對(duì)兩個(gè)重要極限的重要性的認(rèn)識(shí)

對(duì)兩個(gè)重要極限的重要性的認(rèn)識(shí)作者:日期:

對(duì)兩個(gè)重要極限的重要性的認(rèn)識(shí)摘要：通過對(duì)兩個(gè)重要極限重要性的理解和認(rèn)識(shí)總結(jié)有關(guān)兩個(gè)重要極限的論文成果，指出兩個(gè)重要極限在微積分的計(jì)算過程中起到了重要的橋梁紐帶作用，主張學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)不僅局限于課本，要培養(yǎng)提高探究問題的能力，系統(tǒng)全面的看待問題，深刻細(xì)致的體會(huì)微積分思想的嚴(yán)謹(jǐn)性。關(guān)鍵詞:重要極限；重要性;證明；應(yīng)用1.緒論兩個(gè)重要極限在微積分的計(jì)算和整個(gè)微積分思想中起著舉足輕重的作用，目前，關(guān)于這方面的分析已經(jīng)很成熟，有關(guān)于它們的來源，證明應(yīng)用和深入擴(kuò)展，本文系統(tǒng)的總結(jié)了部分具有代表性的成果,從而可以直觀全面的認(rèn)識(shí)和體會(huì)兩個(gè)重要極限的重要性，對(duì)剛接觸極限理論，沒有深入認(rèn)識(shí)兩個(gè)重要極限的學(xué)生來說，具有指導(dǎo)意義?！稊?shù)學(xué)分析》課程在講述關(guān)于兩個(gè)重要極限和sin尤1、時(shí)，著重強(qiáng)調(diào)了它在整個(gè)極限計(jì)算中有重要地位。蜘二一T它lim(1+-)'*XT0xX能將許多復(fù)雜的極限計(jì)算迅速簡化，應(yīng)用非常靈活。因此，這兩個(gè)重要的極限可以說是全部微積分學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)，其重要性就不難理解了。試想，若沒有它們，那么只要遇見微積分相關(guān)的計(jì)算題，必須用最基本的方法，有些還不一定求得出來，更不用說由它們推廣出的更復(fù)雜的應(yīng)用了。2.兩個(gè)重要極限的證明兩個(gè)重要極限是極限理論的重要內(nèi)容，也是解決極限問題的一種有效方法，在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，起著重要作用，了解它們的證明方法對(duì)充分理解和認(rèn)識(shí)它們是十分必要的，它的證明過程也是對(duì)兩邊夾定理及單調(diào)有界數(shù)列必有極限這一準(zhǔn)則的恰當(dāng)應(yīng)用。2.1第一個(gè)重要極限：limSinX=1XT0X證明：作單位圓，如圖1:

設(shè)x為圓心角/AOB,并設(shè)0VxV-見圖不難發(fā)現(xiàn)：SVS2KAOB扇形AOB艮P^—sinxVLxVLtanx，艮口sinxVxVtanx,222x1

n1vvsinxcosx（因?yàn)?VxV-,所以上不等式不改變方向）2當(dāng)x改變符號(hào)時(shí)，cosx,二及1的值均不變，故對(duì)滿足0V1x1sinx<SAAOD的一切x,有cosxVsmx<SAAOD的一切x所以1一三2VcosxV12nlimcosx=1x—0又因?yàn)閏osx=1-(1-cosx)所以1一三2VcosxV12nlimcosx=1x—0nlim吁=1，證畢。x—nlim吁=1，證畢。x—0xx—0x—02.2第二個(gè)重要極限：lim(1+!)x=ex—Sx先考慮x取正整數(shù)時(shí)的情形：lim(1+-1)n、nn—sr十sMW、rvbn+1—an+1對(duì)于b>a>0，有不等式:V(n+1)bn,b一aPpbn+1一an+1v(n+1)bn(b一a),Ppan+1>bn[(n+1)a-nb](i)現(xiàn)令a=1+—,b=1+1,顯然b>a>0,因?yàn)閚+1n

