理論力學(xué)課件-第13章動(dòng)能定理

§

13–

1§

13–

2§

13–

3§

13–

4§

13–

5§

13–

6力的功質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能動(dòng)能定理功率·功率方程·機(jī)械效率場(chǎng)·勢(shì)能·機(jī)械能守恒定律普遍定理的綜合運(yùn)用第十三章 動(dòng)能定理§13-1

力的功W

M

2M1WF

drM

2M1vv一、力的功1、常力在直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的功W

F

cos

θ

s

F

sv2、變力在曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中的功δW

F

cos

ds

F

drvW

Fxdx

Fydy

Fzdz3、合力的功

W

Wi1、重力的功W

mgh

mgzC1

zC

2

只與重心的初末位置有關(guān)與路徑無(wú)關(guān)二、幾種常見(jiàn)力的功重心位置下降，重力作正功；重心位置上升，重力作負(fù)功。yzxWz1z2M2M1M2、彈性力的功r1v2rvM12MMrev

rvrkFk彈簧的彈力為v0F

kr

r

erv0

kr

r

r彈簧的彈力的為rv0W

F

vdr

kr

r

rdrv

kr

r

v

vdr

r

2r10k

kr

r0

dr彈簧的彈力的功為W

21MMW1r20

kr

r

drr2

)k2221(

r1v2rvM12MMrev

rvrkF22

)21

22、彈性力的功kW

(

1------初始位置時(shí)彈簧的變形量2------末了位置時(shí)彈簧的變形量彈性力做功只與初末位置時(shí)彈簧的變形量有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。FvrF213、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛物體上作用力的功W

F

drv

F

ds

F

RdM

z

Ft

RW

M

z

d從角

1

轉(zhuǎn)動(dòng)到角2

過(guò)F

的功為zM

dW

M

z

2

1

4、任意運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功將力系向剛體的質(zhì)心簡(jiǎn)化，一般簡(jiǎn)化為一個(gè)力和一個(gè)力偶。由力系的等效原理，這個(gè)力和力偶所作的

等于力系中所有力所作的和，有dv平面運(yùn)動(dòng)剛體W

F

drv

M

dvR

C

CW

W

F

drv

MvR

CC1)動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功FN=常量時(shí)，W=–f′FN

S，與質(zhì)點(diǎn)的路徑有關(guān)。2)圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力的功5、摩擦力的功vv

vδW

F

dr

F

vC

dt

03)

滾動(dòng)摩擦阻力偶M的功若M

=常量則W

M

M

sR只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變，內(nèi)力的和就等于零。不變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力功之和等于零。A

B

F'

drvvδW

F

drA

Bv

F

drv

rv

6、質(zhì)點(diǎn)系v

內(nèi)力的功v

vvA

F

dr

F

drBF

dBA

vv1)光滑固定面約束vFN

drvδW

FN

dr

02)活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承理想約束：反力

為零或之和為零的約束。7、理想約束反力的功δW

F

drv

F

'drv

F

drv

F

drv

04)柔索約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）拉緊時(shí)，

拉力的

之和恒等于零。3)聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）例題13-1半徑為2r的圓輪在水平面上作純滾動(dòng)如圖示，輪軸上有繞有軟繩，輪軸半徑為r，繩上作用常值水平拉力F。求輪心C運(yùn)動(dòng)x距離時(shí)，力F所作的功。2rrCOxF解：將力F

向輪心簡(jiǎn)化。產(chǎn)生力偶

M=Fr

，輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角度為

x

2r。根據(jù)式W

Fx

M

x

1

FxC

2r

2W

tC

M

dtCF

v0力F所作的功為2rOxFFrCM§13-2

質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能T

1

mv22212i

im

v2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能T

3、剛體的動(dòng)能1）平動(dòng)剛體2C21212i

iMvm

vT

2T

1

J

2PCPJ

J

Md

2（P為速度瞬心）12

2

1Md

2

22T

JC

22i

im

vT

2)

