【學(xué)海導(dǎo)航】高考數(shù)學(xué)第1輪總復(fù)習(xí) 全國(guó)統(tǒng)編教材 8.5直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（第2課時(shí)） 理

第八章圓錐曲線方程直線與圓錐曲線的位置關(guān)系第講5（第二課時(shí)）1編輯ppt題型3圓錐曲線中的定值問(wèn)題1.如圖，傾斜角為α的直線經(jīng)過(guò)拋物線y2=8x

的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn).

2編輯ppt(1)求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線l的方程；

(2)若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P，證明|FP|-|FP|cos2α為定值，并求此定值.

解：(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px，則2p=8，從而p=4.因此焦點(diǎn)F(,0)的坐標(biāo)為(2，0).又準(zhǔn)線方程的一般式為x=-.從而所求準(zhǔn)線l的方程為x=-2.3編輯ppt

(2)解法1:如圖,作AC⊥l,BD⊥l,垂足分別為C、D，則由拋物線的定義知

|FA|=|AC|,|FB|=|BD|.

記A、B的橫坐標(biāo)分別為xA、xB，則

解得4編輯ppt類(lèi)似地,有|FB|=4-|FB|cosα,解得記直線m與AB的交點(diǎn)為E，則所以故為定值.5編輯ppt解法2：設(shè)A(xA,yA)，B(xB,yB)，直線AB的斜率為k=tanα，則直線AB的方程為y=k(x-2).將上式代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0，故記直線m與AB的交點(diǎn)為E(xE,yE)，則故直線m的方程為6編輯ppt令y=0,得P的橫坐標(biāo)故從而為定值.點(diǎn)評(píng)：探求有關(guān)定值問(wèn)題，一是可以轉(zhuǎn)化為求值問(wèn)題來(lái)解，二是可以考慮特殊情況時(shí)的解.7編輯ppt

如圖,已知點(diǎn)

F(1,0),直線l:x=-1，P為平面

上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線l的垂

線,垂足為Q,且

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)F的直線交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)M,已知

試推斷λ1+λ2是否為定值，并說(shuō)明理由.8編輯ppt解:(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),

則Q(－1，y).由得(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y),化簡(jiǎn)y2=4x.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x.(2)設(shè)直線AB的方程為x=my+1(m≠0).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(-1，-).9編輯ppt聯(lián)立方程組消去x得y2=4my+4，則Δ=(-4m)2+16>0,故由得整理得所以

為定值.10編輯ppt2.已知直線x-2y+2=0經(jīng)過(guò)橢圓C:(a>b>0)的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D，橢圓C的右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)S和橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AS,BS與直線l:x=分別交于M,N兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程；

(2)求線段MN的長(zhǎng)度的最小值；題型4圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題11編輯ppt(3)當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓C上是否存在這樣的點(diǎn)T，使得△TSB的面積為？若存在，確定點(diǎn)T的個(gè)數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由.

解：(1)由已知得，橢圓C的左頂點(diǎn)為A(-2,0)，上頂點(diǎn)為D(0,1),所以a=2,b=1,

故橢圓C的方程為

(2)直線AS的斜率k顯然存在，且k>0，故可設(shè)直線AS的方程為y=k(x+2),從而12編輯ppt由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,設(shè)S(x1,y1),則得從而即又B(2,0)，故直線BS的方程為由得所以故13編輯ppt又k>0，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.所以時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度取最小值.(3)由(2)可知，當(dāng)MN取最小值時(shí)，,此時(shí)BS的方程為x+y-2=0,所以要使橢圓C上存在點(diǎn)T，使得△TSB的面積等于，只須T到直線BS的距離等于，14編輯ppt所以T在平行于BS且與BS距離等于的直線l'上.設(shè)直線l':x+y+t=0,則由解得或①當(dāng)時(shí)，由得5x2-12x+5=0.由于Δ=44>0,故直線l'與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn);②當(dāng)時(shí)，由得5x2-20x+21=0.15編輯ppt由于Δ=-20<0,故直線l'與橢圓C沒(méi)有交點(diǎn).綜上所述，當(dāng)線段MN的長(zhǎng)度最小時(shí)，橢圓上僅存在兩個(gè)不同的點(diǎn)T，使得△TSB的面積等于.點(diǎn)評(píng)：最值與范圍問(wèn)題一般涉及到參變量問(wèn)題，應(yīng)先把所求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某參數(shù)的代數(shù)式(或函數(shù)式)，然后利用求最值的方法求解.注意最值與特殊情況時(shí)的取值之間的聯(lián)系.16編輯ppt已知橢圓C:的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為,求△AOB面積的最大值.

解:(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意所以b=1,所以所求橢圓方程為17編輯ppt(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|=.②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m.由已知得把y=kx+m代入橢圓方程，整理得

(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，所以18編輯ppt所以當(dāng)k≠0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)k=0時(shí)，|AB|=3，綜上所述，|AB|max=2.

所以當(dāng)|AB|最大時(shí)，△AOB面積取最大值

19編輯ppt1.過(guò)橢圓(a>b>0)的右焦點(diǎn)F，作斜率為1的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn).已知與向量a=(3，-1)共線.(1)求橢圓的離心率；

(2)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn),且

(λ,μ∈R),證明：λ2+μ2為定值.

解：(1)設(shè)點(diǎn)F(c,0),則直線l的方程為y=x-c.代入橢圓方程,整理得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.20編輯ppt設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則因?yàn)榕ca＝(3，-1)共線，所以3(y1+y2)+(x1+x2)=0，即3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0.所以于是解得a2=3b2.所以

(2)因?yàn)閍2=3b2,所以橢圓方程可化為x2+3y2=3b2.21編輯ppt由題設(shè)=(λx1+μx2，λy1+μy2).

因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2，即λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2.因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在橢圓上，所以x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2.

又x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)=4x1x2-3(x1+x2)c+3c222編輯ppt所以λ2·3b2+μ2·3b2=3b2,即λ2+μ2=1,為定值.

23編輯ppt2.學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回實(shí)驗(yàn)，設(shè)計(jì)方案如右圖.航天器運(yùn)行(按順時(shí)針?lè)较?的軌跡方程為變軌(即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為對(duì)稱軸，M(0，)為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為D(8，0)，觀測(cè)點(diǎn)A(4，0)，B(6，0)同時(shí)跟蹤航天器.24編輯ppt(1)求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；

(2)試問(wèn)：航天器在x軸上方時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)A、B測(cè)得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？解:(1)設(shè)拋物線方程為易得所以曲線的方程為

(2)設(shè)變軌點(diǎn)為C(x，y).根據(jù)題意可知①②，25編輯ppt易得4y2-7y-36=0，解得y=4或y=-(不合題意,舍去),所以y=4,所以得x=6或x=-6(不合題意，舍去).

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,4),則|AC|=,|BC|=4.所以，當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)A、B測(cè)得離航天器的距離分別為、４時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令.26編輯ppt1.

對(duì)于圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題,一般利用方程思想轉(zhuǎn)化為求值