概率與統(tǒng)計的交匯的五種題型

概率與統(tǒng)計的交匯的五種題型統(tǒng)計和古典概型的綜合是高考解答題的一個命題趨勢和熱點，此類題一般在實際生活背景中結合統(tǒng)計與概率的相關知識，考查學生的綜合解題能力，在解決綜合問題時，要求同學們對圖表進行觀察、分析、提煉，挖掘出圖表所給予的有用信息，排除有關數據的干擾，進而抓住問題的實質，達到求解的目的.題型一、隨機抽樣與概率交匯例1.某電視臺在一次對收看文藝節(jié)目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調查中，隨機抽取了100名電視觀眾，相關的數據如下表所示：文藝節(jié)目新聞節(jié)目總計20至40歲401858大于40歲152742總計5545100(1)由表中數據直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關？(2)用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機抽取5名，大于40歲的觀眾應該抽取幾名？(3)在上述抽取的5名觀眾中任取2名，求恰有1名觀眾的年齡為20至40歲的概率.【解析】(1)由于大于40歲的42人中有27人收看新聞節(jié)目，而20至40歲的58人中，只有18人收看新聞節(jié)目，故收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡有關.(2)27×＝3，所以大于40歲的觀眾應抽取3名.(3)由題意知，設抽取的5名觀眾中，年齡在20歲至40歲的為a1，a2，大于40歲的為b1，b2，b3，從中隨機取2名，基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共10個，設恰有一名觀眾年齡在20至40歲為事件A，則A中含有基本事件6個：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，所以【點評】本題將統(tǒng)計抽樣與概率綜合在一起，掌握抽樣方法的特點以及古典概率事件空間的列舉是解題的關鍵，利用分層抽樣的定義以及各層抽樣比是解決分層抽樣的重要手段.通過列舉法列舉出所有事件發(fā)生的可能性的種數,尋找出問題中所要求的事件的可能性的種數即可求解出所求概率,列舉法又稱枚舉法,它是解決隨機事件的重要方法.【變式訓練1】（1）假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%，現采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率：先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每兩個隨機數為一組，代表兩次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：9328124585696834312573930275564887301135據此估計，該運動員兩次擲鏢恰有一次正中靶心的概率為()A.0.50 B.0.45C.0.40 D.0.35【解析】兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機數中有且只有一個數為1,2,3,4中的之一，它們分別是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35，共10個，因此所求的概率為＝0.50.故選A.（2）某校舉行漢字聽寫比賽，為了了解本次比賽成績情況，從得分不低于50分的試卷中隨機抽取100名學生的成績(得分均為整數，滿分100分)進行統(tǒng)計，請根據頻率分布表中所提供的數據，解答下列問題：組號分組頻數頻率第1組[50,60)50.05第2組[60,70)a0.35第3組[70,80)30b第4組[80,90)200.20第5組[90,100]100.10合計1001.00(1)求a，b的值；(2)若從成績較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽寫比賽，并從中選出2人做種子選手，求2人中至少有1人是第4組的概率.【解析】(1)a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30.