數(shù)學(xué)分析電子教案

第一節(jié)平面點(diǎn)集與多元函教學(xué)目的：R2的完教學(xué)要求R2的R2的完備性定理． R2的完備性定理的證明可對(duì)較好學(xué)生提出要求．平面點(diǎn)集１．常見(jiàn)平面點(diǎn)集 全平面R2

Ex,y)|(x,y滿足的條件P}.Ec半平面：{(x,y)|x

{(x,y)|x0}

{(x,y)|xa}

{(x,y)|yax

[a,b][c,d

{(x,y)|x||y| 圓域:開(kāi)圓,閉圓,圓環(huán).圓的個(gè)部分 極坐標(biāo)表示,特別{(r,|r2acos和{(r,|r2asin

{(r,)|}.X型域和Y鄰域:圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域.空心鄰域和實(shí)心鄰域, {(xy|0|xx0|,0|yy0|}的區(qū)別二：點(diǎn)集拓?fù)涞幕靖?內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界內(nèi)點(diǎn)：若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P使得U(P)E，則稱P是集合E外點(diǎn)：P的某鄰域U(P，使得U

EP是集合E界點(diǎn)：若P的任何鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)，又有不屬于E的點(diǎn)，則稱點(diǎn)是EE的全體內(nèi)點(diǎn)集表示為intE,邊界表示為E集合的內(nèi)點(diǎn)E,外點(diǎn)

例１確定集E{(xy|0x1)2y2)21的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)集和邊界.例E(xy|0yD(x

x[0,1]

D(x)Dirichlet函數(shù)E２．(以凝聚程度分為 聚點(diǎn)和孤立點(diǎn)定義（聚點(diǎn)）P的任何空心鄰域內(nèi)都含有E中的的點(diǎn)P是E的定義（孤立點(diǎn)）:若存在，使得U0(A,點(diǎn)。孤立點(diǎn)必為界點(diǎn).

EAE例Exy|ysin1.Ex解：E的聚點(diǎn)集E[11開(kāi)集和閉intEEE為開(kāi)集,E的聚點(diǎn)集EER2和空集為既開(kāi)又閉集開(kāi)區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：開(kāi)區(qū)域：若非空開(kāi)集E具有連通性，即E中任何兩點(diǎn)都可以用一條完全含E的有限折線起來(lái)，則稱E為開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域：開(kāi)域連同其邊界所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉域５．有界集與集:有界集:E，若存在某一正數(shù)r0EU(0r是有界點(diǎn)集，否則稱為點(diǎn)集集的直徑d(E(P1P2(xx)2(y(xx)2(yy 點(diǎn)集的直徑角不等式|xx

或|y

|

|x

||yy|(xx)2(y(xx)2(yy 三 點(diǎn)列的極限 設(shè)Pn(xn,yn),P0(x0,y0) 定義limPP 例xnynx0,y0

xnx0

yny0,(n)例５設(shè)P0EE中的點(diǎn)列Pn},使limPnP0n四 R2中的完備性定理１．Cauchy收斂準(zhǔn)則NnNp,

(xnyn)Cauchy列{xn}和{ynCauchy２．閉域套定理:定理16.2(閉域套定理) 中的閉域列，滿足 聚點(diǎn)原理:列緊性 Weierstrass聚點(diǎn)原理定理16.3（聚點(diǎn)原理）設(shè) 為有界無(wú)限點(diǎn)集，則E在 推論。４．有限復(fù)蓋定理定理16.4（有限復(fù)蓋定理）們覆蓋E（ ，則同樣覆蓋E（ 五：二元函，n元函數(shù)的定義DRnRf，D

1

,(fRyfD上的一個(gè)nyfxy

f(x)

1

21Df１．二元函數(shù)的定義、記法、圖象：２．定義域：例６求定義域

f(x,y)

