2023屆山東省“學情空間”區(qū)域教研共同體高三上學期10月第一次階段性測試數學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆山東省“學情空間”區(qū)域教研共同體高三上學期10月第一次階段性測試數學試題一、單選題1．已知集合，則中元素的個數是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】解一元二次不等式求出集合，再根據并集運算求出，進而得到結果.【詳解】因為，所以，所以中元素的個數有4個.故選：C.2．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】從充分性和必要性兩方面進行討論即可.【詳解】充分性：當，時充分性不成立；必要性：由可得，即，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點睛】本題主要考查充要條件的判定，涉及到不等式的性質，屬于基礎題.3．已知，則在上的最大值為（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】對求導得，令其為0，得到其單調性，最后得到最大值.【詳解】，且，，令，（負舍），，，，，所以在上單調遞減，在到上單調遞增，又，所以在上的最大值是.故選：B.4．現有如下信息：（1）黃金分割比（簡稱：黃金比）是指把一條線段分割為兩部分，較短部分與較長部分的長度之比等于較長部分與整體長度之比，其比值為（2）黃金三角形被譽為最美三角形，是較短邊與較長邊之比為黃金比的等腰三角形．（3）有一個內角為的等腰三角形為黃金三角形，由上述信息可求得（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】如圖作三角形，先求出，再求出的值.【詳解】如圖，等腰三角形，,，取中點連接.，由題意可得，所以，所以，所以.故選：D【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是構造一個恰當的三角形，再解三角形求解.5．已知函數是R上的奇函數，且，且當時，，則的值是（

）A．1 B． C．0 D．【答案】A【分析】利用奇函數性質可知，由可知函數的周期性，從而可得結果.【詳解】解：因為函數是R上的奇函數，所以，由得，，所以所以函數為周期函數，周期為6，所以，又，所以.故選：A6．已知函數，圖象向左平移個單位后關于直線對稱，則下列說法正確的是（

）A．在區(qū)間上有一個零點 B．關于對稱C．在區(qū)間上單調遞增 D．在區(qū)間上的最大值為2【答案】A【分析】通過函數的平移變換后圖象關于直線對稱可求得值，從而可求出函數解析式，然后使用換元法畫出函數圖象，再逐項判斷即可.【詳解】函數，圖象向左平移個單位后的圖象對應的解析式為：；而圖象關于直線對稱，且，于是，；；，所以不關于對稱，故B錯誤；當時，則，令，則，此時函數圖象如圖:結合圖象可知，當時，即，與坐標軸只有一個交點，即只有一個零點，故A正確；當時，則，結合圖象可知，此時有增有減，故C錯誤；當時，則，結合圖象可知，此時單調遞增，所以，當時，即，函數取最大值，，故D錯誤；故選：A.7．設，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據，判斷的大小，由，構造函數，利用導數判斷單調性，即可得到.【詳解】由不等式可得，即；，設，因為，所以在上單調遞增，所以當，所以，即.所以.故選：C8．若關于的不等式對一切正實數恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構造函數，將原不等式轉化為求解函數的最小值，通過導數判斷函數的單調性研究函數的最值，得到，再利用基本不等式進行求解即可．【詳解】解：設，則對一切正實數恒成立，即，由，令，則恒成立，所以在上為增函數，當時，，當時，，則在上，存在使得，當時，，當時，，故函數在上單調遞減，在，上單調遞增，所以函數在處取得最小值為，因為，即，所以恒成立，即，又，當且僅當，即時取等號，故，所以．故選：C．【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題常見方法：①分離參數恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數形結合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數.二、多選題9．已知命題p：關于x的不等式的解集為R，那么命題p的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】求出命題p成立時的取值范圍，再根據必要不充分條件的定義逐個判斷選項，得出答案．【詳解】命題p：關于x的不等式的解集為R，則，解得又，且，故選：CD10．給出下列結論，其中正確的結論是（

）A．函數的最大值為B．已知函數（且）在（0，1）上是減函數，則實數a的取值范圍是（1，2]C．在同一平面直角坐標系中，函數與的圖象關于直線對稱D．若，則的值為1【答案】BCD【解析】直接利用復合函數的性質判定的結論，利用對數的運算判斷、的結論，利用函數的對稱性判斷的結論．【詳解】解：對于：函數的最小值為，故錯誤；對于：已知函數且在上是減函數，所以，解得，故正確．對于：同一平面直角坐標系中，由于函數與互為反函數，所以他們的的圖象關于直線對稱，故正確；對于：由于，則，則，同理，所以，故正確．故選：．【點睛】本題考查復合函數的單調性的應用，復合函數的單調性由“同增異減”的法則判斷即可；11．如圖所示，設單位圓與軸的正半軸相交于點，以軸非負半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點，，，則下列說法正確的是（

）A．的長度為B．扇形的面積為C．當與重合時，D．當時，四邊形面積的最大值為【答案】ACD【分析】利用弧長公式判斷A，利用扇形面積公式判斷B，利用銳角三角函數判斷C，根據、三角形面積公式及三角恒等變換公式化簡，再根據正弦函數的性質計算出面積最大值，即可判斷D.【詳解】解：依題意圓的半徑，，，，所以的長度為，故A正確；因為，所以扇形的面積，故B錯誤；當與重合時，即，則，則，故C正確；因為，所以所以當，即時，故D正確；故選：ACD12．已知函數，下列說法不正確的是（