(2)因為第3、4、5組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組分別為，第3組：×30＝3人，第4組：×20＝2人，第5組：×10＝1人，所以第3、4、5組應分別抽取3人、2人、1人.設第3組的3位同學為A1，A2，A3，第4組的2位同學為B1，B2，第5組的1位同學為C1，則從6位同學中抽2位同學有15種可能，如下：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1).其中第4組被入選的有9種，所以其中第4組的2位同學至少有1位同學入選的概率為.題型二、頻率分布直方圖與概率交匯例2.某班同學利用國慶節(jié)進行社會實踐，對[25,55]歲的人群隨機抽取n人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數的頻率分布直方圖：組數分組低碳族的人數占本組的頻率第一組[25,30)1200.6第二組[30,35)195p第三組[35,40)1000.5第四組[40,45)A0.4第五組[45,50)300.3第六組[50,55]150.3(1)補全頻率分布直方圖并求n，a，p的值；(2)從年齡段在[40,50)的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗活動，其中選取2人作為領隊，求選取的2名領隊中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率.【解析】(1)第二組的頻率為1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高為＝0.06.頻率分布直方圖如下：第一組的人數為＝200，頻率為0.04×5＝0.2，所以n＝＝1000.由題可知，第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數為1000×0.3＝300，所以P＝＝0.65.第四組的頻率為0.03×5＝0.15，所以第四組的人數為1000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60.(2)因為[40,45)歲年齡段的“低碳族”與[45,50)歲年齡段的“低碳族”的比值為60∶30＝2∶1，所以采用分層抽樣法抽取6人，[40,45)歲中有4人，[45,50)歲中有2人.設[40,45)歲中的4人為a，b，c，d，[45,50)歲中的2人為m，n，則選取2人作為領隊的選法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共15種；其中恰有1人年齡在[40,45)歲的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8種.所以選取的2名領隊中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率為.【點評】涉及頻率分布直方圖的考題注重頻率、頻數的計算，旨在考查對問題的分析與信息提取.利用樣本的頻率分布估計總體分布，一要正確理解小矩形的面積及縱坐標的幾何意義，二要通過圖表對已知數據正確分析并計算各段的頻率.在頻率分布直方圖中,每個小矩形的面積就是相應的頻率或概率,所有小矩形的面積之和為1，這是解題的關鍵,也是識圖的基礎?！咀兪接柧?】把參加某次鉛球投擲的同學的成績(單位：米)進行整理，分成以下6個小組：[5.25,6.15)，[6.15,7.05)，[7.05,7.95)，[7.95,8.85)，[8.85,9.75)，[9.75,10.65]，并繪制出頻率分布直方圖，如圖所示是這個頻率分布直方圖的一部分.已知從左到右前5個小組的頻率分別為0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小組的頻數是7.規(guī)定：投擲成績不小于7.95米的為合格.(1)求這次鉛球投擲成績合格的人數；(2)你認為這次鉛球投擲的同學的成績的中位數在第幾組？請說明理由；(3)若參加這次鉛球投擲的學生中，有5人的成績?yōu)閮?yōu)秀，現在要從成績優(yōu)秀的學生中，隨機選出2人參加相關部門組織的經驗交流會，已知a，b兩位同學的成績均為優(yōu)秀，求a，b兩位同學中至少有1人被選到的概率.【解析】（1）∵第6小組的頻率為1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14.∴參加這次鉛球投擲的總人數為＝50.