最新高中數(shù)學易錯易混易忘知識點總結(jié)

高中數(shù)學易錯、易混、易忘知識點總結(jié)【易錯點1】無視空集是任何非空集合的子集導致思維不全面。設(shè)，，假設(shè)A∩B=B，求實數(shù)a組成的集合.綜上滿足條件的a組成的集合為。【練1】集合、，假設(shè)，那么實數(shù)a的取值范圍是。答案：或。【易錯點2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易無視定義域優(yōu)先的原那么。例2、,求的取值范圍.答案：x2+y2的取值范圍是[1,]【練2】假設(shè)動點〔x,y〕在曲線上變化，那么的最大值為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕答案：A【易錯點3】判斷函數(shù)的奇偶性無視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點對稱。判斷函數(shù)的奇偶性。解析：由函數(shù)的定義域為定義域關(guān)于原點對稱，在定義域下易證即函數(shù)為奇函數(shù)。【練5】判斷以下函數(shù)的奇偶性：①②③答案：①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù)【易錯點4】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的標準性及樹立定義域優(yōu)先的原那么。例7、試判斷函數(shù)的單調(diào)性并給出證明。解析：由于即函數(shù)為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可。設(shè)，由于故當時，此時函數(shù)在上增函數(shù)，同理可證函數(shù)在上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)在和上分別為增函數(shù)，在和上分別為減函數(shù).【練7】〔1〕〔濰坊市統(tǒng)考題〕〔1〕用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在上的單調(diào)性?！?〕設(shè)在的最小值為，求的解析式。答案：〔1〕函數(shù)在為增函數(shù)在為減函數(shù)?！?〕【易錯點5】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導致錯誤結(jié)論?！揪?】函數(shù)是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是〔〕A、B、C、D、答案：A【易錯點6】應用重要不等式確定最值時，無視應用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。例9、：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。錯解:(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8∴(a+)2+(b+)2的最小值是8【易錯點分析】上面的解答中，兩次用到了根本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。解析：原式=a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+[(+)2-]+4 =(1-2ab)(1+)+4由ab≤()2=得：1-2ab≥1-=,且≥16，1+≥17∴原式≥×17+4=(當且僅當a=b=時，等號成立)∴(a+)2+(b+)2的最小值是。【知識歸類點拔】在應用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等〞，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)。【易錯點7】在涉及指對型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時，沒有根據(jù)性質(zhì)進行分類討論的意識和易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件?！揪?0】設(shè)，且試求函數(shù)y=loga(4+3x–x2)的的單調(diào)區(qū)間。答案：當，函數(shù)在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增當函數(shù)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。【易錯點8】用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性．【練11】不等式>ax＋的解集是(4,b)，那么a＝________，b＝_______。答案：〔提示令換元原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集為〕【易錯點9】求時,易忽略n＝１的情況．例12、數(shù)列前n項和且。〔1〕求的值及數(shù)列的通項公式。答案：該數(shù)列從第二項開始為等比數(shù)列故?！局R點歸類點拔】對于數(shù)列與之間有如下關(guān)系：利用兩者之間的關(guān)系可以求。但注意只有在當適合時兩者才可以合并否那么要寫分段函數(shù)的形式。