(n+1)a-nb=n+1+1-(n+1)=1將其代入，所以(1+上)〃+】>(1+-)n「sin尤n+1nlim=1110X{(1+_)n}為單調(diào)數(shù)列，記作{Xn}olim(1+X)X=e(ii)又令a=1XSb=1+—,2n所以1>(1+-1)n?L2n2即對(duì)Vn,x<4,又對(duì)Vnb=1+—,2n所以1>(1+-1)n?L2n2即對(duì)Vn,x<4,又對(duì)V,1,,1(1+——)nn4>(1+——)2n,2n2n(1+^^)2n+1<(1+^^)2n+2<4

2n+12n+2所以｛(1+寫n｝是有界的。n由單調(diào)有界定理知lim(1+寫n存在,并使用e來表示,XSn即lim(1+即lim(1+L)nXSn=e=2.7182818284590453.兩個(gè)重要極限在微分學(xué)中的重要性錯(cuò)誤的錯(cuò)誤3.兩個(gè)重要極限在微分學(xué)中的重要性錯(cuò)誤的錯(cuò)誤錯(cuò)誤錯(cuò)誤j幕函數(shù)y=Xa(aeR),j指數(shù)函數(shù)y=aX(a>0,a。1),；對(duì)數(shù)函數(shù)y=logx(a>0,a。1),!一.a三角函數(shù)y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,⑤反三角函數(shù)y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx。由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則混合運(yùn)算與符合運(yùn)算所得到的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)，微積分中我們經(jīng)常需要計(jì)算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，微分學(xué)的基本概念一一導(dǎo)數(shù)是建立在極限概念基礎(chǔ)上的。即求一個(gè)函數(shù)坊)在點(diǎn)X處的導(dǎo)數(shù)'(X)，就是計(jì)算極限iimf(X+Ax)-f(x)40Ax(3.1)當(dāng)這一極限存在時(shí)，其值就是f，(x)o但這僅僅是停留在導(dǎo)數(shù)定義上的，如果求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都要計(jì)算極限3.1的話，顯然是非常復(fù)雜和繁瑣的，勢(shì)必限制導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用。事實(shí)上,在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),并不都需要計(jì)算極限3.1,而只需根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則就可以很方便地求得任何一個(gè)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，兩個(gè)重要極限對(duì)于以上六類基本初等函數(shù)的求導(dǎo)起到了至關(guān)重要的作用。關(guān)于基本初等函數(shù)的求導(dǎo)，我們可以大致分為三類函數(shù)：第一類是幕函數(shù)，第二類是三角函數(shù)和反三角函數(shù)，第三類是指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)。對(duì)于第一類函

數(shù)的求導(dǎo)，要利用二項(xiàng)式定理和導(dǎo)數(shù)定義便求得。對(duì)于第二類函數(shù)的求導(dǎo)，需要利用到lim榮=1這個(gè)重要極限。對(duì)于第三類函數(shù)的求導(dǎo)，需要利用到x—0Xlim(1+-)x=e這個(gè)極限。TOC\o"1-5"\h\zx—3X下面來看一看基本求導(dǎo)公式是如何得來的。3.1重要極限在三角函數(shù)求導(dǎo)過程中的作用以正弦函數(shù)sinx的求導(dǎo)公式的推導(dǎo)為例.由導(dǎo)數(shù)的定義Ax、.Ax2cos(x+)-sin一Ax.Axsin-Ax.2=limcos(x+——)一—Ax-02A2(sinx)'=limsm(x+Ax)-sin(x)=命Ax.Axsin-Ax.2=limcos(x+——)一—Ax-02A2=cosx?1=cosx其中應(yīng)用了第一個(gè)重要極限limsinx=1x—0x即lim^^=limm=1(令t=笠)。Ax—0笠t-0t22求得(sinx)’=cosx后,其余的三角函數(shù)和反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式就可以利用多個(gè)求導(dǎo)法則得到了。3.2重要極限在指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)求導(dǎo)過程中的作用Ax-1Ax工-=limlog(1+;)Ax=limlog[(】+;)愆]x其次，再看看對(duì)數(shù)函數(shù)logax的求導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程。由導(dǎo)數(shù)定義AxAx—0a1

