2017·北京（理））在極坐標系中，點A在圓ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上，點P的坐標為1,0近五年（2017-2021）高考數(shù)學真題試卷類匯編十三、坐標系與參數(shù)方程（答案解析）1．D【分析】首先將參數(shù)方程化為直角坐標方程，然后利用點到直線距離公式求解距離即可.直線l的普通方程為4x-1-3y-2=0,即4x-3y+2=0,點1,0到直線l的距離【小結】本題考查直線參數(shù)方程與普通方程的轉化,點到直線的距離,屬于容易題,注重基礎知識?基本運算能力的考查.2．（1）x-22+y2=2；（2）P的軌跡C1的參數(shù)方程為x=3-2【分析】（1）將曲線C的極坐標方程化為，將x=ρcosθ（2）設Px,y，設M2+2cosθ（1）由曲線C的極坐標方程ρ=22cosθ將x=ρcosθ,y=ρsinθ即曲線C的直角坐標方程為x-（2）設Px,y，設AP=2∴x則x-1=2+2cosθ-故P的軌跡C1的參數(shù)方程為x=3-2+2∵曲線C的圓心為2,0，半徑為2，曲線C1的圓心為3-則圓心距為3-22，∵3-22<2-故曲線C與C1沒有公共點【小結】本題考查參數(shù)方程的求解，解題的關鍵是設出M的參數(shù)坐標，利用向量關系求解.3．（1）x=2+cosαy=1+sinα，（α為參數(shù)）；（2【分析】（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數(shù)方程；（2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標與直角坐標互化公式化簡即可.（1）由題意，⊙C的普通方程為(x-所以⊙C的參數(shù)方程為x=2+cosαy=1+（2）由題意，切線的斜率一定存在，設切線方程為，即kx-y+1由圓心到直線的距離等于1可得|-解得k=±33，所以切線方程為3x-3y+3-4將x=ρcosθ，2ρcos(【小結】本題主要考查直角坐標方程與極坐標方程的互化，涉及到直線與圓的位置關系，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道基礎題.4．（1）ρ1=4，ρ【分析】(1)將A,B點坐標代入即得結果；（2）聯(lián)立直線與圓極坐標方程，解得結果.（1）以極點為原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，∵ρ因為點B為直線θ=π6上，故其直角坐標方程為又ρ=4sinθ對應的圓的直角坐標方程為：由&y=33x&x2對應的點為0,0,3,1，故對應的極徑為ρ（2）∵ρ∵θ當θ=π4時當θ=5π4時ρ=-2【小結】本題考查極坐標方程及其交點，考查基本分析求解能力，屬基礎題.5．（1）410（2）【分析】（1）由參數(shù)方程得出A,B的坐標，最后由兩點間距離公式，即可得出AB的值；（2）由A,B的坐標得出直線AB的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可.（1）令x=0，則t2+t-2=0，解得t=-2或t=1（舍），則y=2+6+4=12，即令y=0，則t2-3t+2=0，解得t=2或t=1（舍），則x=2-∴AB（2）由（1）可知kAB則直線AB的方程為y=3(x+4)，即3x-由x=ρcosθ,y=ρsinθ【小結】本題主要考查了利用參數(shù)方程求點的坐標以及直角坐標方程化極坐標方程，屬于中檔題.6．（1）曲線C1表示以坐標原點為圓心，半徑為1的圓；（2）(【分析】（1）利用sin2t+cos2（2）當k=4時，x≥0,y≥0，曲線C1的參數(shù)方程化為為參數(shù)），兩式相加消去參數(shù)t，得C1普通方程，由ρcosθ=x,ρsinθ=y（1）當k=1時，曲線C1的參數(shù)方程為x=兩式平方相加得x2所以曲線C1表示以坐標原點為圓心，半徑為1（2）當k=4時，曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)），所以x≥0,y≥0，曲線C1的參數(shù)方程化為為參數(shù)），兩式相加得曲線C1方程為x得y=1-x，平方得曲線C2的極坐標方程為4ρ曲線C2直角坐標方程為4x聯(lián)立C1,C整理得12x-32x+13=0，解得x=1∴x=14,y=14，【小結】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化，極坐標方程與直角坐標方程互化，合理消元是解題的關鍵，要注意曲線坐標的范圍，考查計算求解能力，屬于中檔題.7．（1）C1:x+y=40≤x≤4；C2:【分析】（1）分別消去參數(shù)θ和t即可得到所求普通方程；（2）兩方程聯(lián)立求得點P，求得所求圓的直角坐標方程后，根據(jù)直角坐標與極坐標的互化即可得到所求極坐標方程.（1）由cos2θ+sin2由x=t+1ty=t-1t得：x（2）由x+y=4x2-y2設所求圓圓心的直角坐標為a,0，其中a>0，則a-522+0-32∴所求圓的直角坐標方程為：x-17102∴所求圓的極坐標方程為ρ=17【小結】本題考查極坐標與參數(shù)方程的綜合應用問題，涉及到參數(shù)方程化普通方程、直角坐標方程化極坐標方程等知識，屬于?？