定積分的證明題44題

題目1證明題容易證明jx(x-t)f'(t)dt=f(x)一f(a)。dxa題目2證明題容易耳利用積分中值定理證明：limj4sinnxdx=0。nT00題目3證明題一般設(shè)函數(shù)/*(x)在［a,。］內(nèi)可導(dǎo)，且/*(a)=0,jbf(x)dx=0a證明：在［a,b］內(nèi)至少存在一點(diǎn)&使f'(&)=0。題目4證明題一般設(shè)f(x)=f(x+a)，證明：辱為正整數(shù)時(shí)jnaf(x)dx=njaf(x)dx。00題目5證明題一般證明J1Xm(1-x)ndx=J1Xn(1一X)mdx題目6證明題一般設(shè)f(x)在",國(guó)上有定義，且對(duì)",力］上任意兩點(diǎn)x,y,有1f(x)一f(y)|<|x-y|.則f(x)在［a,b］上可積,且1jbf(x)dx-(b-a)f(a)<—(b-a)2。a2題目7證明題一般設(shè)f(x)在［a,b］上的連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b)=0.證明：4jb|f(x)^x<M(b-a)2,其中M=sup|尸(x)|。aa<x<b題目8證明題一般設(shè)f(x)在［a,b］上正值，連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&,使Lf(x)dx=』bf(x)dx=上』bf(x)dx。a&2a題目9證明題一般2SiRnxdxo0證明:0<』2sinn+ixdx<2SiRnxdxo0一般dx兀=<——o6求證：1<j120?偵4—x2+x3題目11證明題一般設(shè)f⑴在區(qū)間(a,3)上連續(xù)，且在(a,3)內(nèi)任一閉區(qū)間上積分為零，證明'⑴在(a?)內(nèi)恒等于零。題目12證明題一般若函數(shù)f(x)在［0,1］上連續(xù)，證明:fax3f(x2)dx=Lja2xf(x)dx(a>0)。020題目13證明題一般設(shè)函數(shù)'(x)和g(x)在［a,3］上連續(xù)證明：［f3f(x)g(x)dx］2<\3f2(x)dx-\3g2(x)dx。題目14證明題一般設(shè)f(x)在［0,1］上連續(xù)，=j4f(sin2甲)(cos甲+sin甲)dp。0證明：j2f(sin2甲)cos甲d甲題目15證明題一般設(shè)/(x)在［i,。］上可導(dǎo),且f'(x)<M,f(a)=0,證明:=j4f(sin2甲)(cos甲+sin甲)dp。0a2題目16證明題一般設(shè)f(x)在[0,2a],(a>0)上連續(xù)，證明J&f(x)dx=J°[f(x)+f(2a一x)]dx。00題目17證明題一般設(shè)*為正整數(shù)，證明:⑴J兀cos2kxdx=兀；(2)J"sin2kxdx=題目17證明題一兀題目18證明題一般設(shè)f(x)在[0,1]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).且/⑴-f(0)=1.試證：J1[ff(x)]2dx>1。0題目19證明題一般若農(nóng)為正整數(shù)，證明J2cosmx-sinmxdx=—J2cosmxdx。02m0題目20證明題一般若函數(shù)^(x)在區(qū)間［。,b］上連續(xù)，貝Mbf(x)dx=(b一a)Jbf［a+(b一a)x］dx。aa題目21證明題一般設(shè)函數(shù)f(x)在［0,1］上連續(xù)，證明J2f(|cosx|)dx=4J2”f(|cosx|)dx。題目22證明題一般若函數(shù)'(x)在R連續(xù)，且f(x)=fxf(t)dt,貝f(x)三0。a題目23證明題一般設(shè)f(x)是以兀為周期的連續(xù)函數(shù)，證明J2兀(sinx+x)f(x)dx=f"(2x+兀)f(x)dx。0o題目24證明題一般設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)且單調(diào)遞減，試證明:對(duì)于任何qe[0,1],都有不等式fqf(x)dx>qJ1f(x)故成立。oo題目25證明題一般設(shè)f(x)在［a,b］上單調(diào)增加且「〃(x)〉0.證明:(b-a)f(a)<jbf(x)dx<(b-a)f(a)+f(")a題目26證明題一般設(shè)函數(shù)/?⑴在［a,》］上連續(xù)且單調(diào)遞增。一、1八F(x)=jf(t)dt,(a<x<b)x-aaF(a)=f(a),證明：F(x)在［a,b］上單調(diào)增.。題目27證明題一般設(shè)f(x)在［a,b］上二階可導(dǎo)田〃(x)<0,證明：jbf(x)dx<(b一a)f("*”)。a2題目28證明題一般設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在［a,b］可導(dǎo)，且/'(x)<0,證明函數(shù)F(x)=jxl^LdtaX—a在(a,b)內(nèi)滿足F'(x)<0。題目29證明題一般試證：如果/Xx)在［a,b］上連續(xù)，且對(duì)于一切xe［a,b］,f(x)>0同時(shí)至少存在一點(diǎn)&e［a,b］,使f&)>0,貝竹bf(x)dx>0。a題目30證明題一般試證bfD故小f(x)dx。ac—b題目31證明題一般設(shè)函綁3)在［0,1］上可微，且滿足等式：?f(1)-2!2xf(x)dx=00試證在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&，使f'(&)=-華。g題目32證明題一般設(shè)f(x)在［。,5］上連續(xù)，并且對(duì)于每一個(gè)在［。,b］上的連續(xù)函數(shù)g(x).都有!bg(x)f(x)dx=0a證明：f(x)=0(a<x<b)。題目33證明題難設(shè)函數(shù)f(X)在[^,b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)f'(x，且f(a)=0,貝I」jb\f(x)f'(x)|dx<———ajb[f'(x)]2dx。a2a題目34證明題難設(shè)f(x)在［a,b］上二階連續(xù)可微，其中a<0<b,則在該區(qū)間上必存在一個(gè)&，使1一.一.jf(x)dx=bf(b)-af(a)-2[b2f(b)-a2f(a)]+~(b3—a3)f"(&)。3!0題目35證明題難若f(工)關(guān)于工=T對(duì)稱，且a<T<b,貝Ubf(x)dx=2』bf(x)dx+f2T山f(x)dx。TOC\o"1-5"\h\zaTa題目36證明題難試證Z=j+"—-—dx=j+8——dx=兀01+x401+x42\-2題目37證明題難證明奇函數(shù)的一切原函數(shù)皆為偶函數(shù)，偶函數(shù)的原函數(shù)中有一為奇函數(shù)。題目38證明題難x-^dtbf(t)設(shè)f⑴在k,b］上連續(xù)，由(x)>0,又F(x)=\xf(tx-^dtbf(t)證明：F(x)=0在［a,b］內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。題目39證明題難證明:當(dāng)a>1時(shí),有\(zhòng)af32+竺)1dx=Jaf(x+竺)Ldx。1X2X1XX題目40證明題難若函數(shù)f(x)在［0,+8］連續(xù)，且limf(x)=A,X■+8貝J：lim1jxf(t)dt=A。X■+8X0題目41證明題難證明:若jbf2(x)dx=0貝f(x)=0xe[a,b]oa題目42證明題難設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，證明：lim1jx[f(t+h)-f(t)]dt=f(x)-f(a)(a<x<b)。#T0haTOC\o"1-5