高等數(shù)學(xué)課件考點(diǎn)6無(wú)窮級(jí)數(shù)

無(wú)窮級(jí)數(shù)關(guān)注微課程，獲取學(xué)習(xí)考點(diǎn)6.1

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)考點(diǎn)6.2

正項(xiàng)級(jí)數(shù)考點(diǎn)6.3

交錯(cuò)級(jí)數(shù)考點(diǎn)6.4

冪級(jí)數(shù)

本考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)

掃碼免費(fèi)看

nn1

k

1【基本性質(zhì)】n

nnn1無(wú)窮級(jí)數(shù)u

收斂，則lim

u

0

【基本概念】(1)無(wú)窮級(jí)數(shù)un

收斂

部分和Sn

uk

收斂(2)

如果|un

|收斂

un

收斂，并稱un

絕對(duì)收斂n1

n1

n1考點(diǎn)6.1

級(jí)數(shù)基本理論n1

n1

(3)如果|un

|丌收斂，但un

收斂，稱un

條件收斂n1

n1n1(1)n12n1,

(1)n1

qn1

,

0

q

1如n1

n但反乊未然，如

1

.看不懂掃這里10考點(diǎn)6.1

級(jí)數(shù)基本理論【基本公式】常見(jiàn)級(jí)數(shù)及其斂散性20npn1(1)n,

p

0p-級(jí)數(shù)

a1

q等比級(jí)數(shù)

aqn

,

a

0n1當(dāng)|

q

|

1時(shí)，絕對(duì)收斂，其和為S

當(dāng)|

q

|

1時(shí)，發(fā)散.當(dāng)p

1時(shí)，絕對(duì)收斂當(dāng)p

1時(shí)，條件收斂看不懂掃這里【基本性質(zhì)】收斂、絕對(duì)收斂、條件收斂乊間的關(guān)系考點(diǎn)6.1

級(jí)數(shù)基本理論收斂條件收斂絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂收斂條件收斂看不懂掃這里n1D.2nnu1

50n1

A.kun

(k

0)n1C.B.un100

n1

2nu

n1考查知識(shí)點(diǎn)：級(jí)數(shù)收斂的條件【2011,13】若級(jí)數(shù)un

收斂，則下列級(jí)數(shù)中丌收斂的是:答案:D考點(diǎn)6.1

級(jí)數(shù)基本理論掃碼看解析【2009,13】已知級(jí)數(shù)(u2n

u2n1

)收斂的，則下列結(jié)論成立的是:n1C.

lim

un

=0nn1A.

un必收斂n1B.

un未必收斂n1D.

un發(fā)散考查知識(shí)點(diǎn)：級(jí)數(shù)收斂的條件解題思路：所給條件中，逐項(xiàng)排除法考點(diǎn)6.1

級(jí)數(shù)基本理論掃碼看解析n1【2005,16】級(jí)數(shù)un

收斂的充要條件是:1nnnnnnuD.lim

S

存在(其中Sn2n

nnA.

lim

u

=0 B.

lim

un1

r

1C.u

1

u

u

)考查知識(shí)點(diǎn)：級(jí)數(shù)收斂的定義、條件解題思路：只有定義是級(jí)數(shù)收斂的充要條件考點(diǎn)6.1

級(jí)數(shù)基本理論掃碼看解析【基本概念】正項(xiàng)級(jí)數(shù)an

收斂

部分和Sn有界

n1【基本方法】比較審斂法1:

n1

n1n1

n1n1設(shè)an，bn為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，an

bn若bn

收斂，則an

也收斂若an

發(fā)散，則bn

也發(fā)散1比較審斂法(1)考點(diǎn)6.2

正項(xiàng)級(jí)數(shù)n1注：大收

小收；小發(fā)散

大發(fā)散注：常用的丌等式1ln

n

n

n

n(1)

1

,

n

1；

(2)

|

sin

n

|

1

;(3)

|

cos

n

|

1n

n【基本方法】

nnnnan

bn1n1比較審斂法2:

k設(shè)

a，b

為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且lim

n1(1)若0

k

，則bn不an

同斂散；n1若k

0，則an

bn；若k

，則an

bn。1比較審斂法(2)1n1

np(

p

1);i)

i

i)

xn

(|

x

|

1)n1

1

np(

p

1);n1

n1【基本公式】(1)常見(jiàn)收斂級(jí)數(shù)(2)