碱}型.8．（1）5；（2）2.【分析】(1)由題意，在△OAB中，利用余弦定理求解AB的長度即可；(2)首先確定直線的傾斜角和直線所過的點的極坐標，然后結合點B的坐標結合幾何性質可得點B到直線l的距離.（1）設極點為O.在△OAB中，A（3，π4），B（2，π由余弦定理，得AB=32（2）因為直線l的方程為ρsin則直線l過點(32,π又B(2,π2)，所以點B【小結】本題主要考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力．9．(1)ρ=2cosθ(θ∈[0,π4(2)(3,π6),(【分析】(1)將三個過原點的圓方程列出，注意題中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范圍.(2)根據(jù)條件逐個方程代入求解，最后解出P點的極坐標.(1)由題意得，這三個圓的直徑都是2，并且都過原點.M1M2:ρ=2cos(2)解方程2cosθ=3(θ∈[0,π解方程2sinθ=3(θ∈[π4,3π4解方程-2cosθ=3(θ∈[3π故P的極坐標為(3,π6),(【小結】此題考查了極坐標中過極點的圓的方程，思考量不高，運算量不大，屬于中檔題.10．（1），l的極坐標方程為；（2）ρ=4cosθ【分析】（1）先由題意，將θ0=π3代入ρ=4sinθ即可求出（2）先由題意得到P點軌跡的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可，要注意變量的取值范圍.（1）因為點M(ρ0,所以ρ0即M(23,π因為直線l過點A(4,0)且與OM垂直，所以直線l的直角坐標方程為y=-33因此，其極坐標方程為ρcosθ+3ρ（2）設P(x,y)，則kOP=yx由題意，OP⊥AP，所以kOAP=因為P在線段OM上，M在C上運動，所以0≤所以，P點軌跡的極坐標方程為ρ2-4ρ【小結】本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，熟記公式即可，屬于常考題型.11．（1）C:x2+y24【分析】（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐標方程；根據(jù)極坐標與直角坐標互化原則可得l的直角坐標方程；（2）利用參數(shù)方程表示出C上點的坐標，根據(jù)點到直線距離公式可將所求距離表示為三角函數(shù)的形式，從而根據(jù)三角函數(shù)的范圍可求得最值.（1）由x=1-t2∴整理可得C的直角坐標方程為：x又x=ρcosθ∴l(xiāng)的直角坐標方程為：（2）設C上點的坐標為：cos則C上的點到直線l的距離d=當sinθ+π6則d【小結】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化、求解橢圓上的點到直線距離的最值問題.求解本題中的最值問題通常采用參數(shù)方程來表示橢圓上的點，將問題轉化為三角函數(shù)的最值求解問題.12．直線l被曲線C截得的弦長為2分析：先根據(jù)直線與圓極坐標方程得直線與圓的一個交點為A（4，0），且OA為直徑.設直線與圓的另一個交點為B，根據(jù)直線傾斜角得∠OAB=π6．最后根據(jù)直角三角形OBA求弦長AB解析：因為曲線C的極坐標方程為ρ=4cos所以曲線C的圓心為（2，0），直徑為4的圓．因為直線l的極坐標方程為ρsin則直線l過A（4，0），傾斜角為π6所以A為直線l與圓C的一個交點．設另一個交點為B，則∠OAB=π6連結OB，因為OA為直徑，從而∠OBA=π2所以AB=4cos因此，直線l被曲線C截得的弦長為23小結：本題考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力.13．(1)(x+1)(2)y=-分析：(1)就根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ以及(2)結合方程的形式，可以斷定曲線C2是圓心為A-1,0，半徑為2的圓，C1是過點B0,2且關于解析：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinx+12（2）由（1）知C2是圓心為A-1,0由題設知，C1是過點B0,2且關于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2．由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與當l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以-k+2k經(jīng)檢驗，當k=0時，l1與C2沒有公共點；當k=-43時，l1與當l2與C2只有一個公共點時，A到l2所在直線的距離為2，所以k+2k2經(jīng)檢驗，當k=0時，l1與C2沒有公共點；當k=43時，l綜上，所求C1的方程為y=小結：該題考查的是有關坐標系與參數(shù)方程的問題，涉及到的知識點有曲線的極坐標方程向平面直角坐標方程的轉化以及有關曲線相交交點個數(shù)的問題，在解題的過程中，需要明確極坐標和平面直角坐標之間的轉換關系，以及曲線相交交點個數(shù)結合圖形，將其轉化為直線與圓的位置關系所對應的需要滿足的條件，從而求得結果.14．