切比雪夫低通濾波器設(shè)計(jì)

摘要隨著信息和數(shù)字時(shí)代的到來，數(shù)字信號(hào)處理已成為當(dāng)今一門極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，由于信號(hào)中經(jīng)?；煊懈鞣N復(fù)雜成分，因此很多信號(hào)的處理都是基于濾波器而進(jìn)行的。所以，數(shù)字濾波器在數(shù)字信號(hào)處理中起著舉足輕重的作用。而數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)都要以模擬濾波器為基礎(chǔ)的，這是因?yàn)槟M濾波器的理論和設(shè)計(jì)方方法都已發(fā)展的相當(dāng)成熟，且有典型的模擬濾波器供我們選擇。，如巴特沃思濾波器、切比雪夫?yàn)V波器等。本次課程設(shè)計(jì)將運(yùn)用MATLAB設(shè)計(jì)一個(gè)基于切比雪夫低通濾波器，并出所設(shè)計(jì)濾波器的幅度及幅度衰減特性。關(guān)鍵詞：模擬低通濾波切比雪夫1課題描述數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理的重要工具之一，它通過數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對比例或者濾出某些頻率成分的數(shù)字器件或程序，而數(shù)字濾波器處理精度高、體積小、穩(wěn)定、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊功能。故本課題使用MATLAB信號(hào)處理箱和運(yùn)用切比雪夫法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。2設(shè)計(jì)原理切比雪夫?yàn)V波器介紹在巴特沃茲濾波器中，幅度響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是單調(diào)的。因此，若濾波器的技術(shù)要求是用最大通帶和阻帶的逼近誤差來給出的話，那么，在靠近通帶低頻端和阻帶截止頻率以上的部分都會(huì)超出技術(shù)指標(biāo)。一種比較有效的途徑是使逼近誤差均勻地分布于通帶或阻帶內(nèi)，或同時(shí)在通帶和阻帶內(nèi)都均勻分布，這樣往往可以降低所要求的濾波器階次。通過選擇一種具有等波紋特性而不是單調(diào)特性的逼近方法可以實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。切比雪夫型濾波器就具有這種性質(zhì)：其頻率響應(yīng)的幅度既可以在通帶中是等波紋的，而在阻帶中是單調(diào)的(稱為I型切比雪夫?yàn)V波器)，也可以在通帶中是單調(diào)的，而在阻帶中是等波紋的(稱為II型切比雪夫?yàn)V波器)。I型切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)是1IHc(jQ)|2=1+￡2C2(Q./Q)式中為N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為C(x)=cos(Ncos-ix)從定義切比雪夫多項(xiàng)式可以直接得出由CN(X)和CN-1(X)求CN+1(X)的遞推公式。將三角恒等式代入式，得CNU=2xCN(x)一CN-1(x)從式我們注意到，當(dāng)0<x<1時(shí)，CN(x)在0和1之間變化；當(dāng)x>1時(shí)，cos-1x是虛數(shù)，所以CN⑴像雙曲余弦一樣單調(diào)地增加。參考，1HC(jQ)|2對于0〈°/°p魚呈現(xiàn)出在1和1/(1+e2)之間的波動(dòng)；而對于。,°p〉1單調(diào)地減小。需要用三個(gè)參量來確定該濾波器：e，°p和N。在典型的設(shè)計(jì)中，用容許的通帶波紋來確定e，而用希望的通帶截止頻率來確定°C。然后選擇合適的階次N，以便阻帶的技術(shù)要求得到滿足。定義允許的通帶最大衰減ap用下式表示：為了求切比雪夫?yàn)V波器在橢圓上極點(diǎn)的位置，我們首先要這樣確定，在大圓和小圓上以等角度等間隔排列的那些點(diǎn)：這些點(diǎn)對于虛軸呈對稱分布，并且沒有一個(gè)點(diǎn)落在虛軸上；但當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)要有一個(gè)點(diǎn)落在實(shí)軸上，而當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，就都不會(huì)落在實(shí)軸上。切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)落在橢圓上，起縱坐標(biāo)由相應(yīng)的大圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)來表示，起橫坐標(biāo)由相應(yīng)的小圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)來表示。濾波器的分類（1） 從功能上分；低、帶、高、帶阻。（2） 從實(shí)現(xiàn)方法上分:FIR、IIR（3） 從設(shè)計(jì)方法上來分：Chebyshev（切比雪夫）,Butterworth（巴特沃斯）（4） 從處理信號(hào)分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)設(shè)ha（j。）是一個(gè)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，則基于平方幅度響應(yīng)J（Q）=|Ha（jQ）|的低通濾波器技術(shù)指標(biāo)為：0<|Ha（jO）|2<￡,。V。 （2-2-1）1j <|Ha（J。）2<'?！纯?（2-2-2）其中￡為通帶波動(dòng)系數(shù)，。p和。s是通帶和阻帶邊緣頻率。A為阻帶衰減系數(shù)。這些指標(biāo)如圖所示。從圖知必須滿足——，。=。|Ha（jO）|2=「+" P （2-2-3）無。=。，