常見(jiàn)發(fā)散級(jí)數(shù)

i)

n1i

i)

xn

(|

x

|

1)n1考點(diǎn)6.2

正項(xiàng)級(jí)數(shù)注：如果an

bn

,則an

不bn同斂散.2比值審斂法【基本方法】考點(diǎn)6.2

正項(xiàng)級(jí)數(shù)nn1【基本方法】設(shè)

an

為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且lim

n

an

l(1)若l

1，則an

收斂；n13根值審斂法(2)若l

1，則an

發(fā)散；n1(3)若l

=1，此法無(wú)法判斷.考點(diǎn)6.2

正項(xiàng)級(jí)數(shù)

n【2013,12】正項(xiàng)級(jí)數(shù)an

的部分和數(shù)列{Sn

}(Sn

ai

)有上界是該級(jí)數(shù)收斂的：n1A.充分必要條件C.必要條件而非充分條件i

1B.

充分條件而非必要條件D.既非充分又非必要條件考查知識(shí)點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的定義、充要條件解題思路：由正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件，直接可得考點(diǎn)6.2

正項(xiàng)級(jí)數(shù)掃碼看解析【2010,13】下列各級(jí)數(shù)中發(fā)散的是：113nn1B.

(1)n1n1

n1ln(n

1)n

1n

1

2

n

3

A.n1C.D.(1)n1考查知識(shí)點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法考點(diǎn)6.2

正項(xiàng)級(jí)數(shù)掃碼看解析【2007,13】下列各級(jí)數(shù)發(fā)散的是：1A.sinn321nn1n1n1n1n1ln(n

1)n

1

2

n

3

B.

(1)C.D.(1)n1

考查知識(shí)點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法解題思路：逐項(xiàng)判斷斂散性考點(diǎn)6.2

正項(xiàng)級(jí)數(shù)掃碼看解析【2005,17】正項(xiàng)級(jí)數(shù)nana

,判定liman1nn1

q

1是此正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的什么條件？A.充分條件，但非必要條件C.充分必要條件B.必要條件，但非充分條件D.既非充分條件，又非必要條件考點(diǎn)6.2

正項(xiàng)級(jí)數(shù)考查知識(shí)點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的判別法、充要條件解題思路：由正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的比值（根值）判別法，是級(jí)數(shù)收斂的充分條件，但非必要條件掃碼看解析nnnn1n10,(1)(1)n1n1【基本概念】設(shè)uu，則稱u

為交錯(cuò)級(jí)數(shù)【基本方法】nn1n1(1)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)u

滿足下列兩條：(1)

un單調(diào)遞減；(2)

lim

un

0nnn1n1則(1)

u

收斂.考點(diǎn)6.3

交錯(cuò)級(jí)數(shù)看不懂掃這里【2012,10】下列級(jí)數(shù)中，條件收斂的是：nn3n1(1)n(1)n

(1)nn

1n1

n(n

1)n

2A.

n1B.

n1C.

D.(1)n

考查知識(shí)點(diǎn)：條件收斂、絕對(duì)收斂、交錯(cuò)級(jí)數(shù)考點(diǎn)6.3

交錯(cuò)級(jí)數(shù)答案：A掃碼看解析的收斂性是：n(1)n【2008,10】級(jí)數(shù)n1A.絕對(duì)收斂

B.

條件收斂

C.

等比級(jí)數(shù)收斂

D.

發(fā)散考查知識(shí)點(diǎn)：條件收斂、絕對(duì)收斂、交錯(cuò)級(jí)數(shù)考點(diǎn)6.3

交錯(cuò)級(jí)數(shù)答案：B看不懂掃這里1收斂半徑nn

0【基本概念】關(guān)于(x

x0

)的冪級(jí)數(shù):n0a

(

x

x

)na

xnn0關(guān)于x的冪級(jí)數(shù):nnnlim

|

a

|a【基本理論】設(shè)

=lim

an1nn,或

則r

1

為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.若=0,則r

.考點(diǎn)6.4

冪級(jí)數(shù)2收斂域【基本性質(zhì)】設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為r，則0(1)nn

0

0

r

);a

(

x

x

)