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體13)平面運(yùn)動(dòng)剛體212zJ

22

12

i

i

m

r

21212CJ

CMv

CvvCPd質(zhì)量為m，半v0vRC例題13-2徑為R的圓盤(pán)沿水平面作純滾動(dòng)，求其動(dòng)能。解：方法一圓盤(pán)為平面運(yùn)動(dòng)，故其動(dòng)能為212CJ

CT

1

Mv2

212mv2

0

R

2

21

1

mR2

v0

2

30mv24質(zhì)量為m，半例題13-2徑為R的圓盤(pán)沿水平面作純滾動(dòng)，求其動(dòng)能。解：方法二22將圓盤(pán)的運(yùn)動(dòng)看成繞速度瞬心軸P軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故其動(dòng)能為1PT

J

2

21

1

R

v

2

mR2

mR2

0

0mv2340vvCRP單位長(zhǎng)度質(zhì)量為，輪的半徑為R，輪軸之間的距離為d，

前進(jìn)的速度為v0

。求全部

的總動(dòng)能。C2C1dR例題13-30vv解：將分成四部分，如圖C2C1dR0vvABMN將半圓環(huán)AM和半圓環(huán)BN

組成一圓環(huán)，此圓環(huán)作純滾動(dòng)，動(dòng)能為2112OJ

T

O221

2R

R

R

22

v0

2R

R

20

2RvC2C1dR0vvABMN2T

1

mv2AB部分作平動(dòng)，速度為2v0，動(dòng)能為O21220d2v

20

2dvMN部分，動(dòng)能為0故，

總能為：T

T1

T220

2Rv20

2dv思考：，楔塊A向右移動(dòng)速度為v1,質(zhì)量22sin

]2222v

cos

)

vB

1T

m

[(v

Av1為m的物塊B沿斜面下滑，它相對(duì)于楔塊的速度為v2，求物塊B的動(dòng)能TB。Bv2§13-3動(dòng)能定理1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理drv

vv

dtvvd

v

vmv

vdt

Fdrdtdtma

Fv

d

v(mv

)

Fv兩邊點(diǎn)乘以122

d

(mv

)

vdt

m

d(v

v

)

d(dt

2mv

)vF

dr

Wmv1d2

δW

2將上式沿路徑M1M

2積分，可得2

1

121

mv

2

1

mv

2

W2

2質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式mv1d2

2

δW

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式表明:在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力作的功。2、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的一質(zhì)點(diǎn)

Mi

：ii

i

δWm

v1d2

2

12d2

iδWi

im

v對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有

idi

im

v122

iδWδW

即

dT

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式T2

T1

WdT

δWi將上式沿路徑M1M

2

積分，可得質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式表明:在質(zhì)點(diǎn)系在某一段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上的全部力的功。微分形式------求加速度積分形式------求速度例題13-4sk2v

=

0OAv0質(zhì)量為m1

的物塊

A懸掛于不可升長(zhǎng)的繩子上，繩子跨過(guò)滑輪與鉛直彈簧相滑輪連的，質(zhì)彈量簧為剛m度2系，數(shù)并為可看k。成設(shè)半徑是

r

的勻質(zhì)圓盤(pán)?，F(xiàn)在從平衡位置給物塊

A

以向下的初速度

v0

，試求物塊

A由這位置下降的最大距離s，彈簧和繩子的質(zhì)量不計(jì)。解：取整個(gè)系統(tǒng)作為研究對(duì)象。skAv02v

=

0O以物塊具有初始速度瞬時(shí)為初始時(shí)刻，則21

0T1

TA

TO1

m

v

2

2

21

1

r

v

2

m

r

2

0

21

2

02142m

m

v以物塊

A

的最大下降點(diǎn)作為末時(shí)刻，則T2

002k2m1

m2

vs

skAv02v

=

0O在物塊下降到最低點(diǎn)的過(guò)程中，所有力的功為222112

W

WA

Wkk

m

gs

km

g11

2

1

s221W

ks222

01124T2

T1

W1

2m

m

v

ks兩根均質(zhì)直桿組成的機(jī)構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計(jì)，如機(jī)構(gòu)在圖示位置從，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)，AB桿B

