【教學(xué)課件】環(huán)節(jié)三 雙曲線的應(yīng)用（一）

雙曲線環(huán)節(jié)三雙曲線的應(yīng)用（一）引入新課復(fù)習(xí)回顧1．雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

（1）雙曲線的概念

一般地，我們把與平面內(nèi)兩個定點F1,F2的距離之差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線引入新課復(fù)習(xí)回顧1．雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)

引入新課復(fù)習(xí)回顧2．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形范圍對稱性頂點x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：坐標(biāo)原點A1(－a,0)，

A2(a,0)A1(0,－a)，

A2(0,a)引入新課復(fù)習(xí)回顧2．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形實軸和虛軸漸近線離心率線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a，

線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；知識應(yīng)用例1

雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（如圖（1））．它的最小半徑為12ｍ，上口半徑為13ｍ，下口半徑為25ｍ，

高為55ｍ．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1ｍ）．知識應(yīng)用例1問題：分析題目條件，正確理解題意.

雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（如圖（1））．它的最小半徑為12ｍ，上口半徑為13ｍ，下口半徑為25ｍ，

高為55ｍ．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1ｍ）．求此雙曲線的方程，應(yīng)從何處著手？知識應(yīng)用問題答案：旋轉(zhuǎn)面求此雙曲線的方程，應(yīng)從何處著手？追問1：雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面是我們學(xué)過的哪種曲面？知識應(yīng)用問題求此雙曲線的方程，應(yīng)從何處著手？追問2：“此雙曲線”與“雙曲線型冷卻塔的外形”之間是什么關(guān)系？

答案：實際問題抽象成為數(shù)學(xué)問題，先將雙曲線型冷卻塔的外形抽象成一個曲面，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面．

反之，“雙曲線型冷卻塔的外形”與經(jīng)過它的軸的平面的交線，就是“此雙曲線”的一部分．知識應(yīng)用例1

雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（如圖（1））．它的最小半徑為12ｍ，上口半徑為13ｍ，下口半徑為25ｍ，

高為55ｍ．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1ｍ）．追問3：題目中的“半徑”是什么意思？答案：垂直于軸的平面與“雙曲線型冷卻塔的外形”相交，所得到的圓的半徑.知識應(yīng)用例1

雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（如圖（1））．它的最小半徑為12ｍ，上口半徑為13ｍ，下口半徑為25ｍ，

高為55ｍ．試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1ｍ）．追問4：“最小半徑”與該雙曲線有什么聯(lián)系？答案：“最小半徑”等于該雙曲線實軸長的一半.知識應(yīng)用例1追問5：如何恰當(dāng)?shù)慕⒆鴺?biāo)系？答案：根據(jù)前面的分析，應(yīng)在冷卻塔的軸截面所在平面建立直角坐標(biāo)系.具體來說,以最小半徑所在的直線為x軸,雙曲線的虛軸所在的直線作為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy.知識應(yīng)用例1追問6：如何求雙曲線的方程？答案：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為利用已知條件，列出關(guān)于a和b的方程組，解出a和b即可.知識應(yīng)用例1追問6：如何求雙曲線的方程？

根據(jù)雙曲線的對稱性，在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖（2）所示的直角坐標(biāo)系Oxy，使小圓的直徑AA'在x軸上，圓心與原點重合.這時，上、下口的直徑CC'，BB'都平行于x軸，且|CC'|=13×2，|BB'|=25×2.設(shè)雙曲線方程為點C的坐標(biāo)為（13，y），則點B的坐標(biāo)為（25，y－55）.知識應(yīng)用例1追問6：如何求雙曲線的方程？因為直徑AA'是實軸，所以a=12.又因為點B和點C都在雙曲線上，所以由方程②，得（負(fù)值舍去）知識應(yīng)用例1追問6：如何求雙曲線的方程？代入方程①，得化簡，得③解方程③，得b≈25（負(fù)值舍去）因此所求雙曲線的方程為知識應(yīng)用例2問題如何求點M的軌跡？動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到定直線

的距離的比是常數(shù)

，求動點的軌跡．知識應(yīng)用例2動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到定直線

的距離的比是常數(shù)

，求動點的軌跡．追問1：點M的軌跡，點M的軌跡方程分別是什么意思？答案：軌跡是指點在運動變化過程中形成的圖形．在解析幾何中，我們常常把圖形看作點的軌跡（集合）．點M的軌跡方程是指點M的坐標(biāo)（x，y）滿足的關(guān)系式．知識應(yīng)用例2

動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到定直線

的距離的比是常數(shù)

，求動點的軌跡．追問2:如何用集合表示點M的軌跡？追問3:上面集合中的等式，如何用坐標(biāo)表示？答案：設(shè)d是點M到直線的距離，根據(jù)題意，動點M的軌跡就是集合答案：由兩點間的距離公式和點到直線的距離公式，可得知識應(yīng)用例2

動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到定直線

的距離的比是常數(shù)

，求動點的軌跡．追問4：如何化簡上述方程？點M的軌跡是什么呢？答案：上述方程可化為兩邊平方，并化簡，得即點M的軌跡是焦點在x軸上，實軸長為6，虛軸長為的雙曲線知識應(yīng)用例2

動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到定直線

的距離的比是常數(shù)

，求動點的軌跡．

動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到定直線

的距離的比是常數(shù)

，求動點M的軌跡．追問5：此前我們學(xué)習(xí)橢圓時，做過這樣一道類似的題目：比較這兩題，你有什么發(fā)現(xiàn)？答案：容易發(fā)現(xiàn)，平面內(nèi)到定點F的距離與到定直線l（直線l不經(jīng)過點F）的距離的比是常數(shù)的點的軌跡可能是橢圓，也可能是雙曲線．知識應(yīng)用例2

動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到定直線

的距離的比是常數(shù)

，求動點的軌跡．追問6：原題中的常數(shù)，與最后求得的曲線有什么關(guān)系？知識應(yīng)用例2追問6：原題中的常數(shù)，與最后求得的曲線有什么關(guān)系？

動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到定直線

的距離的比是常數(shù)

，求動點的軌跡．

動點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到定直線

的距離的比是常數(shù)

，求動點M的軌跡．求動點的軌跡方程為：求動點的軌跡方程為：知識應(yīng)用例2追問6：原題中的常數(shù)，與最后求得的曲線有什么關(guān)系？答案：這兩個問題中，原題中的常數(shù)恰是動點的軌跡（橢圓或雙曲線）的離心率．知識應(yīng)