【練12】數(shù)列滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n–1)an–1(n≥2),那么數(shù)列的通項為。答案：〔將條件右端視為數(shù)列的前n-1項和利用公式法解答即可〕【易錯點10】利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項及前n項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集〔從1開始〕【練13】設(shè)是等差數(shù)列，是前n項和，且，，那么以下結(jié)論錯誤的是〔〕A、B、C、D、和均為的最大值。答案：C〔提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前n項和關(guān)于n的二次函數(shù)的對稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答〕【易錯點11】解答數(shù)列問題時沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。例14、關(guān)于的方程和的四個根組成首項為的等差數(shù)列，求的值。【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項是如何排列的。解析：根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)列為：故從而=。【易錯點12】用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公比ｑ＝１的情況【練15】〔2005高考全國卷一第一問〕設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項和〔1〕求q的取值范圍。答案：【易錯點13】在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項和不會采用錯項相減法或解答結(jié)果不到位?！揪?6】un=an+an–1b+an–2b2+…+abn–1+bn,當時，求數(shù)列的前n項和答案：時當時.【易錯點14】不能根據(jù)數(shù)列的通項的特點尋找相應的求和方法，在應用裂項求和方法時對裂項后抵消項的規(guī)律不清，導致多項或少項。例17、求…．答案：eq\f(2n,n+1)．【練17】〔2005濟南統(tǒng)考〕求和＋＋＋…＋．答案：…＝．【易錯點15】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴謹?shù)倪壿嬎季S?！揪?8】〔1〕〔2000全國〕數(shù)列,其中,且數(shù)列為等比數(shù)列.求常數(shù)p答案：p=2或p=3〔提示可令n=1,2,3根據(jù)等比中項的性質(zhì)建立關(guān)于p的方程，再說明p值對任意自然數(shù)n都成立〕【易錯點16】用判別式判定方程解的個數(shù)〔或交點的個數(shù)〕時，易忽略討論二次項的系數(shù)是否為０．尤其是直線與圓錐曲線相交時更易忽略.例19、雙曲線，直線，討論直線與雙曲線公共點的個數(shù)綜上知當或時直線與雙曲線只有一個交點，當且。時直線與雙曲線有兩個交點，當或時方程組無解此時直線與雙曲線無交點?！局R點歸類點拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個數(shù)對應于直線與雙曲線的交點個數(shù)另一種方法借助于漸進線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法的對應關(guān)系如下上題中的第一種情況對應于直線與雙曲線的漸進線平行，此時叫做直線與雙曲線相交但只有一個公共點，通過這一點也說明直線與雙曲線只有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對應于直線與雙曲線相切。通過此題可以加深體會這種數(shù)與形的統(tǒng)一。【練19】〔1〕雙曲線C：，過點P〔1，1〕作直線l,使l與C有且只有一個公共點，那么滿足上述條件的直線l共有____條。答案：4條〔可知kl存在時，令l:y-1=k(x-1)代入中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-(1-k2)-4=0,∴當4-k2=0即k=±2時，有一個公共點；當k≠±2時，由Δ=0有，有一個切點另：當kl不存在時，x=1也和曲線C有一個切點∴綜上，共有4條滿足條件的直線〕【易錯點17】易遺忘關(guān)于和齊次式的處理方法。例20、，求〔1〕；〔2〕的值.【易錯點18】單位圓中的三角函數(shù)線在解題中一方面學生易對此知識遺忘，應用意識不強，另一方面易將角的三角函數(shù)值所對應的三角函數(shù)線與線段的長度二者等同起來，產(chǎn)生概念性的錯誤。例21、以下命題正確的是〔〕A、、都是第二象限角，假設(shè)，那么B、、都是第三象限角，假設(shè)，那么C、、都是第四象限角，假設(shè)，那么D、、都是第一象限角，假設(shè)，那么。解析：A、由三角函數(shù)易知此時角的正切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量要小即B、同理可知C、知滿足條件的角的正切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量要大即。正確。D、同理可知應為。【易錯點19】在利用三角函數(shù)的圖象變換中的周期變換和相位變換解題時。