99x2yx2y2

f(x,y)

ln ln(yx2３．二元函數(shù)求例f(x,y)2x3y2,求

f(1,1)

f(1,y)x例f(x,y)ln(1x2y2f(cos,sin４．三種特殊函⑴變量對(duì)稱函

f(x,y)

fyx8⑵變量分離型函

f(x,y)(x)y)zxy2ex3y

zxy2xy

f(x,y)(xyy)(xyx)等.zxy⑶具有奇、偶性的函數(shù) 教學(xué)建議 教學(xué)程序一 全面極限與相對(duì)極限 全面極限先回憶一下一元函數(shù)的極限：的“”定設(shè)函 的某一空心鄰 內(nèi)由定義，如果， ， 時(shí)，都，則 時(shí)，函 的極限是類似的 也可以定義二元函數(shù)的極限如下 為D的一個(gè)聚點(diǎn)，A是一個(gè)確定的常數(shù)，如果 ，使得時(shí)，都 ，則稱在D上 時(shí)以A也可簡(jiǎn)寫(xiě) 例１．用”

(x,

(x2xyy2)7限制在（2，1） ，則用”

0x x2x

f(xy)xyx2y2

(x,y)(x,y)證明是指： 僅需沿軸從的左右兩個(gè)方向趨于，但是對(duì)于二元函數(shù)，趨于的路線有無(wú)窮多條只要有兩條路線，趨于時(shí)函數(shù)的值趨于不同的常數(shù)，二元函數(shù)在點(diǎn)極限就不存在。1 函數(shù)在原點(diǎn)的極限就是零，因?yàn)?沿拋物 時(shí) 考慮沿直 的方向極限例３．設(shè)函證明 所以， 時(shí) 請(qǐng)看它的圖像，不 沿任何方向趨于原點(diǎn) 的值都趨于零 可證明沿某個(gè)方向的極限不存在,或證明沿某兩個(gè)方向的極限不相等,或證明方向極限與方向有關(guān).但應(yīng)注意, 例4 證明 盡 沿ｘ軸和ｙ趨于原點(diǎn)時(shí)的值都趨于零，但沿直線趨于原點(diǎn)時(shí)0以其極限不存在。極極限的定義例 設(shè)函證明例 求下列極限;; .2前面講 以任何方式趨 時(shí)的極 稱它為二重極限在 的極限，稱為累次極限和例限,求在 的兩個(gè)累次,求在 的兩個(gè)累次極限例 ,求在 的兩個(gè)累極限二重極限與累次極限的 函 的兩個(gè)累次極限（２）兩個(gè)累次極限即使都存在而且相等，也不能保證二重極限存在 ，兩個(gè)累次極限都存在但二重極限卻不存在，事實(shí)上若點(diǎn) 沿直線 趨于原點(diǎn) 例由.可見(jiàn)二重極限存在,但 不存在，從（4）二重極限極和累次極限(或另一次序都存在,則必相等 (證（5）二元函數(shù)的連續(xù)教學(xué)要求 一．二元函數(shù)的連續(xù)（相對(duì)連續(xù)）概念：由一元函數(shù)連續(xù)概念引入１．連續(xù)的定義fDR2

P0D（DPU0P;立點(diǎn)），總存在，使得當(dāng)fPfP0

時(shí)，都有f關(guān)于DP0f(x,y有定義的孤立點(diǎn)必為連續(xù)點(diǎn).例

x2y20x2yf(x,y)

x2y20f(x,y在點(diǎn)00ymx連續(xù).f(x,y)例 0

0yx2其他

x證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)沿任何方向都連續(xù),但并不全面連續(xù).函數(shù)的增量:全增量、偏增量. 用增量定義連續(xù)性.函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性f在點(diǎn)af(a)0，則存在a的領(lǐng)域O(axO時(shí)有f(x)0兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（若分母不為０） （3（符合函數(shù)的連續(xù)性DR2中的開(kāi)集(xyDfDR (x,y)