e=xlnaTOC\o"1-5"\h\z(logx)'Ax-1Ax工-=limlog(1+;)Ax=limlog[(】+;)愆]xAxAx—0a1

e=xlna=lim—log(1+—)Ax=xlog其中應(yīng)用了第二個(gè)重要極限lim(1+1)x=e，即x—3x—Ax*_1limlog(1+——)Ax=lim(1+—)=e(令x/Ax=u)。Ax—0axu—3u求得了(logax)'以后，指數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的求導(dǎo)公式就容易得出了。可見，兩個(gè)重要極限在導(dǎo)出基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式的過程中，特別是涉及三角函數(shù)的過程中起到了關(guān)鍵性的作用，沒有這兩個(gè)重要極限，兩類函數(shù)的求導(dǎo)公式就不可能得出。兩個(gè)重要極限在初等函數(shù)求導(dǎo)過程中起到了重要的紐帶作用,

因?yàn)橥频拐液瘮?shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的過程中要用到這兩個(gè)極限，而所有的初等函數(shù)都可以從這兩類函數(shù)以及它們的反函數(shù)出發(fā)，經(jīng)過有限的四則運(yùn)算復(fù)合得到。因此，從這兩類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)出發(fā)，利用函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合和反函數(shù)求導(dǎo)法則，就能求得全部初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。再由于積分是微分的逆運(yùn)算，可以得到基本積分表，依靠他們能算出大量初等函數(shù)的積分?？梢哉f,兩個(gè)重要極限可以說是全部微分積分學(xué)的基礎(chǔ)，在微積分的計(jì)算過程中起到了重要的橋梁紐帶作用，所以這兩個(gè)重要極限極其重要。4.兩個(gè)重要極限在計(jì)算中的應(yīng)用4.1兩個(gè)重要極限在一元極限中的應(yīng)用0第一個(gè)重要極限實(shí)際上是兩個(gè)無窮小之比的極限。若分子分母分別求極限便00得這一不定的結(jié)果，因此稱這一類型的極限為型未定式。類似地，第二個(gè)重要極限是屬于"型未定式。00綜上所述，可以得出這樣的結(jié)論,凡是含有三角函數(shù)的型未定式和h型未定式，我們都可不妨用兩個(gè)重要極限來試試,看能否求出它的結(jié)果，以下舉例來說明如何應(yīng)用這兩個(gè)重要極限于極限運(yùn)算中的。解：「1一cosXlimxc0X2Xx=解：「1一cosXlimxc0X2Xx=lim、=1二fl.x項(xiàng)x2x項(xiàng)2(x)2x項(xiàng)22?x

sin—2?x

sin—2xTOC\o"1-5"\h\zx頊x3sinx,1一cosx一sinxsinx解：limtanx一sinx=lim^osx=RmCO^Lx^0x3x^0x3x^0x3=limsinx］雨1］雨1-cosx_1xt0xxt0COsxxt0x22例3求lim(1--)x-xfsx.一.2解：令-x=t，則x=—-

TOC\o"1-5"\h\z2_21于是lim(1)x-lim(1+1)t-[lim(1+1)t]-2=e2-尤C8XtcOtcO例4求1血(土)x.xC82—X解：令3-x-1+U,則X-2-1.2—xu當(dāng)Xcs時(shí)ucO,于是1im(3—^)x-1im(1+u)2—t=1im[(1+u)—1-(1+u)2]xcs2—xucOucO1-[1im(1+u)u]-1-[1im(1+u)2]-eT.u—Ou—O例5求1im(1+tanx)cotx.xcO解：設(shè)t-tanx,則--cotx.t當(dāng)XcO時(shí)tcO,壬旦、.八.、一、.八.八1—于是1im(1+tanx)cotx1im(1+t)t-e.x—Ot—O4.2兩個(gè)重要極限在二元函數(shù)極限中的應(yīng)用4.2.1重要極限1im四=1的應(yīng)用xcOx極限1imsinu(x,y)=1是一元函數(shù)第一個(gè)重要極限的推廣，其中,u(x,y)cOu(x,y)(x,y)c(x°,y?時(shí)，u(x,y)cO,把u(x,y)看作新變量t，考慮極限過程t—cOosin(x3+y3)例1求極限(x,y)Z,O)x2+y21imsin(x3+y3)=命sin(x3+y3)x3+y3解：(x,y)c(O,O)x2+y2(x,y)c(O,O)x3+y3x2+y2=1im"3+y3)?1im^3±23=1.O=O(x3+y3)cOx3+y3(x,y)c(O,O)x2+y2極限運(yùn)算過程中第一個(gè)等號(hào)是一個(gè)恒等變形。我們?cè)O(shè)f(x,y)=sm(x3+y3)，定義域是D={(x,y)|(x,y)豐(O,O)}。x2+y2