易將和求錯。例23．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象〔〕先將每個x值擴大到原來的4倍，y值不變，再向右平移個單位。先將每個x值縮小到原來的倍，y值不變，再向左平移個單位。先把每個x值擴大到原來的4倍，y值不變，再向左平移個單位。先把每個x值縮小到原來的倍，y值不變，再向右平移個單位。【易錯點20】沒有挖掘題目中確實隱含條件，無視對角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)象。例24、，求的值。解析：據(jù)〔1〕有，又由于，故有，從而即〔2〕聯(lián)立〔1〕〔2〕可得，可得。【易錯點21】根據(jù)條件確定角的大小，沒有通過確定角的三角函數(shù)值再求角的意識或確定角的三角函數(shù)名稱不適當造成錯解。例25、假設(shè)，且、均為銳角，求的值。解析：由且、均為銳角知解析：由且、均為銳角知,那么由、均為銳角即故【易錯點22】對正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)的性質(zhì)：如圖象、對稱軸、對稱中心易遺忘或沒有深刻理解其意義。例26、如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，那么a等于〔〕A.B.－C.1D.－1【易錯點分析】函數(shù)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的波峰頂或波谷底，且與y軸平行，而對稱中心是圖象與x軸的交點，學生對函數(shù)的對稱性不理解誤認為當時，y=0，導致解答出錯。解析：〔法一〕函數(shù)的解析式可化為，故的最大值為，依題意，直線是函數(shù)的對稱軸，那么它通過函數(shù)的最大值或最小值點即，解得.應選D〔法二〕假設(shè)函數(shù)關(guān)于直線是函數(shù)的對稱那么必有，代入即得?！揪?6】〔1〕〔2003年高考江蘇卷18〕函數(shù)上R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和ω的值.答案：或。〔2〕〔2005全國卷一第17題第一問〕設(shè)函數(shù)的，圖象的一條對稱軸是直線，求答案：=【易錯點23】利用正弦定理解三角形時，假設(shè)三角形的兩邊及其一邊的對角解三角形時，易無視三角形解的個數(shù)。例27、在中，。求的面積解析：故相應的三角形面積為或.【知識點歸類點拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩類問題〔1〕兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時有且只有一解?！?〕兩邊和其中一邊的對角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不嚴格格單調(diào)，此時三角形解的情況可能是無解、一解、兩解，可通過幾何法來作出判斷三角形解的個數(shù)。如：在中，a,b和A解的情況如下：當A為銳角〔2〕假設(shè)A為直角或鈍角【練27】如果滿足，，的三角形恰有一個,那么k的取值范圍是〔〕A、B、C、D、或答案：D【易錯點24】含參分式不等式的解法。易對分類討論的標準把握不準，分類討論達不到不重不漏的目的。例29、解關(guān)于x的不等式＞1(a≠1).【易錯點分析】將不等式化為關(guān)于x的一元二次不等式后，無視對二次項系數(shù)的正負的討論，導致錯解。解：綜上所述：當a＞1時解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a＜0時，解集為(，2).【易錯點25】求函數(shù)的定義域與求函數(shù)值域錯位【練30】函數(shù)的定義域和值域分別為R試分別確定滿足條件的a的取值范圍。答案：〔1〕或〔2〕或【易錯點26】利用函數(shù)的的單調(diào)性構(gòu)造不等關(guān)系。要明確函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間及定義域限制。例33、記，假設(shè)不等式的解集為，試解關(guān)于t的不等式。解析：不等式的解為：?！揪?3】〔1〕設(shè)函數(shù),求使≥的的x取值范圍。答案：x取值范圍是【易錯點27】涉及向量的有關(guān)概念、運算律的理解與應用。易產(chǎn)生概念性錯誤。例35、以下命題：①②③ |·|=||·||④假設(shè)∥∥那么∥⑤∥，那么存在唯一實數(shù)λ，使⑥假設(shè)，且≠，那么⑦設(shè)是平面內(nèi)兩向量，那么對于平面內(nèi)任何一向量，都存在唯一一組實數(shù)x、y，使成立。⑧假設(shè)|+|=|－|那么·=0。⑨·=0，那么=或=真命題個數(shù)為〔〕 A．1 B．2 C．3 D．3個以上解析：①正確。②錯誤，③錯誤。④錯誤。⑤錯誤。⑥錯誤。⑦錯誤。⑧正確。⑨錯誤。答案：B【易錯點28】利用向量的加法、減法、數(shù)量積等運算的幾何意義解題時，數(shù)形結(jié)合的意識不夠，無視隱含條件。例36、四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，試問四邊形ABCD是什么圖形?