在點(diǎn)(x0y0Dx

yy(t，xyD并且當(dāng)tt0時(shí)x(t0)x0 y(t0)y0，而x,y卻在t0連續(xù)。則復(fù)合函數(shù)在連續(xù)（４（ fDf(P00f(P10DP0Psf(Ps0。（１）（有界性）（２）（最大（小）值）（３）（Cautor）緊集上的連續(xù)函數(shù)必一致連續(xù)。例求函數(shù)ztg(x2y2)的不連續(xù)點(diǎn)（函數(shù)的連續(xù)性）二元初等函數(shù), 一致連續(xù)性:定義.二．有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)有界性與最值性 (證一致連續(xù)性 (證介值性與零點(diǎn)定理.—定義1（可微性） 設(shè)函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某鄰域U(P0)內(nèi)有定義，對(duì)于U(P0)中的點(diǎn)P(x,y)(x0x,y0y)，若函數(shù)f在點(diǎn)P0處的全增量可zf(x0x,y0y)f(x,y)AxBy0其中A，B是僅與點(diǎn)P有關(guān)的常數(shù)， x2y2,()是較高階的無(wú)窮小量，則稱函數(shù)f在點(diǎn)P0處可微。0xydzf(x,y)f(x0,y0)A(xx0)B(yy01f(xy)xy在點(diǎn)(x0,y0處的可微性 偏導(dǎo)f(x,y在點(diǎn)(x0,y0存在偏導(dǎo)數(shù)定義 f(xy0f(x0y0) x

(00

0)

f(x,

)

f(x0yf(x0y0)

f(x,y)

f(x0,y0y)f(x0,y0

y y

y 2.求偏導(dǎo)數(shù)y22f(xy)x22x3)sin(2y1.求y23f(xy)

4f(xy)

x

x2yx2y

(2, 可微條17.1設(shè)(x0,y0f(x,y定義域的內(nèi)點(diǎn). fx(x0y0fy(x0,y0存在

f(x,y在點(diǎn)(x0,y0可微,df(x,y)df(x0,y0)

fx(x0,y0)x

fy(x0,y0)y0由于xdx,ydy,微分記df(x0,y0)

fx(x0,y0)dx

fy(x0,y0)dy5．考查函數(shù)

x2y x2yx2yf(x,y)

x2y2定理17.2（可微的充分條件）z

f(x,y的偏導(dǎo)數(shù)在的某鄰域內(nèi)存在,fxfy在點(diǎn)(x0,y0f在點(diǎn)(x0,y017.3（中值定理）f在點(diǎn)(x0,y0的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù).若(xy該鄰域,則存在

和y02yy0

011,021使 f(x,y)f(x0,y0)fx(,y)(xx0)fy(x0,)(yy0)推論fy(xy在點(diǎn)(x0,y0

fx(xy點(diǎn)(x0,y0存在,f在點(diǎn)(x0,y0證明 f

x,

(x0,y0)f(x0x,y0y)f(x0x,y0)f fy(x0x,y0y)yfx(x0,y0)xx

01, f(x,y)yf(x,y)

0

f在點(diǎn)(x0,y0(x2y2)

x2y20例 f(x,y)

xx2yx2y20x2yf(xy在點(diǎn)00fxfy在點(diǎn)x2y

f(x,y)

0 (x,y)(0,x2y因此f(xy)(),即f(xyf(0,0)0x0yx2yf在點(diǎn)(00

fy(0,00 但(xy)00時(shí)x2yx2y|x|x2yx2y|x|1k1

y

x2x2yx2y

不存在,ykx,x2x2y

不存在;又(xy)(00

2x

0x2x2yx2y

(x,

fx(xy不存在,

fx在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù) 由f關(guān)于x和y對(duì)稱fy也在點(diǎn)00這三個(gè)概念之間的關(guān)系可以用下圖表示（在(x0y0點(diǎn)4f4ffx，fyffxfxfy在上述關(guān)系中，反方向均不成立。下面以(x0,y0)(0,0)點(diǎn)為例，逐

x2y21f(xy)x2y

x2y2這是中的典型例題，fx(0,0)fy(0,0)0均存在，但f(x,y)在(0,0)點(diǎn)不可微，

f(x,yf(x,y在(0,0)x2y2例2：f(x,y) ，這是上半x2y2

f(x,y)0

ff

x

x但

xfx(0,0xyfy(0,0f(x,y在(0,0點(diǎn)不可微（否則，fx(0,0)，fy(0,0均存在。3f(xy)(x3f(xy)