的收斂域?yàn)?/p>

(

x

r,

xn0(2)nna

x

的收斂域?yàn)?r,

r

).n0注：端點(diǎn)收斂不否，需具體分析.考點(diǎn)6.4

冪級(jí)數(shù)3冪級(jí)數(shù)展開(kāi)—林級(jí)數(shù)xnn0

n!(2)ex

,收斂半徑r

;1nn

0(1)

1

xx

,收斂半徑r

1;2

x注：這些公式要靈活運(yùn)用.如將

1

【基本方法】常見(jiàn)林展開(kāi)公式：展開(kāi)成(1)x的冪級(jí)數(shù)；(2)x

1的冪級(jí)數(shù)x2n1,收斂半徑r

;x2n(3) sin

x

n0

(2n

1)!(4) cos

x

n0

(2n)!,收斂半徑r

;考點(diǎn)6.4

冪級(jí)數(shù)nn【基本性質(zhì)】在收斂域內(nèi)具有以下微分和積分性質(zhì)：n0如果S(x)a

x，則nna

xna

xn1n1(1)

S

(

x)

n

n0=00(2)xxnnanxn1x dx

n

1S(

x)dx

an0n0考點(diǎn)6.4

冪級(jí)數(shù)(1)nx

=1

xn01

1n

nn01

x；

(2)

(1)

x

，|

x

|

14求和函數(shù)【基本方法】靈活利用常見(jiàn)展開(kāi)公式和冪級(jí)數(shù)的求導(dǎo)、積分性質(zhì)等比級(jí)數(shù)：考點(diǎn)6.4

冪級(jí)數(shù)1

13n

n

nnnnx

n1n0

n0考查知識(shí)點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)收斂半徑n0

32A.

3

x

B.

3

xC.

x

D.n0【2013,17】下列冪級(jí)數(shù)中，收斂半徑R

3的冪級(jí)數(shù)是：答案：D考點(diǎn)6.4

冪級(jí)數(shù)掃碼看解析的林展開(kāi)正確的是：12【2012,11】當(dāng)|

x

|

1

時(shí)，函數(shù)f

(x)1

2xn0

n0A.

(1)n1

(2x)nC.

(1)nB.

(2)n

xn

n0n

n2

x

D.2

xn

nn0n01

t考查知識(shí)點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)展開(kāi)公式解題思路：根據(jù)函數(shù)不公式的相似性，確定公式

1

t

n

,|t|

1t

2

x1

11

2x

1

t考點(diǎn)6.4

冪級(jí)數(shù)

(2x)n

,|

2

x

|

1t

2

x

n0n0tn掃碼看解析【2011,14】設(shè)冪級(jí)數(shù)nna

x

的收斂半徑為2,則冪級(jí)數(shù)n0A.

(2,

2) B.(

2,

4) C.

(0,

4)考查知識(shí)點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂域D.

(4,

0)答案：Cnn1n0na

(

x

2)的收斂區(qū)間是：考點(diǎn)6.4

冪級(jí)數(shù)掃碼看解析3n

nn0考查知識(shí)點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂域3

34A.

[

2,

4) B.

(

2,

4) C.

(1,1) D.[

1

,

)【2010,14】?jī)缂?jí)數(shù)

(

x

1)

的收斂域是：

答案：A

n考點(diǎn)6.4

冪級(jí)數(shù)掃碼看解析【2009,14】函數(shù)13

x考查知識(shí)點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)展開(kāi)解題思路：根據(jù)函數(shù)不公式的相似性，確定公式2xnxn4n1D.

(1)nn0(

x

1)n2n1

1

x

nn0

2n

n0

A.

B.

C.

n0展開(kāi)成(x

1)的冪級(jí)數(shù)是：答案：C考點(diǎn)6.4

冪級(jí)數(shù)掃碼看解析考查知識(shí)點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)展開(kāi)n!n!nne(

x

1)n(

x

1)n(

x

1)n(

x

1)nA.

n0B.

en0C.

n0D.

n0【2008,15】函數(shù)e

x

展開(kāi)成(

x

1)的冪級(jí)數(shù)是：

答案：B解題思路：根據(jù)函數(shù)不公式的相似性，確定公式考點(diǎn)6.4

冪級(jí)數(shù)掃碼看解析x【2007,15】函數(shù)1

展開(kāi)成