再設(shè)f(x,y)=Si心3+y3)yz1定義域D1可以看到x3+y3x2+y2=ky)(再設(shè)f(x,y)=Si心3+y3)yz1定義域D1可以看到從函數(shù)f3,y)到f3,y)定義域變小了，但f3,y),f3,y)分別在各自11的定義域D與D內(nèi)，當(dāng)J,y)T(0,0)時(shí)，可以證明極限都是存在的，證明如下:1(1)以下是對(duì)f(x,y)=sm(x3+y3)在定義域D=｛(x,y)|(x,y)。(0,0)｝內(nèi)極限x2+y2的證明。因?yàn)楫?dāng)(x,y)。(0,0)時(shí)，有：0<住3+y3)<七旦<|x-^+|y-2^<|x|+|y|?x2+y2x2+y2x2+y2x2+y2sin(x3+y3)所以由夾逼準(zhǔn)則得(x,y)氣,0)x2+y2=0(2)對(duì)f(x,y)=血(x3+y3)x3+y3在定義域1x3+y3x2+y2氣=ky)(x,y)。(0,0)且》。x｝內(nèi)極限的存在性，由極限的四則運(yùn)算法則容易知道，并且其值易算得為0.既然f(x,y)=sm(x3+y3)在定義域D=｛(x,y)|(x,y)豐(0,0)｝內(nèi)極限存在，那么極限x2+y2必唯一。我們可以在D內(nèi)任找(x,y)-(0,0)的方式來計(jì)算出極限值。由D與D1的關(guān)系(D]gD),知道在D]D=D1中兩函數(shù)相等，所以在求極限找(x,y)—(0,0)的方式時(shí)，我們可以在D(D1uD)中找，顯然，兩函數(shù)的極限是相等的。"/、sin(x3+y3^sin(x3+y3)x3+y3，x3+y3x2+y2sin(x3+y3)但是,(x,y)—(0,0)x2+y2sin(x3+y3)x3，x3+y3x2+y2sin(x3+y3)但是,(x,y)—(0,0)x2+y2sin(x3+y3)x3+y3lim—(x,y)—(0,0)x3+y3x2+y2例2求極限(x*氣,0)sinxysin以x,y)~以x,y)；1一co項(xiàng)x,y)~2u2(x,y)；lnh+u(x,y)]?u(x,y);tanu(x,y)?u(x,y);eu(x,y)一1?u(x,y)sinxysinxysinxy解：lim=limx=limlimx=1-0=0。(x,y)r(0,0)y(x,y)r(0,0)◎xyr0◎(x,y)r(0,0)在一元函數(shù)中由第一個(gè)重要極限可以得到幾個(gè)常用的等價(jià)無窮小，推廣到二元函數(shù)中得到：(uG,y)T0)sinxy

tan(xsinxy

tan(x+y)例3求極限lim(x,y)t(0+,0+)解：lim&xy=lim三=0(x,y)t(0+,0+)tan(x+y)(x,y)t(0+,0+)x+y例4求極限lim1一cos(x2+y2)(x,y)T(0,0)(x2+y2)x2y2TOC\o"1-5"\h\z1-cos(x2+y2)2y1解：lim=lim=-(x,y)t(0,。)(x2+y2)x2y2(x,y)t(0,0)(x2+y2)x2y224.2.2重要極限lim(1+L)x=ex—8x極限lim(1+—L)u(x,y)=e是一元函數(shù)中第二個(gè)重要極限的推廣。下

u(x,y)—8u(x,y)面舉例說明它的應(yīng)用。1_x2例5求極限lim(1+-)x+y(x,y)T(8,1)x

…一一1里一一「1解：lim(1+—)x+y=lim(1+—)1、)xxlim(x,yI。,1)(1+_)xxlim(x,y)t(81、)xxlim(x,yI。,1)(1+