端的速度。例題13-50.9mOA1.2mB解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象0.9m1.2mOABA’B’AvvBvvT2

TOA

TAB

2當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)，桿OA作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿AB瞬時(shí)平動(dòng)，設(shè)AB質(zhì)量為m，故T1

012OJ

2

1

mv22B

1

mv2

1

1

2m

0.92

22

3vB

vA

0.9ABT

T

T2

OA2B56mvW

2mg

0.9

mg(0.6

0.15)

1.35mg2T2

T1

W動(dòng)能定理T1

02B256mvT

B5

mv2

0

1.35mg6vB

1.62g

3.98

m

/

s0.9m1.2mOABA’B’vAvvBv卷?yè)P(yáng)機(jī)。鼓輪在常力偶M的作用下將圓柱沿斜坡上拉。已知鼓輪的半徑為R1

，質(zhì)量為

m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為R2

，質(zhì)量為

m2，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜坡的傾角為θ，圓柱只滾不滑。系統(tǒng)從

開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求圓柱中心C經(jīng)過(guò)路程s時(shí)的速度。OMDθC例題13-6解：圓柱和鼓輪一起組成質(zhì)點(diǎn)系，所受力有OMCm1gFOxFOym2gFNFsDθ1所有力作功為：W

M

m2

g

sin

s質(zhì)點(diǎn)系初始動(dòng)能為：T1

0OMCm1gFOxFOym2gFNFsDθ1所有力作功為：W

M

m g

sin

s2質(zhì)點(diǎn)系初始動(dòng)能為：T

01質(zhì)點(diǎn)系末時(shí)動(dòng)能為：2C

221

1

2

C2

122J

1

m

v212J

T

11RvC22RvC

2

22

1

m

R2

42

CJ

m

R2

J1

1

1

CT

2m1

3m2

v2由動(dòng)能定理T2

T1

WR1

(2m1

3m2

)(M

m2

gR1

sin

)sCv

2OMC1m

gFOxFOym2gFNFsDθ1W

M

m g

sin

s21T

0

221T2

4vC2m

3m4

s

R1

0

M

m g

sin

sC2m1

3m2

v22例題13-7O1行星齒輪傳構(gòu)，放在水平面內(nèi)。動(dòng)齒輪半徑r

，重P，

視為均質(zhì)圓盤(pán)；曲柄OO1重P1，長(zhǎng)L

，作用一力偶，

矩為M(常量)，曲柄由

開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)；

求曲柄的角速度

(以轉(zhuǎn)角

的函數(shù)表示)

和角加速度。rOM解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象W

MT1

01

1T2

TOO

TO1v

l

2

21212g2P

9Pl

T

OO1M1vvr

12122v1221

2

3g

P

r2

g2

g1

P1

Pl

22122O1

1

1

J

1212OJ

mvv

lr

r

11根據(jù)動(dòng)能定理，得l

22

0

M112g2P

9P3gMl

2P1

9P

2對(duì)t

求導(dǎo)數(shù)，得

d

6gM

dt

(2P1

9P)l

2OO1M1vvr

1例題13-8圖示系統(tǒng)中，均質(zhì)滑輪A、B及物塊M均重P，彈簧ABMkhv0v。剛性系數(shù)為k，初始系統(tǒng)現(xiàn)給物塊M一向下的初始速度v0

，試問(wèn)要使物塊能夠接觸到地面，初始速度至少要為多少？不可伸長(zhǎng)細(xì)繩的質(zhì)量不計(jì)且與滑輪間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)。ABMkhv0v解：物塊M具有向下初始速度的一瞬間，滑輪A繞A作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑輪B作平面運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)系初始動(dòng)能為：T1