解：四邊形ABCD是矩形【練36】〔1〕〔2003高考江蘇〕O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足那么P的軌跡一定通過△ABC的 〔〕A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心〔2〕〔2005全國卷文科〕點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足，那么點O是的〔 〕〔A〕三個內(nèi)角的角平分線的交點 〔B〕三條邊的垂直平分線的交點 〔C〕三條中線的交點 〔D〕三條高的交點答案：〔1〕B〔2〕D【易錯點29】無視向量積定義中對兩向量夾角的定義。例37、中,,求答案：故據(jù)數(shù)量積的定義知.【知識點歸類點拔】高中階段涉及角的概念不少,在學習過程中要明確它們的概念及取值范圍,如直線的傾斜角的取值范圍是，兩直線的夾角的范圍是，兩向量的夾角的范圍是，異面直線所成的角的范圍是，直線和平面所成的角的范圍是二面角的取值范圍是。【易錯點30】立體圖形的截面問題。例56、正方體--，E、F分別是、的中點，p是上的動點〔包括端點〕，過E、D、P作正方體的截面，假設(shè)截面為四邊形，那么P的軌跡是〔〕線段B、線段C、線段和一點D、線段和一點C。答案：選C【知識點歸類點拔】高考對用一平面去截一立體圖形所得平面圖形的考查實質(zhì)上對學生空間想象能力及對平面根本定理及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理的考查?？忌鶎@一類型的題感到吃力，實質(zhì)上高中階段對作截面的方法無非有如下兩種：一種是利有平面的根本定理：一個就是一條直線上有兩點在一平面內(nèi)那么這條直線上所在的點都在這平面內(nèi)和兩平面相交有且僅有一條通過該公共點的直線〔即交線〕〔注意該定理地應用如證明諸線共點的方法：先證明其中兩線相交，再證明此交點在第三條直線上即轉(zhuǎn)化為此點為兩平面的公共點而第三條直線是兩平的交線那么依據(jù)定理知交點在第三條直線；諸點共線：即證明此諸點都是某兩平面的共公點即這此點轉(zhuǎn)化為在兩平的交線上〕據(jù)這兩種定理要做兩平面的交線可在兩平面內(nèi)通過空間想象分別取兩組直線分別相交，那么其交點必為兩平面的公共點，并且兩交點的連線即為兩平的交線。另一種方法就是依據(jù)線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，去尋找線面平行及面面平行關(guān)系，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線。一般情況下這兩種方法要結(jié)合應用。【練56】〔1〕〔2005高考全國卷二〕正方體ABCD—A1B1C1D1中，p、q、r、分別是AB、AD、B1C1的中點。那么正方體的過P、Q、R的截面圖形是〔〕〔A〕三角形〔B〕四邊形〔C〕五邊形〔D〕六邊形答案：D〔2〕在正三棱柱-中，P、Q、R分別是、、的中點，作出過三點P、Q、R截正三棱柱的截面并說出該截面的形狀。答案：五邊形?！疽族e點31】判斷過空間一點與兩異面直線成相等的角的直線的條數(shù)例57、〔93全國考試〕如果異面直線a、b所在的角為,P為空間一定點，那么過點P與a、b所成的角都是的直線有幾條？A、一條B二條C三條D四條解析：如圖，過點P分別作a、b的平行線、，那么、所成的角也為，即過點P與、成相等的角的直線必與異面直線a、b成相等的角，由于過點P的直線L與、成相等的角故這樣的直線L在、確定的平面的射影在其角平分線上，那么此時必有當時，有，此時這樣的直線存在且有兩條當時，有這樣的直線不存在。應選B【練57】如果異面直線a、b所在的角為,P為空間一定點，那么過點P與a、b所成的角都是的直線有幾條？A、一條B二條C三條D四條答案：C【易錯點32】對于兩個平面平行的判定定理易把條件誤記為“一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行〞，容易導致證明過程跨步太大。例59、如圖，在正方體中，M、N、P分別是的中點，求證：平面MNP//平面【易錯點分析】此題容易證得MN//,MP//BD，而直接由此得出面解析：連結(jié)分別是的中點，又同理：。【知識點歸類點撥】個平面平行問題的判定或證明是將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行的問題，即“線面平行那么面面平行〞，必須注意這里的“線面〞是指一個平面內(nèi)的兩條相交直線和另一個平面，定理中的條件缺一不可?！揪?9】正方體中，〔1〕M，N分別是棱的中點，E、F分別是棱的中點，求證：①E、F、B、D共面；②平面AMN//平面EFDB③平面//平面證明：〔1〕①那么E、F、B、D共面。②易證：MN//EF，設(shè)③連結(jié)AC，為正方體，，同理可證于是得【易錯點33】求異面直線所成的角，假設(shè)所成角為，容易無視用證明垂直的方法來求夾角大小這一重要方法。例60、〔2001全國9〕在三棱柱中，假設(shè)，那么所成角的大小為〔〕A、B、C、D、【易錯點分析】無視垂直的特殊求法導致方法使用不當而浪費很多時間?！局R點歸類點撥】求異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時，對特殊的角，如時，可以采用證明垂直的方法來求之?！揪?0】〔2005年浙江12〕設(shè)M，N是直角梯形ABCD兩腰的中點，于E〔如圖〕，現(xiàn)將沿DE折起，使二面角為，此時點A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點B，那么M，N的連線與AE所成的角的大小等于。解析：易知取AE中點Q，連MQ，BQ，N為BC的中點，即M，N連線與AE成角。【易錯點34】