x2y

x2y2x2y2

x2sinx x

0 xyfy(0,0)0x2yf(x,y)f(0,0)fx(0,0)xx2y(x2y2)

x2yx2x2y

xx2y

1x2y

0

x）yf(x,y在(0,0點(diǎn)可微。且df(0,0)

fx(0,0)dx

fy(0,0)dy(x,y)(x,y)f

x2y

x2y

x2y

x2y21x2y21

,

)，

，

0Pn

,

fx(xn,yn) cos2n(n故

fx(x,yfx(x,y在(0,0xy的對(duì)稱性，fy(x,y在存在并不等價(jià)，即：可微偏導(dǎo)存在，反之未必。應(yīng)特別引起注意。 可微性的幾何意義與應(yīng)HdhQSPh0d17.4zf(x,yP(x0,y0,fx0,y0Zf(x,yP0(x0y0可微.(證略)f(x,yP0(x0y0z

f(xy在點(diǎn)P(x0,y0,fx0,y0處的切平面方程為（其中z0f(x0,y0 zz0fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)

fx(x0,y0)

fy(x0,y0),1

x fx(x0,y0

yfy(x0,y0

zz01試求拋物

zax2by2在點(diǎn)M(xyz 原理例 求1.08396的近似值例 應(yīng)用公式S1absinC計(jì)算某三角形面積.現(xiàn)測(cè)得a12.502

C30.若測(cè)量ab的誤差為0.01

C的誤差為

—1引言Euclid例：zxzxcos(xy)x(sin(xy)y)cos(xy)xysin(

xy).yuzxyxyxy其它的變量函數(shù)，例如：{xuv，此時(shí)，zxyyuzx，zy解決方案之一：求出zuvzu，zvz(uv)cos(u2v2uzcos(u2v2)(uv)(sin(u2v2))uv v

v

試想，如果xy的表達(dá)式很復(fù)雜，這種方法可能會(huì) zf(x,

其中xy定義在R3的某個(gè)開(kāi)集E內(nèi)，并且xy的值域在D內(nèi)xx(s,t,yy(s,t,

z定義在R2的某個(gè)開(kāi)集D內(nèi)zf(x(stu),y(stus,t,u又xy都在點(diǎn)(s0,t0,u0E關(guān)于s,t,u的偏導(dǎo)數(shù)存在，則在點(diǎn)(s0,t0,u0有zzxzy;zzxzy;zzxzy x ys x yt x y說(shuō)明：(1)1231）設(shè)uf(xyzxx(s,tyy(s,tzz(s,tuuxuyuz;uuxuyu x y zs x y z設(shè)uxyz

uf(xyxx(tyy(t則uuxu x y設(shè)uf(x,y,txx(s,t),yy(s,tuuxuyu x y uuxuyu x y t例 設(shè)z

x求zzx（2）計(jì)算復(fù)合函數(shù)的兩階偏導(dǎo)數(shù)，只要重復(fù)運(yùn)用鏈?zhǔn)椒▌t即可。如在例12z2 x2y2xy。（3）f'f，即f(uv)關(guān)于第一個(gè)變u的偏導(dǎo)數(shù) f'f，即f(uv)關(guān)于第一個(gè)變v的偏導(dǎo)數(shù) f ff11u2，f12uv,f22v2z2xyf'yf';zx2f'1ff x2 xf 3 4x2 3

4

2設(shè)f二階可微，z

f(x,

),

dz

3設(shè)f二階可微，z

f(x2y

),

,y

f x2zf(x,y)x2y

,(x,y (x,yfx(0,0)fy(0,0)f(x,y)在(0,0) t, f(t,

tdz1 但若用鏈?zhǔn)?/p>

t0

(0,0)

t0

t

0 0 一階微分形式不變zf(x,yxydzzdxz

（dxdy各自獨(dú)立數(shù)值

xy不是自變量而是中間變量，xx(uvyy(uv),xyfxdzzduz (zxzy)(zxzyx y x yz(xduxdv)z(yduyx

y

zdxz （1（2）5

zxy,xu2v,yu

zu2vuv.d2z

2

2

dudv

2

dv2

d2z

22

2

2

2但2

z

2

，從而dz26zexysin(xy),利用微分形式不變性求

z,z 一 方向?qū)?shù)定

,

,

的某鄰域P)R3內(nèi)有定義.l00

P(xyz為l上且含于P0內(nèi)的任一點(diǎn),PP0

f(P)f(P0)

lfP沿方向l記為

f(P)0fl(x0,y0,z0).