）A．當時，函數僅有一個零點B．對于，函數都存在極值點C．當時，函數不存在極值點D．，使函數都存在3個極值點【答案】ABD【分析】由時，即可判斷A選項；當時，求導確定函數的單調性即可判斷C選項；由C選項即可判斷B選項；由的零點個數即可判斷D選項.【詳解】，，令，則，對于A，當時，，函數無零點，則A錯誤；對于C，當時，，，，，當時，，即單增，當時，，即單減，則，即函數單增，不存在極值點，C正確；對于B，由C選項知錯誤；對于D，假設，使函數都存在3個極值點，即存在3個變號零點，又由上知，當時，，即單增，最多只有1個零點；當時，當時，，即單增，當時，，即單減，最多只有2個零點，和存在3個變號零點矛盾，則不存在，使函數都存在3個極值點，D錯誤.故選：ABD.【點睛】解決極值點問題，關鍵在于求導后由導數的正負確定函數的單調性，對于導數的正負不好直接確定的，可以通過構造函數，再次求導，進而確定導數的正負，使問題得到解決.三、填空題13．若，則___________.【答案】【分析】利用誘導公式化簡，再次化簡得，則得.【詳解】因為，所以，所以，又，所以.故答案為：.14．方程的解為___________．【答案】【分析】結合對數運算以及指數運算，解方程求得的值.【詳解】依題意，，，，，即或，解得或，當時，，不符合題意，舍去.所以.故答案為：15．已知函數是定義域為的奇函數，當時，，且，則不等式的解集為___________.【答案】【分析】利用奇函數的性質得到，再根據不等式構造函數，分析函數在時的單調性，根據單調性、奇偶性和解不等式即可.【詳解】因為為奇函數，定義域為，所以，，又因為時，，所以，構造函數，所以，所以當時，，在上單調遞增，又因為，所以，在上大于零，在上小于零，又因為，所以當時，在上大于零，在上小于零，因為為奇函數，所以當時，在上小于零，在上大于零，綜上所述：的解集為.故答案為：.【點睛】常見的函數構造形式：①，；②，.16．已知函數，若關于的方程，有且僅有三個不同的實數解，則實數的取值范圍是______．【答案】【分析】首先利用導函數求的單調性，作出函數的大致圖象，將方程解得問題轉換成交點問題即可求解出答案．【詳解】解：因為，則，當或時，，當時，，所以在和上單調遞減，在上單調遞增，且當時，，，故的大致圖像如圖所示：關于的方程等價于，即或，由圖可得，方程有且僅有一解，則有兩解，所以，解得，故答案為：四、解答題17．已知，若，解關于x的不等式；【答案】答案見解析【分析】根據題意求出，用把表示出來，然后對分類討論，結合一元二次不等式的解法即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，又因，所以，所以，則不等式即為，即，若，則不等式的解集為；若，則不等式的解集為；若，當時，則不等式的解集為；當時，則不等式的解集為；當時，則不等式的解集為；18．已知函數.(1)求的最小正周期;(2)若，求出的單調遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用二倍角和輔助角公式化簡函數為的形式,再利用周期公式求函數的最小正周期,(2)根據,令，則可求出的范圍,從而得出的單調遞減區(qū)間.【詳解】(1).的最小正周期為.(2)令，則，又函數在上單調遞減，即時，的單調遞減，當時，的單調減區(qū)間為.19．已知函數，為函數的導函數．(1)討論的單調性；(2)若恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)詳見解析；(2).【分析】（1）求出函數的導數化簡得，分類討論求函數的單調區(qū)間即可；（2）由恒等式化簡可得，分離參數可得當時，，當時，，利用導數研究的單調性及最值即可求解.【詳解】(1)由題可得，①當時，時，，單調遞減；時，，單調遞增；②當時，時，，單調遞增；時，，單調遞減；時，，單調遞增；③當時，時，，單調遞增；④當時，時，，單調遞增；時，，單調遞減；時，，單調遞增.(2)由恒成立，即，，當時，恒成立，當時，，當時，，令，則，當時，，單調遞減且，所以當時，得，時，，單調遞減，時，，單調遞增；，故綜上，m的取值范圍為.20．定義域為的函數，部分x與y的對應關系如下表：x012345y0232002（1）求；（2）若，其中，，求此函數的解析式，并求．【答案】（1）2；（2），當時，原式；當時，原式．【分析】（1）根據復合函數的性質，由內往外計算可得答案.（2）根據最大值域最小值可求，利用周期求出，根據特殊點求出，即求出解析式，由解析式即可求出.【詳解】（1）由表中數據可得.（2）由表中數據可得，，從最大值到最小值為半個周期，所以周期，，所以，又，即，解得，且，所以，所以，由，，，①當，，②當時，.21．已知函數(1)求在處的切線方程；(2)求在上的最小值（參考數據：）【答案】(1)；(2)1.【分析】（1）求出函數的導數，再利用導數的幾何意義求解作答.（2）利用導數探討函數的單調性，再求出其最小值作答.【詳解】(1)函數求導得：，而，，由，得，所以在處的切線方程為.(2)，由（1）知，令，，當時，，當時，，則函數，即在上遞增，在上遞減，則有，即當時，，而，使，當時，，當時，，因此當時，，函數在上單調遞增，在上單調遞減，令，當時，求導得，即函數在上單調遞增，則，即，，于是得，而，則，所以在上的最小值是1.【點睛】結論點睛：函數y=f(x)是區(qū)間D上的可導函數，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：.22．已知函數.(1)若是的極值點，求的單調區(qū)間；(2)若關于的方程恰有一個解，求a的取值范圍.【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；(2)【分析】（1）求出函數的導函數，依題意，即可求出的值，再利用導數求出函數的單調區(qū)間；（2）求出函數的導函數，令，，利用導數說明的單調性，由零點存在性定理可得存在使得，即可得到的單調性，從而求出的最小值，依題意可得，即可求出的值，從而得解.【詳解】(1)解：因為，所以，因為是的極值點，所以，解得，經檢驗符合題意，所以，，又與在上單調遞增，所以在上單調遞