其中參數(shù)￡和A是數(shù)字濾波器指標(biāo)。切比雪夫I型濾波器切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)原理切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性具有等波紋特性。它有兩種形式：振幅特性在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)遞減的切比雪夫I型濾波器，振幅特性在阻帶內(nèi)是等波紋的，在通帶內(nèi)是單調(diào)遞減的切比雪夫II型濾波器，如圖所示分別畫出了濾波器的幅頻特性和衰減函數(shù)。以切比雪夫I型為例介紹其設(shè)計(jì)原理幅度平方函數(shù)用\H(jO)|2表示H（j。）H（j。）1； 。-…cn（①）p（2-3-1）式中，數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度，8越大，波動(dòng)幅度也越大。。稱為通帶截止頻率。令人=%，稱8為小于1的正為對。的歸一化頻率。定義允許的通帶內(nèi)最大衰減，「用下式表示

maxHa(jQ)|2a=10lg !1,Q<Qp min|Ha(jQ)|2 p(2-3-2)式中max|ha(jQ)|2=1(2-3-3)min|ha(jQ)|2=—-—1+￡2(2-3-4)因此a=10lg(1+￡2)(2-3-5)￡2=100.1Op-1 (2-3-6)這樣，可以根據(jù)通帶內(nèi)最大衰減ap,可求出參數(shù)￡。階數(shù)N影響過渡帶的寬度，同時(shí)也影響通帶內(nèi)波動(dòng)的疏密，因?yàn)镹等于通帶內(nèi)的最大值和最小值的總個(gè)數(shù)。設(shè)阻帶的起點(diǎn)頻率為Qs則有H(jQ)|2=1Q~

E2設(shè)阻帶的起點(diǎn)頻率為Qs則有H(jQ)|2=1Q~

E2Cn2(?T)

p(2-3-7)可以解出由人＞1，1(人)=ch(NarchX)=￡—1H(jQ)12as(2-3-8)Q=Q(2-3-9)(2-3-10)3dB截止頻率用Q表示，(2-3-11)H(Rif(2-3-11)按照（2-3-1）式，有

一一r1 1\O=Och—arch—IN8；(2-3-12)經(jīng)過一系列推論得歸一化系統(tǒng)函數(shù)為1(p)=82N—一一r1 1\O=Och—arch—IN8；(2-3-12)經(jīng)過一系列推論得歸一化系統(tǒng)函數(shù)為1(p)=82N—1rf(p—p)(2-3-13)i1=1 去歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為Ha(s)=Ga(p)p=Op82N-1計(jì)(p—p.O~i=1(2-3-14)切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟(1)確定低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：邊帶頻率Op，通帶最大衰減a、阻帶最大衰減as、阻帶截至頻率Os，它們滿足ap=10lg1

\Ha<(jO)(2-3-15)a=10lg\Ha<(jO)2(2-3-16)(2)求濾波器階數(shù)N和參數(shù)￡人=OsOp(2-3-17)K1—1 10^100.1ap—1(2-3-18)archk-1N= archks(2-3-19)這樣，先由(2--18)式求出K1-1代入(2-3-19)，求出階數(shù)N最后取大于或等于N的最小整數(shù)。(3)求歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)*)82*)82N—1rf(p—p)i(2-3-20)i=1(4)將去歸一化，得到實(shí)際的H(s)(2-3-21)H(s)=G(p)(2-3-21)2.3.3用MATLAB設(shè)計(jì)切比雪夫低通濾波器[z,p,G]=cheblap(N,R)該格式用于計(jì)算N階切比雪夫I型歸一化模擬低通濾波器系統(tǒng)的零極點(diǎn)和增益因子。返回長度為N的列向量Z和P，分別給出N個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置。Rs是阻帶最小衰減。R,wso]=cheblord(wp,ws,Rp,As)該格式用于計(jì)算切比雪夫I型數(shù)字濾波器的階數(shù)N和阻帶截止頻率wso。調(diào)用參數(shù)分別為數(shù)字濾波器的通帶頻率和阻帶邊界頻率的歸一化值。(3)[n,wso]=cheblord(wp,ws,Rp,As,s')該格式用于計(jì)算切比雪夫I型模擬濾波器的階數(shù)N和阻帶截止頻率wso。wp和ws是實(shí)際模擬角頻率。(4)[B,A]=cheby(N,Rs,wso,ftype')該格式用于計(jì)算N階切比雪夫I型數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wso分別為切比雪夫I型數(shù)字濾波器的階數(shù)和阻帶截止頻率的歸一化值。(5)[B,a]=cheby(N,Rp,wso,ftype','s')該格式用于計(jì)算N階切比雪夫I型模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量B和A。調(diào)用參數(shù)N和wso分別為切比雪夫I型模擬