TA

TB

TM

1

1

P2 2

g

R

v

2R2

0

TA2

22

g

2

1

P

v

2

0

R1 1

P

vR

2

0

BT

2 2

g0P

v24g0v216g3PABMkh0vv質(zhì)點(diǎn)系初始動(dòng)能為：T1

TA

TB

TMvAT

204g

16gP

3P20

BT

v202

g1

PMT

v20116

g15

PvT

質(zhì)點(diǎn)系末時(shí)刻動(dòng)能為：2T

0所有力的功為：W

WM

WB

WkABMkhv0v20116

g15

PvT

2T

0所有力的功為：W

WM

WB

Wk2M

BW

Ph

W

P

h2221

k2W

kk12

P

P

hk

28W

kh2ABMkh0vv20116

g15

PT

vT2

08W

kh2動(dòng)能定理：T2

T1

W816

g15

P0

kh220v

15P2gkh20v

率：力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功；是衡量機(jī)器工作能力的一個(gè)重要指標(biāo)；功率是代數(shù)量，并有瞬時(shí)性；§

13-4

功率?功率方程?機(jī)械效率vP

δW

F

dr

F

vv

Fvdt

dtv力的功率dtdtP

δW

Md

M力矩的功率W

或kW二、功率方程質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式dT

δWi

dT

δWidt

dt即為功率方程，即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有力的功率的代數(shù)和。對(duì)于機(jī)器而言，一般情況下i

P無(wú)用有用輸入

P

PdtdT

P100%

P有用P輸入衡量機(jī)器對(duì)輸入功率的有效利用程度。三、機(jī)械效率例題13-9車(chē)床電的功率P=4.5

kw，主軸的最低轉(zhuǎn)速為n

=42

rpm，。設(shè)傳動(dòng)時(shí)由于摩擦而損耗的功率是輸入功率的30%，如工件的直徑

d=100

mm，求在此轉(zhuǎn)速時(shí)的切削力F。nnrdFnnrdF解:

車(chē)床正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)是勻速的，因此動(dòng)能不隨時(shí)間改變，故輸入功率與輸出功率和消耗功率之和平衡。

dT

Pdt

P有用

P無(wú)用輸入3150

WP無(wú)用

0.3P輸入P有用

0.7P輸入0F

1.43144

NP有用

0.7P輸入

3150

W如忽略走刀阻力，則P有用就表示切削力F的功率，

。即P有用nnrdFN

ms－12

F

v

F

d

0.22F§13-5

場(chǎng)、勢(shì)能機(jī)械能守恒定律1、力場(chǎng)：若質(zhì)點(diǎn)在某空間內(nèi)的任何位置都受到一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱(chēng)為力場(chǎng)。2、

場(chǎng)：

在力場(chǎng)中,如果作用于質(zhì)點(diǎn)的場(chǎng)力作功只決定于質(zhì)點(diǎn)的始末位置，與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱(chēng)為

場(chǎng)。3、有

：質(zhì)點(diǎn)在場(chǎng)中受到的場(chǎng)力稱(chēng)為有勢(shì)力(保守力)，如重力、彈力等。在

場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)從位置M

運(yùn)動(dòng)到任選位置M0，

有

所作的功稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在位置M

相對(duì)于位置M0的勢(shì)能，用V

表示。M

0

M

0V

F

dr

Fxdx

Fy

dy

Fz

dzM

MM0作為基準(zhǔn)位置，勢(shì)能為零，稱(chēng)為零勢(shì)能點(diǎn)。4、勢(shì)能設(shè)質(zhì)點(diǎn)系只受到有有

)

作用，則(或同時(shí)受到不作功的非T1

V1

T2

V2

常數(shù)----------機(jī)械能守恒定律這樣的系統(tǒng)成為保守系統(tǒng)。5、機(jī)械能守恒定律例題13-10長(zhǎng)為L(zhǎng)

，質(zhì)量為m

的均質(zhì)直桿，初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無(wú)初速度地傾倒后，求質(zhì)心C

的速度（用桿的傾角

表達(dá)）。CC解：由于水平方向不受外力，且初始，故質(zhì)心C

鉛垂下降。由于約束反力不作功,主動(dòng)力為有，因此機(jī)械能守恒。設(shè)地面為重力零勢(shì)能位置，則C1初瞬時(shí)：T

02V

1

mgL1任意瞬時(shí)（桿作平面運(yùn)動(dòng)）2212

2C

CJ

1

mv2T

1V2

2

mgL

sinvCCvC1T

0初瞬時(shí)：2V

1

mgL122任意瞬時(shí):