根據規(guī)定，第4、5、6組的成績均為合格，人數為(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36.(2)∵成績在第1、2、3組的人數為(0.04＋0.10＋0.14)×50＝14，成績在第5、6組的人數為(0.30＋0.14)×50＝22，參加這次鉛球投擲的總人數為50，∴這次鉛球投擲的同學的成績的中位數在[7.95,8.85)內，即第4組.(3)設這次鉛球投擲成績優(yōu)秀的5人分別為a，b，c，d，e，則選出2人的所有可能的情況為：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10種，其中a、b至少有1人的情況為：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共有7種，∴a、b兩位同學中至少有1人被選到的概率為P＝.題型三、莖葉圖與概率交匯例3.某校團委會組織該校高中一年級某班以小組為單位利用周末時間進行了一次社會實踐活動，且每個小組有5名同學，在實踐活動結束后，學校團委會對該班的所有同學都進行了測試，該班的A，B兩個小組所有同學所得分數(百分制)的莖葉圖如圖所示，其中B組一同學的分數已被污損，但知道B組學生的平均分比A組學生的平均分高1分.(1)若在B組學生中隨機挑選1人，求其得分超過85分的概率；(2)現從A組這5名學生中隨機抽取2名同學，設其分數分別為m，n，求|m－n|≤8的概率.【解析】(1)A組學生的平均分為，∴B組學生平均分為86分.設被污損的分數為x，則，解得x＝88，∴B組學生的分數分別為93,91,88,83,75，其中有3人的分數超過85分.∴在B組學生隨機選1人，其所得分超過85分的概率為.(2)A組學生的分數分別是94,88,86,80,77，在A組學生中隨機抽取2名同學，其分數組成的基本事件(m，n)有(94,88)，(94,86)，(94,80)，(94,77)，(88,86)，(88,80)，(88,77)，(86,80)，(86,77)，(80,77)，共10個.隨機抽取2名同學的分數m，n滿足|m－n|≤8的基本事件有(94,88)，(94,86)，(88,86)，(88,80)，(86,80)，(80,77)，共6個.∴|m－n|≤8的概率P=.【點評】莖葉圖具有對數據隨時記錄,隨時添加的功能，方便記錄與表示所有的原始數據信息，所以在樣本數據較少、較為集中且位數不多時更適宜用莖葉圖對樣本數據統(tǒng)計，通過觀察莖葉圖中的數據分布,即可對數據的特征進行粗略的判斷，存在數據被污損(或缺失)的題目是近年各地的高頻考題，關鍵是根據莖葉圖分析數據特征，先求出被污損(或缺失)的數據，然后求解相關問題?！咀兪接柧?】某次的一次學科測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如圖．（Ⅰ）求參加測試的總人數及分數在[80，90）之間的人數；（Ⅱ）若要從分數在[80，100）之間的試卷中任取兩份分析學生失分情況，求在抽取的試卷中，恰有一份分數在[90，100）之間的概率．【解析】(Ⅰ）成績在[50，60）內的頻數為2，由頻率分布直方圖可以看出，成績在[90，100]內同樣有2人．由，解得n=25．成績在[80，90）之間的人數為25﹣（2+7+10+2）=4人，∴參加測試人數n=25，分數在[80，90）的人數為4人.（Ⅱ）設“在[80，100]內的學生中任選兩人，恰有一人分數在[90，100]內”為事件M，將[80，90）內的4人編號為a，b，c，d；[90，100]內的2人編號為A，B,在[80，100]內的任取兩人的基本事件為：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15個．其中，恰有一人成績在[90，100]內的基本事件有aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB共8個．∴所求的概率得.題型四、樣本的數字特征與概率交匯例4.一帶一路”是“絲綢之路經濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱.某市為了了解人們對“一帶一路”的認知程度,對不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽,滿分100分(90分及以上為認知程度高),現從參賽者中抽取了x人,按年齡分成5組(第一組:

