數(shù)學(xué)模型：24-玻璃劃分的數(shù)學(xué)模

玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型

玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型魯習(xí)文華東理工大學(xué)數(shù)學(xué)系玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型問(wèn)題的提出

建模分析和劃分方案模型建立模型求解結(jié)果與討論模型推廣１２３４５６

玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型所得到的成品玻璃要盡可能剛好滿(mǎn)足客戶(hù)需要操作要方便坯料的用量要少玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型-問(wèn)題的提出

耀華玻璃制品有限公司生產(chǎn)銷(xiāo)售玻璃，當(dāng)前有玻璃板坯料為250cm250cm，現(xiàn)有客戶(hù)訂購(gòu)規(guī)格分別為40cm30cm,60cm60cm,80cm70cm和120cm120cm四種規(guī)格的玻璃，相應(yīng)的需求量分別為1500塊,1000塊,800塊和200塊，該公司想知道在生產(chǎn)過(guò)程中如何合理地劃分玻璃。理想的劃分應(yīng)該滿(mǎn)足：

由于玻璃坯料通常有多種規(guī)格，不同客戶(hù)有不同需求，因此該公司需要知道一般情況下最優(yōu)或合理利用坯料的生產(chǎn)操作方案。邊角料盡可能少并最好成塊即劃分下來(lái)成品玻璃余量要盡可能少。如果有成品余量，那最好是規(guī)格相對(duì)大一些的成品。

玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型

玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型-建模分析和劃分方案

為了尋找最優(yōu)或合理的生產(chǎn)操方案，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景確定如下幾條原則：該劃分問(wèn)題可分為選定劃分方案、確定最佳坯料用量與生產(chǎn)操作方案兩個(gè)階段。1、不考慮刀口寬度和坯料的厚度；2、玻璃劃分為截?cái)鄤澐郑疵看味家环譃槎Ｓ捎谂髁虾统善范际情L(zhǎng)方形或正方形，我們認(rèn)為在劃分中得到的玻璃都是長(zhǎng)方形或者正方形；3、每次劃分都是沿著平行于玻璃一條邊進(jìn)行劃分，簡(jiǎn)稱(chēng)為平行劃分；4、為操作方便，在一般情況下一塊坯料上最多只劃五種規(guī)格的成品玻璃；玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型-建模分析和劃分方案

玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型１、坯料劃分方案：將坯料劃分為一些長(zhǎng)方形，這些長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)等于某一成品邊長(zhǎng)或其倍數(shù)。重復(fù)這個(gè)過(guò)程直到最后的長(zhǎng)方形的一條邊小于所有成品的最小邊，剩下的這些長(zhǎng)方形即為余料。從上述劃分得到的一系列可行坯料劃分方案中，按照預(yù)先確定的選擇標(biāo)準(zhǔn)選出較優(yōu)的或合理的劃分方案。通常的選擇標(biāo)準(zhǔn)是：

坯料利用率要達(dá)到或超過(guò)預(yù)先確定的要求．即邊角余料要低于一個(gè)預(yù)先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)，與有如下關(guān)系：這里是坯料的面積；至少有一種劃分方案能產(chǎn)生第種規(guī)格的成品玻璃；２、確定最佳坯料用量和生產(chǎn)操作方案根據(jù)訂單要求的成品規(guī)格和數(shù)量，在已確定的坯料劃分中選擇所需方案，并決定按每種劃分方案劃分的坯料數(shù)。加工時(shí)就按照已選定的劃分方案及相應(yīng)的劃分?jǐn)?shù)量進(jìn)行生產(chǎn)。（1）

玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型-建模分析和劃分方案

實(shí)例:

對(duì)上述具體問(wèn)題中，不妨用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ分別表示四種類(lèi)型的成品玻璃：120cm120cm80cm70cm60cm60cm40cm30cmⅠⅡⅢⅣ根據(jù)坯料劃分方案可將坯料劃分為250cm120cm，250cm70cm和250cm60cm三大塊，并選定坯料利用率

=96%。根據(jù)劃分原則，我們可以得到23種劃分方案，下圖1和圖2即為劃分方案1和2，表1為這23種劃分方案的相關(guān)信息。圖１圖２

玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型-建模分析和劃分方案

方案成品規(guī)格邊角余料面積(cm2)坯料利用率120cm120cm80cm70cm60cm60cm40cm30cm112515

90098.56%21367130097.92%31462170097.28%41455170097.28%51448170097.28%614214170097.28%711616170097.28%811228170097.28%92340250096.00%1023012250096.00%1120414250096.00%1220026250096.00%130908250096.00%1406410250096.00%1506022250096.00%1603120250096.00%1703812250096.00%1803424250096.00%1903036250096.00%20001214250096.00%2100826250096.00%2200438250096.00%2300050250096.00%表1.坯料劃分方案表玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型-建立模型

玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型設(shè)為第種劃分方案所用的坯料的數(shù)量，則由劃分方案表可知Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ這四種玻璃的生產(chǎn)量分別為：生產(chǎn)所用的坯料總數(shù)為:邊角余料總量為:（2）（3）（4）（5）（6）（7）玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型-建立模型

玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型

由于在生產(chǎn)過(guò)程中，坯料用量最優(yōu)是最高目標(biāo)，在此基礎(chǔ)上再考慮邊角余料盡可能少，最后才是盡量滿(mǎn)足成品余量盡可能少和成品余量盡可能是大規(guī)格的要求。設(shè)分別為四種成品玻璃Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ的剩余量，則剩余總量為。由于大規(guī)格的玻璃在將來(lái)派上用途的可能性大，因此我們對(duì)剩余變量采用優(yōu)先等級(jí)處理。綜上所述并根據(jù)（2-7）式，我們能夠建立如下玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型：（8）（9）（10）（11）（12）（13）玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型-模型的求解

玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型

模型（8-13）是一個(gè)多目標(biāo)整數(shù)規(guī)劃模型，由于，我們先采用目標(biāo)規(guī)劃的優(yōu)先等級(jí)法將其轉(zhuǎn)化為整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題，然后運(yùn)用整數(shù)規(guī)劃的方法求得上述模型的兩個(gè)解：

（14）第一個(gè)解為：

第二個(gè)解為：

（15）由（14-15）得到兩個(gè)生產(chǎn)方案和有關(guān)數(shù)值結(jié)果如下：

劃分方案成品數(shù)量坯料用量成品規(guī)格（cmcm）邊角余料（cm2）12012080706060403011010205015090002150150450900105019500091530456003750010510150601250013300270024075000合計(jì)21020080010101500329000劃分方案成品數(shù)量坯料用量成品規(guī)格（cmcm）邊角余料（cm2）120120807060604030167

6713433510056030028824485610400393933725581861581004114551700511448170064416856680091326395203250013230207018457500合計(jì)21020080010101500329000表2.生產(chǎn)方案A和有關(guān)數(shù)值結(jié)果表3.生產(chǎn)方案B和有關(guān)數(shù)值結(jié)果我們很容易知道坯料用量的一個(gè)下界是：而坯料的最優(yōu)用量為：塊，由此可見(jiàn)最優(yōu)坯料用量是相當(dāng)接近這個(gè)下界的，這說(shuō)明模型是十分有效和理想的。此外邊角余料總和為：這樣，坯料利用率為：從坯料的利用率可看出原材料較為充分的利用，這也說(shuō)明模型的效果十分理想。

玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型-結(jié)果與討論

（16）從計(jì)算結(jié)果可知：第一個(gè)解得到的生產(chǎn)方案A只需采用五個(gè)坯料劃分方案，并且生產(chǎn)集中，而第二個(gè)解得到的生產(chǎn)方案B需用八個(gè)劃分方案，其中有三個(gè)方案劃分的坯料數(shù)只有1到4塊。顯然方案A比方案B簡(jiǎn)便。因此，建議采用生產(chǎn)方案A。（17）（18）

玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型如果不考慮坯料的綜合利用,在坯料上只排一種,這對(duì)生產(chǎn)很方便,但會(huì)造成原材料的浪費(fèi)。此時(shí)在每塊坯料上只排Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ和Ⅳ規(guī)格中一種的數(shù)量分別為50,16,9和4。在這種情況下，坯料的用量為：這要超出最優(yōu)用量22塊，超出10.48%，坯料利用率也只有88%，顯然是不經(jīng)濟(jì)的。在建模過(guò)程中，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的要求建立采用多個(gè)目標(biāo)的模型（簡(jiǎn)稱(chēng)多目標(biāo)模型）這是十分必要的。因?yàn)樵谕ǔＧ闆r下余料是比較細(xì)小的，難以派上用場(chǎng)。如果只采用第一個(gè)目標(biāo)建立模型（簡(jiǎn)稱(chēng)為單目標(biāo)模型），將會(huì)在同樣滿(mǎn)足坯料用量最少的情況下，余料總量會(huì)明顯增大。我們通過(guò)計(jì)算可得單目標(biāo)模型的最優(yōu)解是：從數(shù)值結(jié)果可知坯料用量也是210塊，但邊角余料是365000cm2，明顯大于多目標(biāo)模型的329000cm2，超出比例為10.94%。玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型-結(jié)果與討論

（19）（20）

玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型下面我們將多目標(biāo)模型和單目標(biāo)模型的計(jì)算結(jié)果和分析對(duì)比列表如下：從上表的數(shù)值結(jié)果和分析對(duì)比中可以看出:兩個(gè)模型的坯料用量相同，但多目標(biāo)模型比單目標(biāo)模型多獲得規(guī)格較大的60cm×60cm的成品玻璃10塊。由此可見(jiàn)，多目標(biāo)模型比單目標(biāo)模型的效果更為理想,它既可使得坯料的用量最少,也可使得余料少而且盡量成塊。玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型-結(jié)果與討論

模型坯料用量得到的成品玻璃數(shù)量增加所得成品數(shù)量邊角余料(cm2)ⅠⅡⅢⅣⅠⅡⅢⅣ多目標(biāo)模型2101500101080020001000329000單目標(biāo)模型210150010008002000000365000表4.多目標(biāo)模型和單目標(biāo)模型的計(jì)算結(jié)果和分析對(duì)比表

玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型玻璃劃分的數(shù)學(xué)模型–模型推廣

本模型中確定的候選劃分方案的原則和坯料最佳用量與操作方案的方法可以很好地適應(yīng)坯料規(guī)格和訂貨規(guī)格的變化。如果有

種規(guī)格的坯料，客戶(hù)訂購(gòu)

種規(guī)格的成品玻璃

，不妨設(shè)

，這

種玻璃的需求數(shù)量分別為

。

假如對(duì)第

種坯料采用前述劃分原則得到

種劃分方案，若該坯料的第

種劃分得到第種成品規(guī)格的數(shù)量為

，邊角余料為

，則這種劃分對(duì)應(yīng)于向量

，我們稱(chēng)該向量為第

種坯料關(guān)于第

種劃分的劃分向量，記為

，即設(shè)為第種坯料按第種劃分方案所用的坯料數(shù)量，為第種成品玻璃的剩余量，則生產(chǎn)所用的坯料數(shù)為：邊角余料總量為：