（1）(（2）x=22sin分析：（1）由圓與直線相交，圓心到直線距離d<r可得．（2）聯(lián)立方程，由根與系數(shù)的關系求解解析：（1）⊙O的直角坐標方程為x當α=π2時，l與當α≠π2時，記tanα=k，則l的方程為y=kx-2．l與⊙O交于兩點當且僅當21+綜上，α的取值范圍是π4（2）l的參數(shù)方程為x=tcosα,y=-2+tsinα(t設A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP=tA于是tA+tB=22sinα所以點P的軌跡的參數(shù)方程是x=22sin2α,y=-22小結：本題主要考查直線與圓的位置關系，圓的參數(shù)方程，考查求點的軌跡方程，屬于中檔題．15．（1）x24+y216=1，當cosα≠0時，l的直角坐標方程為y=【分析】分析：(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關系將曲線C的參數(shù)方程化為直角坐標方程，根據(jù)代入消元法將直線l的參數(shù)方程化為直角坐標方程，此時要注意分cosα≠0與cosα=0兩種情況.(2)將直線l參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義得sin解析：（1）曲線C的直角坐標方程為x2當cosα≠0時，l當cosα=0時，l的直角坐標方程為（2）將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程1+3cos因為曲線C截直線l所得線段的中點1,2在C內，所以①有兩個解，設為t1，t2，則又由①得t1+t2=-416．（1）(3,0)，(-2125,2425)試題分析：（1）直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標方程，聯(lián)立解交點坐標；（2）利用橢圓參數(shù)方程，設點(3cos試題解析：（1）曲線C的普通方程為x2當a=-1時，直線l的普通方程為由x+4y-3=0x29從而C與l的交點坐標為3,0，-21（2）直線l的普通方程為x+4y-a-4=0，故C上的點d=3當a≥-4時，d的最大值為a+917.由題設得a+9當a<-4時，d的最大值為-a+117.由題設得綜上，a=8或a=-小結:本題為選修內容，先把直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標方程，聯(lián)立方程，可得交點坐標，利用橢圓的參數(shù)方程，求橢圓上一點到一條直線的距離的最大值，直接利用點到直線的距離公式，表示出橢圓上的點到直線的距離，利用三角有界性確認最值，進而求得參數(shù)a的值．17．（1）x2-y2（1）消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=kx-2；消去參數(shù)m得l設Px,y,由題設得y=kx-2y=所以C的普通方程為x2（2）C的極坐標方程為ρ2聯(lián)立ρ2cos故tanθ從而cos代入ρ2cos所以交點M的極徑為5.【名師小結】本題考查了極坐標方程的求法及應用，重點考查了轉化與化歸能力.遇到求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.要結合題目本身特點，確定選擇何種方程.18．（1）（x-2）試題分析：（1）設出P的極坐標，然后由題意得出極坐標方程，最后轉化為直角坐標方程為x-（2）利用（1）中的結論，設出點的極坐標，然后結合面積公式得到面積的三角函數(shù)，結合三角函數(shù)的性質可得△OAB面積的最大值為2+試題解析：解：（1）設P的極坐標為（ρ,θ）（ρ＞0），M的極坐標為ρ1,θ（|OP|=ρ，OM=ρ1由OM?|OP|=16得C2因此C2的直角坐標方程為（（2）設點B的極坐標為ρB,α（ρB＞0）.由題設知|OA|=2，S=當α=-π12時，S所以△OAB面積的最大值為2+3小結:本題考查了極坐標方程的求法及應用，重點考查了轉化與化歸能力.在求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.要結合題目本身特點，確定選擇何種方程.19．（1）（x-2）試題分析：（1）設出P的極坐標，然后由題意得出極坐標方程，最后轉化為直角坐標方程為x-（2）利用（1）中的結論，設出點的極坐標，然后結合面積公式得到面積的三角函數(shù)，結合三角函數(shù)的性質可得△OAB面積的最大值為2+試題解析：解：（1）設P的極坐標為（ρ,θ）（ρ＞0），M的極坐標為ρ1,θ（|OP|=ρ，OM=ρ1由OM?|OP|=16得C2因此C2的直角坐標方程為（（2）設點B的極坐標為ρB,α（ρB＞0）.由題設知|OA|=2，S=當α=