八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)11直角三角形的性質(zhì)與判定(Ⅰ)構(gòu)造含30°角的直角三角形解題素材湘教版

構(gòu)含角直三形題眾所周知，在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半直三角形中的這一性質(zhì)讓我們充分感受到有30°給解題帶來(lái)的優(yōu)越性不僅如此許的幾何問(wèn)題上去象與此定理無(wú)緣的題目們可以充分發(fā)揮圖形的優(yōu)勢(shì)，挖掘其隱含條件，并通過(guò)適當(dāng)?shù)妮o助線造出滿足定理的直角三角形，使求解簡(jiǎn)捷了說(shuō)明這一點(diǎn)，現(xiàn)舉例說(shuō)明.一利角分構(gòu)全三形例1如1，AOB＝30°∠AOB平分線上一點(diǎn)過(guò)P引OA的垂線垂是點(diǎn)C，且過(guò)PPE∥，交于點(diǎn)，若PE＝2cm，試求的.分析要的，在eq\o\ac(△,Rt)中∠POC＝15°，所以在eq\o\ac(△,Rt)中難以求解考PC角平分線的點(diǎn)到這個(gè)角

D

B的一邊的距離，若過(guò)點(diǎn)P作出到另一邊的距離PD這樣就可以利用全等三角形轉(zhuǎn)化為求PD的，而在eq\o\ac(△,Rt)PDE中，剛好

O）

E圖

PC

A可求得∠PED＝30°，PE已，于是利用含30°直角三角形求解解過(guò)P作⊥于點(diǎn)，因?yàn)镺P是∠的平分線，PC⊥OA，＝，所以容易得到△ODP≌△，所以＝PD又∠AOB＝30°∥，以＝＝30°在eq\o\ac(△,Rt)PDE中，因?yàn)椋剑訮D＝

12

＝故PC1cm.二利垂平線理例2如2，在△中90的垂平分線交于D，交于M，＝求AC長(zhǎng)

M

AB

D圖2

C分析由是AB垂直平分線，想到連結(jié)，得到等腰三角形，同時(shí)有＝∠+∠＝30°，而在eq\o\ac(△,Rt)ACD中，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求.解連AD.因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以BDAD即B＝∠，1

EE所以∠＝B+∠＝30°，在eq\o\ac(△,Rt)ACD中為AD＝＝8cm.∠＝30°所以AC三倍中，用等角

12

AD＝即AC長(zhǎng)是4cm.例3如3，在△中DC，若AD⊥，＝30°.求：AC＝

12A

AB.分析由論AC＝

12

BCDAB和件＝30°就想到能否找到或構(gòu)造直角三角形，而圖3顯然圖中沒有含30°角的直角角形，但想到＝的中線常用輔助線――倍長(zhǎng)中線，于是延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD連結(jié)BE則有≌△CDA，所以＝，＝DAC，又⊥AC∠DAC＝90°∠＝90°以在eq\o\ac(△,Rt)AEB中BAD＝30°＝

12

AB，即AC＝

12

AB.證明延AD到E，使＝AD，結(jié)BE.因?yàn)锽DCD∠BDE＝∠CDA所以BDE△.所以BEAC∠＝∠，又ADAC所以＝90°即＝90°，所以在eq\o\ac(△,Rt)中，∠＝30°，所以BE＝

11AB，即AC＝AB22四利等三形例4已：如圖4，在△ABC，AB＝AC∠＝120°，的垂直平分線MN分別C，于M，，求證CM＝BM.MB

N

A圖4分析要明這兩條線段的倍半系A(chǔ)＝120°將題轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，此時(shí)可連結(jié)AM，這樣由線段垂平分線的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形中30°角的性質(zhì)求解.證明連AM因?yàn)?，∠?20°，所以＝∠＝30°，又因?yàn)镸N是線段AB的垂直平分，所以＝，所以MAB＝∠＝30°所以∠＝90°，是，在eq\o\ac(△,Rt)中，由∠＝30°所以