[20,25]

,第二組:[25,30]

,第三組:[30,35]

,第四組:

[35,40]

,第五組:[40,45]

,得到如圖所示的頻率分布直方圖,已知第一組有6人.(Ⅰ)求

x

;(Ⅱ)求抽取的x人的年齡的中位數(結果保留整數);(Ⅲ)從該市大學生、軍人、醫(yī)務人員、工人、個體戶五種人中用分層抽樣的方法依次抽取6人,42人,36人,24人,12人,分別記為1~5組,從這5個按年齡分的組和5個按職業(yè)分的組中每組各選派1人參加知識競賽代表相應組的成績,年齡組中1~5組的成績分別為93,96,97,94,90,職業(yè)組中1~5組的成績分別為93,98,94,95,90.(ⅰ)分別求5個年齡組和5個職業(yè)組成績的平均數和方差;(ⅱ)以上述數據為依據,評價5個年齡組和5個職業(yè)組對“一帶一路”的認知程度,并談談你的感想.【解析】(Ⅰ)根據頻率分布直方圖得第一組頻率為0.015=0.05,所以,所以

x=120.(Ⅱ)設中位數為

a,

則,所以,

∴中位數為32．(Ⅲ)(i)5個年齡組的平均數為

,方差為

,5個職業(yè)組的平均數為.方差為

．(ii)評價:從平均數來看兩組的認知程度相同,從方差來看年齡組的認知程度更好.【點評】對于樣本數字特征估計總體的考查一般先利用公式求出數值,然后結合數據關系進行估計.樣本平均數可以反映出更多的關于樣本數據全體的信息.但平均數受數據中的極端值的影響較大，使得平均數在估計總體時可靠性降低.所以對數據離散還是集中的判斷多結合標準差、方差描述數據波動性的大?。畼藴什?、方差越大，數據越分散；標準差、方差越小，數據越集中．【變式訓練4】某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(稱為A類工人)，另外750名工人參加過長期培訓(稱為B類工人)．現用分層抽樣方法(按A類、B類分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人，調查他們的生產能力(此處生產能力指一天加工的零件數)．(1)求甲、乙兩工人都被抽到的概率，其中甲為A類工人，乙為B類工人；(2)從A類工人中的抽查結果和從B類工人中的抽查結果分別如下表1和表2.表1：生產能力分組[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)人數48x53表2：生產能力分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)人數6y3618①先確定x、y，再完成頻率分布直方圖，就生產能力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更小？(不用計算，可通過觀察直方圖直接回答結論)②分別估計A類工人和B類工人生產能力的平均數，并估計該工廠工人的生產能力的平均數(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)．【解析】(1)甲、乙被抽到的概率均為，且事件“甲工人被抽到”與事件“乙工人被抽到”相互獨立，故甲、乙兩工人都被抽到的概率為P＝.(2)①由題意知A類工人中應抽查25名，B類工人中應抽查75名．故4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5，6＋y＋36＋18＝75，得y＝15.頻率分布直方圖如下：從直方圖可以判斷：B類工人中個體間的差異程度更?。冢健?05＋×115＋×125＋×135＋×145＝123，＝×115＋×125＋×135＋×145＝133.8，＝×123＋×133.8＝131.1.A類工人生產能力的平均數、B類工人生產能力的平均數以及全廠工人生產能力的平均數的估計值分別為123,133.8和131.1.題型五．回歸直線與概率交匯例5.中石化集團獲得了某地深海油田區(qū)塊的開采權,集團在該地區(qū)隨機初步勘探了部分兒口井,取得了地質資料.進入全面勘探時期后,集團按網絡點來布置井位進行全面勘探.由于勘探一口井的費用很高,如果新設計的井位與原有井位重合或接近,便利用舊井的地質資料,不必打這口新井,以節(jié)約勘探費用.勘探初期數據資料見如表:

井號I123456坐標（x，y）（km）（2，30）（4，40）（5，60）（6，50）（8，70）（1，y）鉆探深度（km）2456810出油量(L)407011090160205(Ⅰ)1~6號舊井位置線性分布,借助前5組數據求得回歸直線方程為y=6.5x+a，求a,并估計y的預報值;

(Ⅱ)現準備勘探新井7（1，25）,若通過1、3、5、7號井計算出的的值(精確到0.01)相比于(Ⅰ)中b,a的值之差（即：）不超過10%,則使用位置最接近的已有舊井6（1，y）,否則在新位置打開,請判斷可否使用舊井?

(參考公式和計算結果:,,,)(Ⅲ)設出油量與勘探深度的比值k不低于20的勘探井稱為優(yōu)質井,那么在原有井號1~6的出油量不低于50L的井中任意勘探3口井,求恰好2口是優(yōu)質井的概率.【解析】(Ⅰ),

回歸直線必過平衡點,

則,

所以回歸直線方程為y=6.5x+17.5,

當x=1時,y=6.5+17.5=24,即y的預報值為24.

(Ⅱ)，，,

,均不超過10%,

所以使用位置接近的已有舊井6(1,24).

(Ⅲ)由題意知原有出油量不低于50L的井中,3,5,6這3口井是優(yōu)質井,

2,4這兩口井是非優(yōu)質井,

由題意從這5口井中,隨機選3口井的情況有：(2,3,4),

(2,3,5),

(2,3,6),

(2,4,5),

(2,4,6),

(2,5,6),

(3,4,5),

(3,4,6),

(3,5,6),(4,5,6),共10種,其中恰有2口是優(yōu)質井的有(2,3,5),

(2,3,6),

(2,5,6),

(3,4,5),

(3,4,6),

(4,5,6),共6種,所以恰有2口是優(yōu)質井的概率P=.【點評】利用回歸直線可以進行預測，回歸直線方程將部分觀測值所反映的規(guī)律進行延伸，是對線性相關關系的兩個變量進行分析和控制，依據自變量的取值估計和預報因變量值的基礎和依據，回歸直線過定點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))是常用解題結論.【變式