l zf(xyP0(x0y0

、

和zfP0X軸正向、YZ0例 f(x,y,z)=xy2z3.求f在點(diǎn)P(1,1,1)處沿l方向的方向?qū)?shù)0其中ⅰ1>l為方向(2,2,1) ⅱ2>l為從點(diǎn)(1,1,1)到點(diǎn)(2,2,1)的方向解ⅰ1>l

x1y1z

令t0. x2t

y2t

zt1

(t0

f(P0)f(1,1,1) f(P)

f(2t1

2t1,t1)(2t1)(2t1)2(t1)3t37t2t(x1)2(x1)2(y1)2(z(2t)2(2t)2tf(P)f(P t37t2

lim 0

t 從點(diǎn)111到點(diǎn)221的方向l的方向數(shù)為130l

xt

y3t

z

(t0)f(P)f(t1,3t1,1)9t25t3,

f(P0)f(1,1,1)3(x1)2(x1)2(y1)2(zf(P)f(

9t2

10tt2t2

lim 0

t定理:fP0(x0y0z0fP0處沿任一方向l的方向?qū)?shù)都存在,且fl(P0)

fx(P0)

+fy(P0)cos

+fz(P0)cos其中cos、cos和cos為lf(x,y

fl(P0)

fx(P0)

fy(P0)cos,其中是l

fx(P0)

+fy(P0)cos

+fz(P0)cos= fx(P0)

fy(P0)

,cos

,

fl(P0為向量

fx(P0)

fy(P0)

在方向l上的投影例 (上述例122(2)222(2)2

,cos=22 2

cos=131fx(P0)=1

fy(P0)=

y12

f(P)=3z

z

3

f=

(P)

+f(P)cos

+f(P)cos=22(2)3110z0z

cos

2>l

2(21)2(22(21)2(21)2(113

cos=0121235二 梯度(陡度

gradff(Pf(P)2x0f(Py02f(P2z0

fx(P0)

fy(P0)

fz(P0).f梯度的幾何意義:fl(P0)gradfl|gradf(P0)|cos其中是lgradf(P0夾角.可見(jiàn)0fl(P0取最大值,在lⅰ1>

(uc)graduⅱ2>grad(u+v)=gradu+gradvⅲ3>grad(uv)=ugradv+vgraduⅳ4>

vugradvvgraduuⅴ5>gradf(u)

uf(u)gradu

vu

uvxuxvu

vu

uvyuyvu gradv1 u

uxv

uv

uyv)1(uv,uv)(uv,uv)u 1u

,

)

,

)ugradvvgraduugradff在lgradf的根7公式與極值問(wèn)(2)混合偏導(dǎo)和與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)的多種定理證明的習(xí)題有一定的難度只對(duì)較好學(xué)生一．中值定理 凸區(qū)域定理fDR2D內(nèi)任意兩點(diǎn)P(abQ(ahbkintD01f(ah,bk)f(a,b)fx(ah,bk)hf(ah,bk)k 令(t)f(ath,btk), 若函數(shù)f在區(qū)域D上存在偏導(dǎo)數(shù),且fx二 Taylor公式

fy0fDTaylor公式)fP0(x0y0的某鄰域P0內(nèi)有直到n1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則對(duì)P0內(nèi)任一點(diǎn)(x0h,y0k,存在相應(yīng)的01,使f(x0h,y0k)n1

i!hxky

f(x0,y0)(n1)!hxky

f(x0h,y0 證1f(xyxy在點(diǎn)14Taylor算(1.083三 極值問(wèn)題極值的定義:極值的必要條件：定理P0f(Pfx(P0和存在時(shí),