T

12C

1

mv22

&CJ

22V

1

mgL

sin

vCCv12CJ

1

mL22C224mL212

mvT

&C1T

0初瞬時(shí)：V

1

mgL1任意瞬時(shí):22vCCv機(jī)械能守恒定律T1

V1

T2

V22224C2mv

V

1

mgL

sinmL212

T

&12Cv

gL1

sin

1

L2&2§13-6

普遍定理及綜合應(yīng)用1、動(dòng)量定理------質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

2、動(dòng)量矩定理------剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理------剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程3、動(dòng)能定理例題13-11兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長(zhǎng)為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線(xiàn)始終在鉛垂面內(nèi)，初始 ，C

點(diǎn)高度為h，求鉸C到達(dá)地面時(shí)的速度。CABh解：ABChABCCvv系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，水平方向所受力始終為零，所以系統(tǒng)在水平方向質(zhì)心位置守恒，且系統(tǒng)初始靜止，故質(zhì)心只有向下的速度，所以鉸C達(dá)到地面時(shí)速度豎直向下，如圖。此時(shí)A，B兩點(diǎn)的速度均為零。于是有1T

0

2

2

l

l

2

C

T

3

g1 1

P

v

2 1

P2 3

gCv2ABChABCCvvT1

0223

g1

PCvT

W

P

h

2

Ph2代入動(dòng)能定理：T2

T1

W

0

Ph1

P

v23

gCCv

3gh質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒與動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用問(wèn)題。思考1：如圖均質(zhì)正方形板，邊長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，初始。由圖示位置受干擾后順時(shí)針?lè)较?，不?jì)摩擦，求當(dāng)OA邊到達(dá)水平位置時(shí)板的角速度。450OABD450ABDCOABDCCvvOvvP1

l

2

2

l2

212m

O水平方向動(dòng)量守恒動(dòng)能定理22

1

ml2

62

0

mg

l

思考2：質(zhì)量為m0

的物體上刻有半徑為r

的半圓槽，放在光滑的水平面上，原處于狀態(tài)。有一質(zhì)量為m的小球自A處無(wú)初速度地沿光滑半圓槽下滑。求小球滑到B處時(shí)相對(duì)于物體的速度及槽對(duì)小球的壓力。OABrrvvOArrvv水平方向動(dòng)量守恒vBm0v

mvr

v

0212m

v

mv

v2

0

mgr120r動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程man

F

mgr

N思考3

物體A、B，質(zhì)量分別為mA、mB，用彈簧相連，放在光滑水平面上。彈簧原長(zhǎng)為

l0

，剛度系數(shù)為k。現(xiàn)將彈簧拉長(zhǎng)到

l

后無(wú)初速

，求當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物體A、B

的速度，彈簧質(zhì)量不計(jì)。AB水平方向動(dòng)量守恒mAvA

mBvB

0動(dòng)能定理20020kl

l

l

l2BA

A12

0

12

2m

vB

1

m

v2

AFkFkvFNANBFm

gvAm

gvBAvvBvvlB例題13-12重P1=150N的均質(zhì)圓盤(pán)與重P2=60N、長(zhǎng)l=24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接。

系統(tǒng)由圖示位置無(wú)初速地

。求系統(tǒng)經(jīng)過(guò)最低位置時(shí)，B'點(diǎn)的速度及支座A的約束反力。A60oBB'60oABB'解：（1）圓盤(pán)受力如圖BFBxFBy故：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，圓盤(pán)作平動(dòng)P2運(yùn)用相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理JB

M

B

F

e

0

00

0且o60BB'（2）動(dòng)能定理求速度BvvAAB初始：T1

02最低位置：T2

TAB

TB1B

BA

AB

1

m

v22

J

B2

v22

g1

P

l

v

221

P3

g1

l

2

B

B1P

3P2

26gvo60BB'（2）動(dòng)能定理求速度T1

0BvvAABT

P1

3P2

v22

B6g所有力的功